Точные неравенства Бернштейна — Никольского для полиномов и целых функций экспоненциального типа

Классические неравенства Бернштейна — Никольского вида ‖𝐷𝑓‖𝑞 6 𝒞𝑝𝑞‖𝑓‖𝑝 для 𝑓 ∈ 𝑌 , дают оценки 𝑝𝑞-норм дифференциальных операторов 𝐷 на классах 𝑌 полиномов
и целых функций экспоненциального типа. Данные неравенства играют важную роль в гармоническом анализе, теории приближений и находят приложения в теории чисел, метрической геометрии. Изучаются как порядковые неравенства, так и неравенства с точными константами. Последний случай особенно интересен тем, что экстремальные функции зависят от геометрии многообразия и этот факт помогает при решении геометрических проблем.
Исторически неравенства Бернштейна относят к случаю 𝑝 = 𝑞, а неравенства Никольского — к оценке тождественного оператора при 𝑝 < 𝑞. Впервые оценка производной
тригонометрического полинома при 𝑝 = ∞ была дана С.Н. Бернштейном (1912), хотя ранее А.А. Марков (1889) привел ее алгебраический вариант. Неравенство Бернштейна
уточнялось Э. Ландау, М. Риссом, а А. Зигмунд (1933) доказал его для всех 𝑝 > 1. При 𝑝 < 1 порядковое неравенство Бернштейна нашли В.И. Иванов (1975), Э.А. Стороженко,
В.Г. Кротов и П. Освальд (1975), а точное неравенство — В.В. Арестов (1981). Для целых функций экспоненциального типа точное неравенство Бернштейна доказали Н.И. Ахиезер,
Б.Я. Левин (𝑝 > 1, 1957), Q.I. Rahman и G. Schmeisser (𝑝 < 1, 1990).
Первые одномерные неравенства Никольского при 𝑞 = ∞ установлены Д. Джексон (1933) для тригонометрических полиномов и J. Korevaar (1949) для целых функций экспоненциального типа. Во всей общности для 𝑞 6 ∞ и 𝑑-мерного пространства это было сделано С.М. Никольским (1951). Оценки констант Никольского уточнялись И.И. Ибра-
гимовым (1959), D. Amir и Z. Ziegler (1976), R.J. Nessel и G. Wilmes (1978) и многими другими. Порядковые неравенства Бернштейна — Никольского для разных интервалов
изучала Н.К. Бари (1954). Варианты неравенств для общих мультипликаторных дифференциальных операторов и весовых многообразий можно найти в работах П.И. Лизоркина (1965), А.И. Камзолова (1984), А.Г. Бабенко (1992), А.И. Козко (1998), К.В. Руновского и H.-J. Schmeisser (2001), F. Dai и Y. Xu (2013), В.В. Арестова и П.Ю. Глазыриной (2014) и
других авторов.
Долгое время теория неравенств Бернштейна — Никольского для полиномов и целых функций экспоненциального типа развивалась параллельно пока E. Levin и D. Lubinsky
(2015) не установили, что при всех 𝑝 > 0 константа Никольского для функций является пределом тригонометрических констант. Для констант Бернштейна — Никольского этот факт доказан М.И. Ганзбургом и С.Ю. Тихоновым (2017) и уточнен автором совместно
с И.А. Мартьяновым (2018, 2019). Многомерные результаты типа Левина — Любинского доказаны автором совместно с F. Dai и С.Ю. Тихоновым (сфера, 2020), М.И. Ганзбургом
(тор, 2019 и куб, 2021).

До сих пор точные константы Никольского известны только при (𝑝, 𝑞) = (2,∞). Интригующим является случай константы Никольского для 𝑝 = 1. Продвижение в данной
проблематике получено Я.Л. Геронимусом (1938), С.Б. Стечкиным (1961), Л.В. Тайковым (1965), L. H¨ormander и B. Bernhardsson (1993), Н.Н. Андреевым, С.В. Конягиным и
А.Ю. Поповым (1996), автором (2005), автором и И.А. Мартьяновым (2018), И.Е. Симоновым и П.Ю. Глазыриной (2015). E. Carneiro, M.B. Milinovich и K. Soundararajan (2019)
указали приложения в теории дзета-функции Римана. В.В. Арестов, М.В. Дейкалова и их соавторы (2016, 2018) охарактеризовали экстремальные полиномы для общих весовых констант Никольского, применяя двойственность. Здесь у истоков стояли С.Н. Бернштейн, Л.В. Тайков (1965, 1993) и другие.
Новым направлением является доказательство точных неравенств Никольского на классах функций с ограничениями. Здесь обнаруживается связь с экстремальными задачами гармонического анализа Турана, Дельсарта, принципа неопределенности J. Bourgain,
L. Clozel и J.-P. Kahane (2010) и другими. Например, автором с соавторами (2020) показано, что точная константа Никольского для неотрицательных сферических полиномов
дает оценку сферических дизайнов P. Delsarte, J.M. Goethals и J.J. Seidel (1977). Варианты задач для функций приводят к знаменитым оценкам плотности сферической упаковки,
а порядковые результаты тесно связаны с неравенствами Фурье.
Данные результаты излагаются в рамках общей теории неравенств Бернштейна — Никольского, приводятся приложения в теории приближений, теории чисел, метрической геометрии, предлагаются открытые проблемы.

1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.

2. Amir D., Ziegler Z. Polynomials of extremal 𝐿𝑝-norm on the 𝐿∞-unit sphere // J. Approx.

3. Theory. 1976. Vol. 18. P. 86–98.

4. Андреев Н.Н., Конягин С.В., Попов А.Ю. Экстремальные задачи для функций с малым

5. носителем // Матем. заметки. 1996. Том 60, № 3. С. 323–332.

6. Андреев Н.Н., Конягин С.В., Попов А.Ю. Письмо в редакцию // Матем. заметки. 2000.

7. Том 68, № 3. С. 479.

8. Андреев Н.Н., Юдин В.А. Наименее уклоняющиеся от нуля многочлены и кубатурные

9. формулы чебышевского типа // Труды МИАН. 2001. Том 232. С. 45–57.

10. Арестов В.В. Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их

11. производных // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1981. Том 45, № 1. С. 3–22.

12. Arestov V., Babenko A., Deikalova M., Horv𝑎´th 𝐴´. Nikol’skii inequality between the uniform

13. norm and integral norm with Bessel weight for entire functions of exponential type on the

14. half-line // Anal. Math. 2018. Vol. 44, № 1. P. 21–42.

15. Arestov V.V., Berdysheva E.E. The Tur´𝑎n problem for a class of polytopes // East J. Approx.

16. Vol. 8, № 3. P. 381–388.

17. Арестов В.В., Глазырина П.Ю. Неравенство Бернштейна–Сеге для дробных производных

18. тригонометрических полиномов // Тр. ИММ УрО РАН. 2014. Том 20, № 1. С. 17–31.

19. Арестов В.В., Дейкалова М.В. Неравенство Никольского для алгебраических многочле-

20. нов на многомерной евклидовой сфере // Тр. ИММ УрО РАН. 2013. Том 19, № 2. С. 34–47.

21. Arestov V., Deikalova M. Nikol’skii inequality between the uniform norm and 𝐿𝑞-norm with

22. ultraspherical weight of algebraic polynomials on an interval // Comput. Methods Funct.

23. Theory. 2015. Vol. 15, № 4. P. 689–708.

24. Arestov V., Deikalova M. Nikol’skii inequality between the uniform norm and 𝐿𝑞-norm with

25. Jacobi weight of algebraic polynomials on an interval // Anal. Math. 2016. Vol. 42, № 2.

26. P. 91–120.

27. Ash J.M., Ganzburg M. An extremal problem for trigonometric polynomials // Proc. Amer.

28. Math. Soc. 1999. Vol. 127, № 1. P. 211–216.

29. Attila M., Nevai P.G. Bernstein’s inequality in 𝐿𝑝 for 0 < 𝑝 < 1 and (𝐶, 1) bounds for

30. orthogonal polynomials // Ann. of Math. 1980. Vol. 111, № 1. P. 145–54.

31. Бабенко А.Г. Неравенства слабого типа для тригонометрических полиномов // Сборник

32. научных трудов. Тр. ИММ УрО РАН. 1992. Том 2. С. 34–41.

33. Бари Н.К. Обобщение неравенств С.Н. Бернштейна и А.А. Маркова // Изв. АН СССР.

34. Сер. матем. 1954. Том 18, № 2. С. 159–176.

35. Belinsky E., Dai F., Ditzian Z. Multivariate approximating averages // J. Approx. Theory.

36. Vol. 125, № 1. P. 85–105.

37. Benyamini Y., Kro´𝑜 A., Pinkus A. 𝐿1-approximation and finding solutions with small

38. support // Constr. Approx. 2012. Vol. 36, № 3. P. 399–431.

39. Bianchi G., Kelly M. A Fourier analytic proof of the Blaschke–Santalo inequality // Proc.

40. Amer. Math. Soc. 2015. Vol. 143, № 11. P. 4901–4912.

41. Boas R.P. Entire functions. N.Y.: Academic Press, 1954.

42. Богатырев А.Б. Об эффективном вычислении многочленов Чебышёва для нескольких

43. отрезков // Матем. сб. 1999. Том 190, № 11. С. 15–50.

44. Bondarenko A., Radchenko D., Viazovska M. Well-separated spherical designs // Constr.

45. Approx. 2015. Vol. 41, № 1. P. 93–112.

46. Bourgain J., Clozel L., Kahane J.-P. Principe d’Heisenberg et fonctions positives // Ann. Inst.

47. Fourier (Grenoble). 2010. Vol. 60, № 4. P. 1215–1232.

48. Brown L.G., Lucier B.J. Best approximations in 𝐿1 are near best in 𝐿𝑝, 𝑝 < 1 // Proc. Amer.

49. Math. Soc. 1994. Vol. 120, № 1. P. 97–100.

50. Carneiro E., Milinovich M.B., Soundararajan K. Fourier optimization and prime gaps //

51. Comment. Math. Helv. 2019. Vol. 94. P. 533–568.

52. Cohn H., Elkies N. New upper bounds on sphere packings. I // Ann. of Math. (2). 2003.

53. Vol. 157, № 2. P. 689–714.

54. Cohn H., Goncalves F. An optimal uncertainty principle in twelve dimensions via modular

55. forms // Invent. math. 2019. Vol. 217. P. 799–831.

56. Cohn H., Kumar A., Miller S.D., Radchenko D., Viazovska M. The sphere packing problem

57. in dimension 24 // Ann. of Math. 2017. Vol. 185, № 3. P. 1017–1033.

58. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. Т. I. М.: Мир, 1990.

59. Dai F. Multivariate polynomial inequalities with respect to doubling weights and 𝐴∞

60. weights // J. Funct. Anal. 2006. Vol. 235, № 1. P. 137–170.

61. Dai F., Feng H., Tikhonov S. Reverse H¨older’s inequality for spherical harmonics // Proc.

62. Amer. Math. Soc. 2016. Vol. 144, № 3. P. 1041–1051.

63. Dai F., Gorbachev D., Tikhonov S. Nikolskii inequality for lacunary spherical polynomials //

64. Proc. Amer. Math. Soc. 2020. Vol. 148, № 3. P. 1169–1174.

65. Dai F., Gorbachev D., Tikhonov S. Nikolskii constants for polynomials on the unit sphere //

66. J. d’Anal. Math. 2020. Vol. 140, № 1. P. 161–185.

67. Dai F., Gorbachev D., Tikhonov S. Estimates of the asymptotic Nikolskii constants for

68. spherical polynomials // Journal of Complexity. 2021. Vol. 65. 101553.

69. Dai F., Tikhonov S. Weighted fractional Bernstein’s inequalities and their applications //

70. J. d’Anal. Math. 2016. Vol. 129. P. 33–68.

71. Dai F., Xu Yu. Approximation theory and harmonic analysis on spheres and balls. N.Y.:

72. Springer, 2013.

73. Дейкалова М.В. О точном неравенстве Джексона–Никольского для алгебраических мно-

74. гочленов на многомерной евклидовой сфере // Тр. ИММ УрО РАН. 2009. Том 15, № 1.

75. С. 122–134.

76. Erdelyi T. Arestov’s theorems on Bernstein’s inequality // J. Approx. Theory. 2020. Vol. 250.

77.

78. Goncalves F., Oliveira e Silva D., Ramos J.P.G. On regularity and mass concentration

79. phenomena for the sign uncertainty principle // J. Geom. Anal. 2021. Vol. 31. P. 6080–6101.

80. Ganzburg M.I. Sharp constants of approximation theory. II. Invariance theorems and certain

81. multivariate inequalities of different metrics // Constr. Approx. 2019. Vol. 50. P. 543–577.

82. Ganzburg M.I. Sharp constants of approximation theory. I. Multivariate Bernstein–Nikolskii

83. type inequalities // J. Fourier Anal. Appl. 2020. Vol. 26, № 11.

84. Ganzburg M.I. Sharp constants of approximation theory. III. Certain polynomial inequalities

85. of different metrics on convex sets // J. Approx. Theory. 2020. Vol. 252. 105351.

86. Ganzburg M.I. Sharp constants of approximation theory. V. An asymptotic equality related

87. to polynomials with given Newton polyhedra // J. Math. Anal. Appl. 2021. Vol. 499, № 1.

88.

89. Ganzburg M.I. Asymptotics of sharp constants in Markov–Bernstein–Nikolskii type inequalities

90. with exponential weights // J. Approx. Theory. 2021. Vol. 265. 105550.

91. Ganzburg M. Sharp constants of approximation theory. VI. Multivariate inequalities of

92. different metrics for polynomials and entire functions // arXiv:2103.09368. 2021.

93. Ganzburg M., Tikhonov S. On sharp constants in Bernstein–Nikolskii inequalities // Constr.

94. Approx. 2017. Vol. 45, № 3. P. 449–466.

95. Genchev T.G. Entire functions of exponential type with polynomial growth on R𝑛𝑥

96. // J. Math.

97. Anal. Appl. 1977. Vol. 60. P. 103–119.

98. Геронимус Я.Л. Об одной экстремальной задаче Чебышева // Изв. АН СССР. Сер. матем.

99. Том 2, № 4. С. 445–456.

100. Горбачев Д.В. Экстремальная задача для целых функций экспоненциального сфериче-

101. ского типа, связанная с оценкой Левенштейна плотности упаковки R𝑛 шарами // Изв.

102. ТулГУ. Сер. Математика. 2000. Том 6, № 1. С. 71–78.

103. Горбачев Д.В. Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре //

104. Матем. заметки. 2001. Том 69, № 3. С. 346–352.

105. Горбачев Д.В. Интегральная задача Конягина и (𝐶,𝐿)-константы Никольского //

106. Тр. ИММ УрО РАН. 2005. Том 11, № 2. С. 72–91.

107. Горбачев Д.В., Добровольский Н.Н. Константы Никольского в пространствах

108. 𝐿𝑝(R, |𝑥|2𝛼+1 𝑑𝑥) // Чебышевский сборник. 2018. Том 19, № 2. С. 67–79.

109. Горбачев Д.В., Иванов В.И. Квадратурные формулы Гаусса и Маркова по нулям собствен-

110. ных функций задачиШтурма–Лиувилля, точные для целых функций экспоненциального

111. типа // Мат. сб. 2015. Том 206, № 8. С. 63–98.

112. Gorbachev D.V., Ivanov V.I. Tur´𝑎n’s and Fej´𝑒r’s extremal problems for Jacobi transform //

113. Anal. Math. 2018. Vol. 44, № 4. P. 419–432.

114. Горбачев Д.В., Иванов В.И. Экстремальные задачи Турана, Фейера, Бомана для много-

115. мерного преобразования Фурье по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля //

116. Матем. сб. 2019. Том 210, № 6. С. 56–81.

117. Горбачев Д.В., Иванов В.И. Константы Никольского–Бернштейна для целых функций

118. экспоненциального сферического типа в весовых пространствах // Тр. ИММ УрО РАН.

119. Том 25, № 2. С. 75–87.

120. Gorbachev D.V., Ivanov V.I. Fractional smoothness in 𝐿𝑝 with Dunkl weight and its

121. applications // Math. Notes. 2019. Vol. 106, № 4. P. 537–561.

122. Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Tikhonov S.Yu. Sharp approximation theorems and Fourier

123. inequalities in the Dunkl setting // J. Approx. Theory. 2020. Vol. 258. 105462.

124. Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Tikhonov S.Yu. Positive 𝐿𝑝-bounded Dunkl-type generalized

125. translation operator and its applications // Constr. Approx. 2019. Vol. 49, № 3. P. 555–605.

126. Gorbachev D., Ivanov V., Tikhonov S. Uncertainty principles for eventually constant sign

127. bandlimited functions // SIAM J. Math. Anal. 2020. Vol. 52, № 5. P. 4751–4782.

128. Горбачев Д.В., Мартьянов И.А. О взаимосвязи констант Никольского для тригонометри-

129. ческих полиномов и целых функций экспоненциального типа // Чебышевский сборник.

130. Том 19, № 2. С. 80–89.

131. Горбачев Д.В., Мартьянов И.А. Взаимосвязь между константами Никольского–

132. Бернштейна для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального

133. типа // Чебышевский сборник. 2019. Том 20, № 3. С. 143–153.

134. Горбачев Д.В., Мартьянов И.А. Письмо в редакцию // Чебышевский сборник. 2020.

135. Том 21, № 3. С. 336–338.

136. Горбачев Д.В., Мартьянов И.А. Константы Маркова–Бернштейна — Никольского для

137. полиномов в пространстве 𝐿𝑝 с весом Гегенбауэра // Чебышевский сборник. 2020. Том 21,

138. № 4. С. 29–44.

139. Горбачев Д.В., Мартьянов И.А. Новые границы алгебраической константы Никольско-

140. го // Чебышевский сборник. 2020. Том 21, № 4. С. 45–55.

141. Горбачев Д.В., Мартьянов И.А. Границы полиномиальных констант Никольского в 𝐿𝑝 с

142. весом Гегенбауэра // Тр. ИММ УрО РАН. 2020. Том 26, № 4. С. 126–137.

143. Gorbachev D.V., Tikhonov S.Y. Wiener’s problem for positive definite functions // Math.

144. Zeit. 2018. Vol. 289, № 3–4. P. 859–874.

145. Gorbachev D., Tikhonov S. Doubling condition at the origin for non-negative positive definite

146. functions // Proc. Amer. Math. Soc. 2019. Vol. 147. P. 609–618.

147. Delsarte P., Goethals J.M., Seidel J.J. Spherical codes and design // Geom. Dedicata. 1977.

148. Vol. 6, № 3. P. 363–388.

149. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир,

150.

151. H¨ormander L., Bernhardsson B. An extension of Bohr’s inequality // Boundary value problems

152. for partial differential equations and applications. RMA Res. Notes Appl. Math. 1993. Vol. 29.

153. P. 179–194.

154. Ибрагимов И.И. Экстремальные задачи в классе тригонометрических полиномов //

155. Докл. АН СССР. 1958. Том 121, № 3. С. 415–417.

156. Ибрагимов И.И., Джафаров А.С. О некоторых неравенствах для целой функции конеч-

157. ной степени и ее производных // Докл. АН СССР. 1961. Том 138, № 4. С. 755–758.

158. Иванов В.А. О неравенствах Бернштейна — Никольского и Фавара на компактных одно-

159. родных пространствах ранга 1 // УМН. 1983. Том 38, № 3 (231). С. 179–180.

160. Иванов В.А. Точные результаты в задаче о неравенстве Бернштейна — Никольского на

161. компактных симметрических римановых пространствах ранга 1 // Тр. МИАН СССР.

162. Том 194. С. 111–119.

163. Иванов В.И. Некоторые неравенства для тригонометрических полиномов и их производ-

164. ных в разных метриках // Матем. заметки. 1975. Том 18, № 4. С. 489–498.

165. Jackson D. Certain problems of closest approximation // Bull. Am. Math. Soc. 1933. Vol. 39.

166. P. 889–906.

167. Камзолов А.И. Об интерполяционной формуле Рисса и неравенстве Бернштейна для

168. функций на однородных пространствах // Матем. заметки. 1974. Том 15, № 6. С. 967–

169.

170. Камзолов А.И. Неравенство Бернштейна для дробных производных полиномов по сфе-

171. рическим гармоникам // УМН. 1984. Том 39, № 2 (236). С. 159–160.

172. Камзолов А.И. О приближении функций на сфере 𝑆𝑛 // Сердика. 1984. Том 84, № 1.

173. С. 3–10.

174. Kolountzakis M.N., R´𝑒v´𝑒sz Sz.Gy. On a problem of Tur´𝑎n about positive definite functions //

175. Proc. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 131. P. 3423–3430.

176. Конягин С.В. Оценки производных от многочленов // Докл. АН СССР. 1978. Том 243,

177. № 5. С. 1116–1118.

178. Koornwinder T.H. Jacobi functions and analysis on noncompact semisimple Lie groups // In

179. “Special functions: Group theoretical aspects and applications”, R.A. Askey, T.H. Koornwinder

180. and W. Schempp (eds.), Dordrecht: Reidel, 1984. P. 1–85.

181. Korevaar J. An inequality for entire functions of exponential type // Nieuw Arch. Wiskunde

182. (2). 1949. Vol. 23. P. 55–62.

183. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближений. М.: Наука, 1976.

184. Лебедев В.И. Экстремальные многочлены и методы оптимизации вычислительных алго-

185. ритмов // Матем. сб. 2004. Том 195, № 10. С. 21–66.

186. Levenshtein V.I. Universal bounds for codes and designs // In “Handbook of coding theory”,

187. V.S. Pless and W.C. Huffman Eds. Amsterdam: Elsevier, 1998.

188. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956.

189. Levin B.Ya. Lectures on entire functions. English revised edition. Providence, RI: Amer. Math.

190. Soc., 1996.

191. Levitan, B.M. 1973. “Theory of generalized shift operators”, Nauka, Moscow. (In Russ.)

192. Левитан Б.М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973. Littmann F.,

193. Spanier M. Extremal signatures // Constr. Approx. 2018. Vol. 47. P. 339–356.

194. Logunov A. Nodal sets of Laplace eigenfunctions: Polynomial upper estimates of the Hausdorff

195. measure // Ann. of Math. 2018. Vol. 187, № 1. P. 221–39.

196. Lubinsky D.S. On sharp constants in Marcinkiewicz–Zygmund and Plancherel-Polya inequalities

197. // Proc. Amer. Math. Soc. 2014. Vol. 142, № 10. P. 3575–3584.

198. Lubinsky D.S. Weighted Markov–Bernstein inequalities for entire functions of exponential

199. type // Publications de l’Institut Math´𝑒matique. 2014. Vol. 96 (110). P. 181–192.

200. Levin E., Lubinsky D. 𝐿𝑝 Chritoffel functions, 𝐿𝑝 universality, and Paley–Wiener spaces //

201. J. d’Anal. Math. 2015. Vol. 125. P. 243–283.

202. Levin E., Lubinsky D. Asymptotic behavior of Nikolskii constants for polynomials on the unit

203. circle // Comput. Methods Funct. Theory. 2015. Vol. 15, № 3. P. 459–468.

204. Лизоркин П.И. Оценки тригонометрических интегралов и неравенство Бернштейна для

205. дробных производных // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1965. Том 29, № 1. С. 109–126.

206. Малыхин Ю.В., Рютин К.С. О концентрации 𝐿1-нормы тригонометрических полиномов

207. и целых функций // Матем. сб. 2014. Том 205, № 11. С. 95–124.

208. Мартьянов И.А. Константа Никольского для тригонометрических полиномов с периоди-

209. ческим весом Гегенбауэра // Чебышевский сборник. 2020. Том 21, № 1. С. 247–258.

210. Milovanovi´𝑐 G.V., Mitrinovi´𝑐 D.S., Rassias Th.M. Topics in polynomials: Extremal problems,

211. inequalities, zeros. Singapore: World Scientific Publ. Co., 1994.

212. Nessel R., Wilmes G. Nikolskii-type inequalities for trigonometric polynomials and entire

213. functions of exponential type // J. Austral. Math. Soc. 1978. Vol. 25, № 1. P. 7–18.

214. Никольский С.М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение

215. в теории дифференцируемых функций многих переменных // Тр. МИАН СССР. 1951.

216. Том 38. С. 244–278.

217. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.:

218. Наука, 1977.

219. Nursultanov E.D., Ruzhansky M.V., Tikhonov S.Y. Nikolskii inequality and functional classes

220. on compact lie groups // Funct. Anal. Its Appl. 2015. Vol. 49. P. 226–229.

221. Песенсон И.З. Неравенство Бернштейна в представлениях групп Ли // Докл. АН СССР.

222. Том 313, № 4. С. 803–806.

223. Pesenson I. Bernstein–Nikolskii inequalities and Riesz interpolation formula on compact

224. homogeneous manifolds // J. Approx. Theory. 2008. Vol. 150, № 2. P. 175–198.

225. Pesenson I. Bernstein–Nikolskii and Plancherel–Polya inequalities in 𝐿𝑝-norms on non-compact

226. symmetric spaces // Math. Nachr. 2009. Vol. 282, № 2. P. 253–269.

227. Pinkus A., Ziegler Z. Interlacing properties of the zeros of the error functions in best 𝐿𝑝-

228. approximations // J. Approx. Theory. 1979. Vol. 27, № 1. P. 1–18.

229. Платонов С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой //

230. Изв. РАН. Сер. матем. 2007. Том 71, № 5. С. 149–196.

231. Queff´𝑒lec H., Zarouf R. On Bernstein’s inequality for polynomials // Anal. Math. Phys. 2019.

232. Vol. 9. P. 1181–1207.

233. Rahman Q.I., Schmeisser G. 𝐿𝑝 inequalities for entire functions of exponential type // Trans.

234. Amer. Math. Soc. 1990. Vol. 320. P. 91–103.

235. Runovski K., Schmeisser H.-J. Inequalities of Calderon–Zygmund type for trigonometric

236. polynomials // Georgian J. of Math. 2001. Vol. 8, № 1. P. 165–179.

237. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматлит, 1962.

238. Shapiro H. Topics in approximation theory. Lecture notes in mathematics. Berlin, Heidelberg:

239. Springer-Verlag, 1971. Vol. 187,

240. Siegel C.L. ¨Uber gitterpunkte in convexen k¨orpern and ein damit zusammenh¨angendes

241. extremalproblem // Acta Math. 1935. Vol. 65. P. 307–323.

242. Simonov I.E., Glazyrina P.Y. Sharp Markov–Nikolskii inequality with respect to the uniform

243. norm and the integral norm with Chebyshev weight // J. Approx. Theory. 2015. Vol. 192.

244. P. 69–81.

245. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.:

246. Мир, 1974.

247. Стороженко Э.А., Кротов В.Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона

248. в пространствах 𝐿𝑝, 0 < 𝑝 < 1 // Матем. сб. 1975. Том 98 (140), № 3 (11). С. 395–415.

249. Тайков Л.В. Один круг экстремальных задач для тригонометрических полиномов //

250. УМН. 1965. Том 20, № 3. С. 205–211.

251. Тайков Л.В. Одно обобщение неравенства С.Н. Бернштейна // Тр. МИАН СССР. 1965.

252. Том 78. С. 43–47.

253. Тайков Л.В. О наилучшем приближении ядер Дирихле // Матем. заметки. 1993. Том 53,

254. № 6. С. 116–121.

255. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной //

256. Тр. МИАН СССР, ред. С.М. Никольский. 1986. Том 178. С. 1–112.

257. Temlyakov V., Tikhonov S. Remez-type and Nikol’skii-type inequalities: General relations and

258. the hyperbolic cross polynomials // Constr. Approx. 2017. Vol. 46. P. 593–615.

259. Tikhonov S., Yuditskii P. Sharp Remez inequality // Constr. Approx. 2020. Vol. 52.

260. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Гос. изд-во

261. физ.-мат. лит., 1960.

262. Vaaler J.D. Some extremal functions in Fourier analysis // Bull. Amer. Math. Soc. (New

263. Series). 1985. Vol. 12, № 2. P. 183–216.

264. Viazovska M.S. The sphere packing problem in dimension 8 // Ann. of Math. 2017. Vol. 185,

265. № 3. P. 991–1015.

266. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1991.

267. Виноградов О.Л., Гладкая А.В. Целые функции, наименее уклоняющиеся от нуля в рав-

268. номерной и интегральной метриках с весом // Алгебра и анализ. 2014. Том 26, № 6.

269. С. 10–28.

270. Юдин В.А. Положительные значения полиномов // Матем. заметки. 2002. Том 72, № 3.

271. С. 477–480.

272. Юдин В.А. О положительных значениях сферических гармоник и тригонометрических

273. полиномов // Матем. заметки. 2004. Том 75, № 3. С. 476–480.

274. Заставный В.П., Манов А.Д. Положительная определенность комплексной кусочно-

275. линейной функции и некоторые ее применения // Матем. заметки. 2018. Том 103, № 4.

276. С. 519–535.

277. Ziegler Z. Minimizing the 𝐿𝑝,∞-distortion of trigonometric polynomials // J. Math. Anal.

278. Appl. 1977. Vol. 61, № 2. P. 426–431.