Абелевы группы с конечными примарными факторами

Аннотация

Абелева группа 𝐴 называется 𝜋-ограниченной для некоторого множества простых чисел 𝜋, если в любой факторгруппе 𝐴/𝐵 группы 𝐴 все 𝑝-примарные компоненты 𝑡𝑝(𝐴/𝐵), где 𝑝 ∈ 𝜋, конечны. Класс 𝜋-ограниченных абелевых групп был введен Е. В. Соколовым при изучении ℱ𝜋-отделимости и 𝜋′-изолированности подгрупп в общей теории групп. Описание периодических 𝜋-ограниченных групп тривиально. Е. В. Соколовым было показано, что описание смешанных 𝜋-ограниченных групп сводится к периодическому случаю и случаю без кручения. В статье подробно рассмотрен класс 𝜋-ограниченных абелевых групп
без кручения. Показано, что этот класс совпадает с классом 𝜋-локальных абелевых групп без кручения конечного ранга.
В заключении рассмотрены абелевы группы, удовлетворяющие условию (*), т.е. такие абелевы группы, все факторгруппы которых не содержат подгрупп вида Z𝑝∞ для всех 𝑝 ∈ 𝜋, где 𝜋 — некоторое фиксированное множество простых чисел. Понятно, что все 𝜋-ограниченные группы удовлетворяют условию (*). Нами доказано, что произвольная абелева группа 𝐴 удовлетворяет условию (*) тогда и только тогда, когда группы 𝑡(𝐴) и 𝐴/𝑡(𝐴) удовлетворяют условию (*). Также в работе приводится конструкция, дающая при каждом бесконечном множестве простых чисел 𝜋 пример нерасщепляемой смешанной
абелевой группы ранга 1, удовлетворяющей условию (*).