О полиадических числах Лиувилля

Аннотация

Объекты, названные в этой работе полиадическими числами Лиувилля, рассматриваются относительно недавно.
Каноническое разложение полиадического числа 𝜆 имеет вид

$$𝜆 =∞Σ︁𝑛=0𝑎𝑛𝑛!, 𝑎𝑛 ∈ Z, 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑛.$$

Этот ряд сходится в любом поле 𝑝− адических чисел Q𝑝 .
Будем называть полиадическое число 𝜆 полиадическим числом Лиувилля( или лиувиллевым полиадическим числом), если для любых чисел 𝑛 и 𝑃 существует натуральное число
𝐴 такое, что для всех простых чисел 𝑝 , удовлетворяющих неравенству 𝑝 ≤ 𝑃 выполнено неравенство

$$|𝜆 − 𝐴|𝑝 < 𝐴−𝑛.$$

Обозначим, для натурального 𝑚 

$$Φ(𝑘,𝑚) = 𝑘^𝑘^(...)^𝑘$$

результат последовательного 𝑚− кратного возведения в степень. Пусть

$$𝑛𝑚 = Φ(𝑘,𝑚)$$

и пусть 

$$𝛼 =∞Σ︁𝑚=0(𝑛𝑚)!.$$

Теорема 1. Для любого натурального числа 𝑘 ≥ 2 и любого простого числа 𝑝 ряд 𝛼 сходится к трансцендентному элементу кольца Z𝑝. Иными словами, полиадическое число
𝛼 глобально трансцендентное.