Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск
Том 17, № 3 (2016)
Скачать выпуск PDF
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-3

Статьи

5-17 148
Аннотация

Изучается резонансное множество вещественного многочлена, т.е. множество всех значений пространства коэффициентов, при которых вещественный многочлен имеет соизмеримые корни.

Резонансное множество многочлена может рассматриваться как некоторое обобщение дискриминантного множества последнего. Знание его структуры необходимо при исследовании резонансов вблизи положений равновесия динамической системы.

В работе предлагается конструктивный алгоритм построения полиномиальной параметризации резонансного множества в пространстве коэффициентов многочлена.
Структура резонансного множества многочлена степени \(n\) описывается в терминах разбиения натурального числа \(n\).

Основные алгоритмы, описанные в работе, реализованы в виде библиотеки в системе компьютерной алгебры \(Maple\). Приведено описание резонансного множества кубического многочлена.

18-27 122
Аннотация

Геометрические методы широко используются в комбинаторной теории групп. Теория групп с малыми сокращениями эффективно использует метод групповых диаграмм. Это позволяет решать, в частности, различные алгоритмические проблемы. Одной из таких проблем является проблема степенной сопряжённости. Будучи решённой в классе групп с условиями малого сокращения C(6)-T(3), она остаётся открытой в близком классе C(3)-T(6)-групп.

В данной статье исследуется структура односвязных диаграмм над C(3)-T(6)-группами и указывается, как это исследование может быть использовано при решении проблемы степенной сопряжённости.

Основным результатом данной статьи является доказательство теоремы о нижней оценке площади дисковой диаграммы на группой с условиями C(3)-T(6). Известно, что для групп с условиями C(p)-T(q) при \((p,q)\in \{(3,6), (4,4), (6,3)\}\), являющихся автоматными, изопериметрическое неравенство является квадратичным. То же самое утверждается в известной в теории групп с малыми сокращениями теореме о площади. Оба утверждения ограничивают сверху площадь односвязной приведённой диаграммы в рассматриваемом классе групп квадратичной функцией длины границы.

В данной статье доказано, что нижняя граница для площади диаграммы указанного типа тоже является квадратичной функцией длины границы. Важность этого результата видна с точки зрения оценки сложности алгоритма, решающего проблему равенства слов. Он оказывается не менее, чем квадратичной сложности от длины сравниваемых слов.

28-37 145
Аннотация

В работе рассматривается класс нелинейных динамических моделей оболочек, нелинейность которых отражает гауссову кривизну поверхности; в случае когда нагрузки, действующие на оболочку меньше критических в любой момент времени. При этом любая неизвестная функция, входящая в уравнения системы, однозначно выражается через функцию прогиба, а область, определяемая серединной поверхностью оболочки, является ограниченной и имеет кусочно-гладкую границу. К этому классу уравнений относятся такие модели как модель Кирхгофа–Лява, уточняющая её модель Тимошенко, заданная как в перемещениях, так и в смешанной форме, модель отражающая связь полей деформации и температуры и другие модели.

Для таких моделей в качестве численного метода расчёта напряженно-деформированного состояния обсуждается метод последовательного нагружения, разработанный в 70-х годах XX века профессором В. В. Петровым, который сводит решение нелинейных уравнений к решению последовательности линейных уравнений. В работе обсуждаются вопросы, связанные с реализацией этого метода. Известно, что метод В. В. Петрова медленно сходится. Поэтому рассматриваются вопросы, связанные с улучшением сходимости. Далее, применение вариационных методов для решения линейных систем уравнений требует определения скорости сходимости этих методов, а также нахождения ортогональной системы функций, удовлетворяющей граничным условиям. Эти вопросы также рассматриваются в работе.

38-52 147
Аннотация

Пусть в вещественном \(n\)"=мерном пространстве \(\mathbb R^n=\{X\}\) задано \(m\) однородных вещественных форм \(f_i(X)\), \(i=1,\dotsc,m\), \(2\leqslant m\leqslant n\). Выпуклая оболочка множества значений \(G(X)=\left(|f_1(X)|,\dotsc,|f_m(X)|\right)\in\mathbb R^m_+\) для целочисленных \(X\in\mathbb{Z}^n\) во многих случаях является выпуклым многогранным множеством, граница которого для \(||X||<\mathrm{const}\) вычисляется с помощью стандартной программы. Точки \(X\in\mathbb{Z}^n\), для которых значения \(G(X)\) лежат на этой границе, названы граничными. Они являются наилучшими диофантовыми приближениями для корневых множеств указанных форм. Их вычисление даёт глобальное обобщение цепной дроби. Для \(n=3\) обобщить цепную дробь безуспешно пытались Эйлер, Якоби, Дирихле, Эрмит, Пуанкаре, Гурвиц, Клейн, Минковский, Брун, Арнольд и многие другие.

Пусть \(p(\xi)\)~--- целый неприводимый в \(\mathbb Q\) многочлен степени \(n\) и \(\lambda\)~--- его корень. Набор основных единиц кольца \(\mathbb{Z}[\lambda]\) можно вычислить по граничным точкам некоторой совокупности линейных и квадратичных форм, построенных по корням многочлена \(p(\xi)\). До сих пор эти единицы вычислялись только для \(n=2\) (с помощью обычных цепных дробей) и \(n=3\) (с помощью алгоритмов Вороного).
Каждая единица определяет автоморфизм граничных точек в \(\mathbb R^n\) и автоморфизм их образов в \(\mathbb R^m_+\). В логарифмической проекции \(\mathbb R^m_+\) на \(\mathbb R^{m-1}\) можно найти фундаментальную область для группы вторых автоморфизмов, соответствующих единицам.

С помощью этих конструкций можно находить целочисленные решения диофантовых уравнений специального вида. Аналогично вычисляются все указанные объекты для других колец поля \(\mathbb{Q}(\lambda)\). Приведены примеры.

Наш подход обобщает цепную дробь, позволяет вычислить наилучшие совместные приближения, основные единицы алгебраических колец поля \(\mathbb Q(\lambda)\) и все решения некоторого класса диофантовых уравнений для любого \(n\).

53-63 120
Аннотация
На многообразии с почти контактной метрической структурой \((M, \vec{\xi}, \eta, \varphi,g)\) и эндоморфизмом \(N:D\rightarrow D\) вводится понятие N-продолженной связности \(\nabla^N=(\nabla,N)\), где \(\nabla\) --- внутренняя связность. Найден эндоморфизм \(N:D\rightarrow D\), при котором тензор кривизны N-продолженной связности совпадает с тензором кривизны Вагнера. Доказывается, что тензор кривизны внутренней связности равен нулю тогда и только тогда, когда на многообразии \(M\) существует атлас адаптированных карт, для которых коэффициенты внутренней связности обращаются в нуль. Строится взаимно-однозначное соответствие между множеством N-продолженных связностей и множеством N-связностей. Показано, что класс N-связностей включает в себя связность Танака-Вебстера и связность Схоутена-ван Кампена. Получено равенство, выражающее N-связность через связность Леви-Чивита. Исследуются свойства тензора кривизны N-связности, названного в работе обобщенным тензором кривизны Вагнера. Доказывается, в частности, что обращение в нуль обобщенного тензора кривизны Вагнера в случае контактного метрического пространства влечет существование постоянного допустимого векторного поля любого направления. Показано, что тождественное равенство нулю обобщенного тензора кривизны Вагнера возможно лишь в случае нулевого эндоморфизма \(N:D\rightarrow D\).
64-71 124
Аннотация

Пусть \(\mathcal{K}\) --- абстрактный класс групп, и пусть \(\mathcal{K}\) содержит хотя бы одну неединичную группу.
Тогда класс \(\mathcal{K}\) называется корневым, если выполнены следующие три условия:

1. Если \(A \in \mathcal{K}\) и \(B \leq A\), то \(B \in \mathcal{K}\).

2. Если \(A \in \mathcal{K}\) и \(B \in \mathcal{K}\), то \(A\times B \in \mathcal{K}\).

3. Если \(1\leq C \leq B \leq A\) --- субнормальный ряд группы \(A\) и \(A/B, B/C \in \mathcal{K}\), тогда существует
нормальная подгруппа \(D\) группы \(A\)
такая, что \(D \leq C\) и \(A/D \in \mathcal{K}\).

Группа \(G\) называется аппроксимируемой корневым классом \(\mathcal{K}\) (или \(\mathcal{K}\)"=аппроксимируемой), если
для любого неединичного элемента \(g\) группы \(G\),
существует гомоморфизм \(\varphi \) группы \(G\) на группу из класса \(\mathcal{K}\) такой, что \(g\varphi \not = 1\).
Другими словами, группа \(G\) называется \(\mathcal{K}\)-аппроксимируемой, если для любого неединичного элемента \(g\) группы \(G\)
существует нормальная подгруппа \(N\) группы \(G\) такая, что \(G/N \in \mathcal{K}\) и \(g \not \in N\).
Наиболее интересными аппроксимационными свойствами являются аппроксимируемость классом всех конечных групп (финитная аппроксимируемость),
аппроксимируемость классом всех конечных \(p\)-групп и аппроксимируемость классом разрешимых групп.
Все эти три класса являются корневыми.
Поэтому результаты об аппроксимируемости корневым классом групп имеют достаточно общий характер.


Пусть \(\mathcal{K}\) --- корневой класс конечных групп.
И пусть \(G\) --- фундаментальная группа конечного графа групп с конечными реберными группами.
Получено необходимое и достаточное условие почти \(\mathcal{K}\)-аппроксимируемости группы \(G\).

72-105 151
Аннотация

В работе рассматривается новый объект исследования --- гиперболическая дзета-функция Гурвица, которая задается в правой \(\alpha\)-полуплоскости \(\alpha=\sigma+it\), \(\sigma>1\) равенством
$$
\zeta_H(\alpha;d,b)=\sum_{m\in\mathbb Z}\left(\,\overline{dm+b}\,\right)^{-\alpha},
$$
где \(d\neq0\) и \(b\) --- любое вещественное число.

Гиперболическая дзета-функция Гурвица \(\zeta_H(\alpha;d,b)\) при \(\left\|\frac{b}{d}\right\|>0\) совпадает с гиперболической дзета-функцией сдвинутой одномерной решеткой \(\zeta_H(\Lambda(d,b)|\alpha)\). Важность этого класса одномерных решёток обусловлена тем, что каждая декартова решётка представляется объединением конечного числа декартовых произведений одномерных сдвинутых решёток вида \(\Lambda(d,b)=d\mathbb{Z}+b\).

Декартовы произведения одномерных сдвинутых решёток --- это суть сдвинутые диагональные решётки, для которых в данной работе удается дать наиболее простой вид функционального уравнения для гиперболической дзета-функции этих решёток.

Изучается связь гиперболической дзета-функции Гурвица с периодизированной по параметру \(b\) дзета-функцией Гурвица \(\zeta^*(\alpha;b)\) и с обычной дзета-функцией Гурвица \(\zeta(\alpha;b)\).

Получены новые интегральные представления для этих дзета-функций и аналитическое продолжение слева от прямой \(\alpha=1+it\).

Все рассматриваемые гиперболические дзета-функции решёток образуют важный класс рядов Дирихле, непосредственно связанный с развитием теоретико-числового метода в приближенном анализе. Для исследования таких рядов эффективным является применение теоремы Абеля, дающей интегральное представление через несобственные интегралы. Интегрирование по частям этих несобственных интегралов приводят к несобственным интегралам с полиномами Бернулли, которые также исследуются в данной работе.

106-124 94
Аннотация

Центральной проблемой аналитической теории чисел является доказательство (или опровержение) гипотезы Римана. К настоящему времени она не решена.

В 1985 году А. А. Карацуба доказал, что при любом \(0<\varepsilon<0,001\), \(0,5<\sigma\leq 1\), \(T>T_0(\varepsilon)>0\) и \(H=T^{27/82+\varepsilon}\) в прямоугольнике с вершинами \(\sigma+iT\), \(\sigma+i(T+H)\), \(1+i(T+H)\), \(1+iT\) содержится не больше, чем \(cH/(\sigma-0,5)\) нулей функции \(\zeta(s)\). Тем самым А.А. Карацуба существенно усилил классическую теорему Дж. Литтлвуда.

Для индивидуального прямоугольника существенно уменьшить величину \(H\) не удается. Однако решая эту задачу <<в среднем>>, Л.В. Киселева в 1989 году доказала, что для <<почти всех>> \(T\) из промежутка \([X,X+X^{11/12+\varepsilon}]\), \(X>X_0(\varepsilon)\), для которых в прямоугольнике с вершинами \(\sigma+iT\), \(\sigma+i(T+X^\varepsilon)\), \(1+i(T+X^\varepsilon)\), \(1+iT\) содержится не больше, чем \(O(X^\varepsilon/(\sigma-0,5))\) нулей функции \(\zeta(s)\).

В нашей статье получен результат подобного рода, но только для <<почти всех>> \(T\) из промежутка \([X,X+X^{7/8+\varepsilon}]\).

125-134 130
Аннотация
В работе рассматривается задача поведения функций, определенных рядами Дирихле с мультипликативными коэффициентами с ограниченной сумматорной функцией, при подходе к мнимой оси. Показано, что точки мнимой оси являются точками непрерывности в широком смысле для функций, определяемых рядами Дирихле с мультипликативными коэффициентами, определяемыми неглавными обобщенными харакатерами. Этот результат представляет интерес в связи с решением гипотезы Н. Г. Чудакова о том, что конечнозначный числовой характер, принимающий ненулевые значения почти на всех простых числах и имеющий ограниченную сумматорную функцию, является характером Дирихле. В основе доказательства основного результата работы лежит так называемый метод редукции к степенным рядам, основные положения которого были разработаны В. Н. Кузнецовым в начале 80-х годов. Этот метод изучает взаимосвязь между аналитическими свойствами рядов Дирихле и граничными свойствами соответсвующих (с теми же коэффециентами, что и у рядов Дирихле) степенных рядов, что позволяет получать новые результаты как для рядов Дирихле, так и для степенных рядов. В нашем случае метод редукции к степенным рядам позволяет на основании полученных в работе свойств степенных рядов с мультипликативными коэффициентами, определяемыми неглавными обобщенными характерами, доказать основной результат работы.
135-147 139
Аннотация

В 2007 г. Г. Мишу доказал совместную теорему унивурсальности для дзета-функции Римана \(\zeta(s)\) и дзета-функции Гурвица \(\zeta(s,\alpha)\) с трансцендентным параметром \(\alpha\) об одновременном приближении пары функций из широкого класса аналитических функций сдвигами \((\zeta(s+i\tau), \zeta(s+i\tau,\alpha))\), \(\tau\in \mathbb{R}\). Он получил, что множество таких сдвигов, приближающих данную пару аналитических функций, имеет положительную нижнюю плотность. В статье получено, что множество таких сдвигов имеет положительную плотность для всех \(\varepsilon>0\), за исключением счетного множества значений \(\varepsilon\), где \(\varepsilon\) -- точность приближения.

Результаты аналогичного типа также получены для сложных функций \(F(\) \(\zeta(s),\zeta(s,\alpha))\) для некоторых классов операторов \(F\) в пространстве аналитических функций.

148-165 113
Аннотация

Обычно в математике и физике рассматриваются системы точечных частиц либо конечные либо счетные. В статье вводится новый формальный математический обьект. Именно, мы определяем регулярные системы континуума точечных частиц (с континуальным числом частиц). В начальный момент каждая частица характеризуется парой: (начальная координата, начальная скорость) в \(R^{2d}\). При этом все начальные координаты различны и заполняют некоторую область в \(R^{d}\). Каждая из частиц начинает двигаться согласно обычной ньютоновской динамике под влиянием некоторой внешней силы, но без взаимодействия друг с другом. Если внешняя сила ограничена, то траектории любых двух частиц в фазовом пространстве не пересекаются. Точнее говоря, в любой заданный момент времени у любых двух частиц либо координаты либо скорости различны. Система частиц называется регулярной, если столкновений частиц нет и в координатном пространстве.

Условие регулярности необходимо для того, чтобы ключевое понятие скорости частицы в заданный момент и находящейся в заданной точке пространства было единственным образом определена. И тогда для нее классическое уравнение Эйлера для поля скоростей имеет четкий смысл. Хотя континуум частиц это фактически определение сплошной среды, но важнейшее понятиерегулярности, кажется, не было исследовано в математической литературе.

Обнаружилось, что кажущаяся простота объекта (отсутствие взаимодействия) обманчива. И даже для простых внешних сил мы не смогли найти простых необходимых и достаточных условий регулярности. Однако, открылся богатый запас примеров, как в одномерном так и в многомерном случае, для которых мы и получаем условия регулярности на разных временных интервалах. В заключение мы формулируем множество задач для регулярных систем с взаимодействием.

166-177 131
Аннотация

Статья посвящена исследованию арифметической природы значений в целых точках рядов, принадлежащих так называемому классу \(F\)-- рядов, составляющих решение системы линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами --- рациональными функциями от \(z\).


Рассматривается подкласс \(F\)- рядов, который состоит из рядов вида

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot n! z^n \, $$

у которых \(a_n\in \mathbb{Q}\) и \(\left|a_n\right| \leq e^{c_1 n}\), \(n=0,1,...\), где \(c_1\)- некоторая постоянная.
Кроме того, существует последовательность натуральных чисел \(d_n\) таких, что \(d_n a_k\in\mathbb{Z},\;k=0,\ldots,n\). При этом \(d_n=d_{0,n} d^{n},\;d_{0,n}\in\mathbb{N},\;n=0,1,\ldots,\;d \in\mathbb{N}\) и для любого \(n\) число \(d_{0,n}\) делится только на простые числа \(p\), для которых выполнено неравенство \(p\leq c_2n\). Предполагаем также,что степень, в которой число \(p\) входит в разложение числа \(d_{0,n}\), обозначаемая \(ord_pn\), удовлетворяет при всех \(n\) неравенству $$ord_pn\leq c_3\left(\log_pn+\frac{n}{p^{2}}\right).$$
При выполнении этих условий говорим, что рассматриваемый ряд принадлежит классу \(F\left(\mathbb{Q},c_1,c_2,c_3,d\right)\).


Ряды такого вида сходятся в точке \(z\in\mathbb Z\), \(z\ne 0\), если рассматривать их, как \(p\)--адические числа при любом простом \(p\), кроме быть может конечного числа простых \(p\).


Прямое произведение колец целых \(p\)-- адических чисел по всем простым \(p\) называется кольцом целых полиадических чисел. Его элементы

$$\mathfrak{a}=\sum a_n\cdot n!$$
можно рассматривать, как бесконечномерные векторы, координаты которых, соответствующие полю \(\mathbb Q_p\), представляют собой сумму \(\mathfrak{a}^{(p)}\) ряда \(\mathfrak{a}=\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot n!\) в поле \(\mathbb Q_p\).

Для любого многочлена \(P(x)\) с целыми коэффициентами определим \(P(\mathfrak{a})\) как вектор, координаты которого в поле \(\mathbb Q_p\) равны \(P(\mathfrak{a}^{(p)})\). Следуя классификации введенной в работах В.Г. Чирского, назовем полиадические числа \(\mathfrak{a}_1,\ldots,\mathfrak{a}_m\) бесконечно алгебраически независимыми, если для любого многочлена \(P(x_1,\ldots,x_m)\) с целыми коэффициентами, отличного от тождественного нуля, существует бесконечное множество простых чисел \(p\) таких, что \(P\left(\mathfrak{a}_1{^{(p)}},\ldots, \mathfrak{a}_m{^{(p)}}\right)\ne 0\) в поле \(\mathbb Q_p\).

В статье доказана теорема, утверждающая, что если \(F\)--ряды \(f_1,\ldots,f_m\) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений вида

$$P_{1,i}y_i^\prime + P_{0,i}y_i = Q_i, i=1,\ldots,m$$
где \(P_{0,i}, P_{1,i}, Q_i\)-- рациональные функции от \(z\) и если \(\xi\in\mathbb Z\), \(\xi\ne 0\), \(\xi\) отлично от полюсов всех этих рациональных функций, то при условии

$$\exp\left(\int\left(\frac{P_{0,i}(z)}{P_{1,i}(z)}-\frac{P_{0,j}(z)}{P_{1,j}(z)}\right)dz\right)\not\in\mathbb C(z)$$
\(f_1(\xi),\ldots,f_m(\xi)\)-- бесконечно алгебраически независимые почти полиадические числа.

Используется модификация метода Зигеля--Шидловского и подход В. Х. Салихова к~доказательству алгебраической независимости функций, составляющих решение рассматриваемой системы дифференциальных уравнений.

178-185 133
Аннотация

Пусть \(\Gamma\) сильно регулярный граф с параметрами \((v,k,0,2)\). Тогда \(k=u^2+1\), \(v=(u^4+3u^2+4)/2\)
для \(u \equiv 1, 2, 3(mod 4)\). Если \(u=1\), то \(\Gamma\) имеет параметры \((4,2,0,2)\) --- граф четырёхугольника.
Если \(u=2\), то \(\Gamma\) имеет параметры \((15,5,0,2)\) --- граф Клебша. Если \(u=3\), то \(\Gamma\) имеет параметры \((56,10,0,2)\)
--- граф Гевиртца. Если \(u=5\) тогда, гипотетический сильно регулярный граф \(\Gamma\) имеет параметры \((352,26,0,2)\) [4].
Если \(u=6\) тогда, гипотетический сильно регулярный граф \(\Gamma\) имеет параметры \((704,37,0,2)\) [5].
Если \(u=7\), тогда \(\Gamma\) имеет параметры \((1276,50,0,2)\). Пусть \(G\) группа автоморфизмов гипотетического сильно регулярного графа с параметрами
\((1276, 50, 0, 2)\). Найдены возможные порядки и подграфы неподвижных точек элементов простых порядков группы \(G\).
С использованием теории характеров конечных групп были найдены возможные порядки подграфы неподвижных точек автоморфизмов
графа с параметрами \((1276,50,0,2)\). Доказано, что если граф с параметрами (1276,50,0,2) существует, то порядок его группы автоморфизмов
делит \(2^l\cdot 3\cdot 5^m\cdot 7\cdot 11\cdot 29\). В частности, \(G\) --- разрешимая группа.

186-190 114
Аннотация
Доказано, что система сравнений Архипова--Карацубы по любому простому модулю, большему степени форм в ней, разрешима при любых правых частях и при числе переменных, превосходящих  величину \(8(n+1)^2\log_2n+12(n+1)^2+4(n+1),\) где \(n\)~---~степень форм этой системы.
191-196 129
Аннотация

При исследовании генераторов псевдослучайных чисел одна из проблем --- является ли периодической вырабатываемая генератором последовательность? Некоторые генераторы в принципе дают периодическую последовательность.

Для того, чтобы избавиться от периодичности или увеличить длину периода, применяются различные методы. Упомянем фильтрующие или комбинирующие генераторы. Однако их использование может привести к тому, что общая длина вырабатываемой последовательности сократится.

Выразим общую идею предлагаемого другого подхода следующими словами: требуется указать простой способ, который вносит беспорядок в изначально упорядоченное множество. Представим себе, что заданная периодическая последовательность состоит из цифр в некоторой позиционной системе счисления. Сопоставим этим цифрам новое число, полученное в результате некоторого, достаточно простого, преобразования этой последовательности цифр. Если это новое число является иррациональным, то последовательность его цифр является непериодической.

Например, если рассматривать натуральные числа \(a_1,\ldots,a_T\) как элементы периодической цепной (непрерывной) дроби, то по теореме Лагранжа, полученное число является квадратичной иррациональностью. Отметим, что это число является плохо приближаемым рациональными числами.

Другой способ, основанный на той же основной идее состоит в рассмотрении рядов вида
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n!}$$
с периодической последовательностью целых чисел \(\{a_n\}, a_{n+T}=a_n\) возможность получения оценки порядка приближения этих чисел.

Однако для вычисления цифр числа такого вида требуется много операций деления. Можно рассмотреть ряды вида
$$\sum_{n=0}^\infty a_n n!$$
с периодической последовательностью натуральных чисел \(\{a_n\}, a_{n+T}=a_n\). Описываются некоторые свойства таких рядов.

197-203 105
Аннотация

Пусть имеется подмножество \(A\) натуральных чисел из отрезка \([1,q]\) со следующим условием. Если элементы \(a,b\) из \(A\) и \(ab\) не превосходит \(q\), то ab принадлежит A. Пусть также известно, что \(|A|<q^{\nu}\), \(\nu \)- некоторое фиксированное число не превосходящее 1. В данной работе ставится вопрос о числе элементов \(A\) на отрезке длины существенно меньше чем \(q\), --- на отрезке \([1,x]\), где \(x\) существенно меньше чем произвольная степень \(q\).

В этой задаче в случае, когда \(A\) --- множество специального вида и при некоторых ограничениях на \(|A|\) и \(x\), уже получены определенные результаты. Так, из работы Ж. Бургейна, С. Конягина и И. Шпарлинского вытекают нетривиальные оценки в случае когда \(A\) --- некоторая мультипликативная подгруппа группы обратимых элементов системы вычетов по простому модулю.

Исходная задача обобщает ее на случай полугрупп вместо мультипликативных подгрупп. Отметим, что имеются вполне определенные результаты по этой задаче. Основной результат данной работы --- выведена новая оценка на число элементов полугруппы натуральных чисел заданном коротком интервале от 1 до \(x\). Полученные оценки содержательны, когда \(x\) существенно меньше чем любая степень \(q\). Более точно, пусть \(A\) --- наша полугруппа, \(g:=\frac{\log{\log x}}{\log{\log q}}, x=q^{o(1)}\), при \(q\) стремящемся к бесконечности. Тогда число элементов \(A\) в интервале \((1, x)\) не превосходит \(x^{1-C(g,\nu) + o(1)}\), где \(C(g,\nu\)) --- некоторая явно выписываемая положительная функция. Предыдущие результаты относились к оценке функции \(C(g,\nu)\), найденная новая оценка для \(C(g,\nu)\) улучшает предыдущий результат для некоторой области параметров \((g,\nu)\).

При доказательстве существенно используются свойства распределения гладких чисел, чисел с большой гладкой частью, оценки на число делителей фиксированно числа в заданном диапазоне. В работе используются некоторые результаты Ж. Бургейна, С. Конягина и И. Шпарлинского.

204-214 129
Аннотация

В работе рассматривается задача о числе \(p\)2--разбиений плоскости на полимино заданной площади. Полимино представляет собой связную фигуру на плоскости, составленную из конечного числа единичных квадратов, примыкающих друг к другу по сторонам. В настоящее время активно исследуются различные перичислительные комбинаторные задачи, связанные с полимино. Представляет интерес подсчет числа полимино определенных классов, а также подсчет числа разбиений конечных фигур или всей плоскости на полимино определенного типа. Разбиение называется \(p\)2--разбиением, если любую фигуру разбиения можно перевести в любую другую фигуру параллельным переносом или центральной симметрией, причем это преобразование переводит все разбиение в себя. \(p2\)-разбиения являются частным случаем правильных разбиений плоскости. Пусть \(t(n)\) -- число \(p2\)--разбиений плоскости на полимино площади \(n\), решетка периодов которых является подрешеткой решетки \(\mathbb{Z}^2\). Доказано, что справедливо неравенство \( C_12^n \leq t(n)\leq C_2n^4(2.68)^n\). При доказательстве нижней оценки использована явная конструкция, позволяющая построить требуемое число \(p2\)--разбиений плоскости. Доказательство верхней оценки основано на критерии Конвея существования \(p2\)--разбиений плоскости, а также на теории самонепересекающихся блужданий на квадратной решетке.
Ранее аналогичные результаты были получены авторами в задаче подсчета числа решетчатых разбений плоскости на полимино заданной площади, а также в задаче подсчета числа решетчатых разбиений плоскости на центрально-симметричные полимино.

215-220 151
Аннотация
В статье рассказано об истории, традициях кафедры теории чисел Московского педагогического государственного университета, о людях, работавших на кафедре.
221-226 208
Аннотация
12 августа 2016 года исполняется 80 лет со дня рождения профессора кафедры теории чисел Московского педагогического государственного университета, кандидата педагогических наук Алевтины Васильевны Жмулёвой.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)