О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЭЛЕМЕНТОВ ПОЛУГРУПП НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ II

Аннотация

Пусть имеется подмножество \(A\) натуральных чисел из отрезка \([1,q]\) со следующим условием. Если элементы \(a,b\) из \(A\) и \(ab\) не превосходит \(q\), то ab принадлежит A. Пусть также известно, что \(|A|<q^{\nu}\), \(\nu \)- некоторое фиксированное число не превосходящее 1. В данной работе ставится вопрос о числе элементов \(A\) на отрезке длины существенно меньше чем \(q\), --- на отрезке \([1,x]\), где \(x\) существенно меньше чем произвольная степень \(q\).

В этой задаче в случае, когда \(A\) --- множество специального вида и при некоторых ограничениях на \(|A|\) и \(x\), уже получены определенные результаты. Так, из работы Ж. Бургейна, С. Конягина и И. Шпарлинского вытекают нетривиальные оценки в случае когда \(A\) --- некоторая мультипликативная подгруппа группы обратимых элементов системы вычетов по простому модулю.

Исходная задача обобщает ее на случай полугрупп вместо мультипликативных подгрупп. Отметим, что имеются вполне определенные результаты по этой задаче. Основной результат данной работы --- выведена новая оценка на число элементов полугруппы натуральных чисел заданном коротком интервале от 1 до \(x\). Полученные оценки содержательны, когда \(x\) существенно меньше чем любая степень \(q\). Более точно, пусть \(A\) --- наша полугруппа, \(g:=\frac{\log{\log x}}{\log{\log q}}, x=q^{o(1)}\), при \(q\) стремящемся к бесконечности. Тогда число элементов \(A\) в интервале \((1, x)\) не превосходит \(x^{1-C(g,\nu) + o(1)}\), где \(C(g,\nu\)) --- некоторая явно выписываемая положительная функция. Предыдущие результаты относились к оценке функции \(C(g,\nu)\), найденная новая оценка для \(C(g,\nu)\) улучшает предыдущий результат для некоторой области параметров \((g,\nu)\).

При доказательстве существенно используются свойства распределения гладких чисел, чисел с большой гладкой частью, оценки на число делителей фиксированно числа в заданном диапазоне. В работе используются некоторые результаты Ж. Бургейна, С. Конягина и И. Шпарлинского.