Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЭЛЕМЕНТОВ ПОЛУГРУПП НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ II

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-3-197-203

Полный текст:

Аннотация

Пусть имеется подмножество \(A\) натуральных чисел из отрезка \([1,q]\) со следующим условием. Если элементы \(a,b\) из \(A\) и \(ab\) не превосходит \(q\), то ab принадлежит A. Пусть также известно, что \(|A|<q^{\nu}\), \(\nu \)- некоторое фиксированное число не превосходящее 1. В данной работе ставится вопрос о числе элементов \(A\) на отрезке длины существенно меньше чем \(q\), --- на отрезке \([1,x]\), где \(x\) существенно меньше чем произвольная степень \(q\).

В этой задаче в случае, когда \(A\) --- множество специального вида и при некоторых ограничениях на \(|A|\) и \(x\), уже получены определенные результаты. Так, из работы Ж. Бургейна, С. Конягина и И. Шпарлинского вытекают нетривиальные оценки в случае когда \(A\) --- некоторая мультипликативная подгруппа группы обратимых элементов системы вычетов по простому модулю.

Исходная задача обобщает ее на случай полугрупп вместо мультипликативных подгрупп. Отметим, что имеются вполне определенные результаты по этой задаче. Основной результат данной работы --- выведена новая оценка на число элементов полугруппы натуральных чисел заданном коротком интервале от 1 до \(x\). Полученные оценки содержательны, когда \(x\) существенно меньше чем любая степень \(q\). Более точно, пусть \(A\) --- наша полугруппа, \(g:=\frac{\log{\log x}}{\log{\log q}}, x=q^{o(1)}\), при \(q\) стремящемся к бесконечности. Тогда число элементов \(A\) в интервале \((1, x)\) не превосходит \(x^{1-C(g,\nu) + o(1)}\), где \(C(g,\nu\)) --- некоторая явно выписываемая положительная функция. Предыдущие результаты относились к оценке функции \(C(g,\nu)\), найденная новая оценка для \(C(g,\nu)\) улучшает предыдущий результат для некоторой области параметров \((g,\nu)\).

При доказательстве существенно используются свойства распределения гладких чисел, чисел с большой гладкой частью, оценки на число делителей фиксированно числа в заданном диапазоне. В работе используются некоторые результаты Ж. Бургейна, С. Конягина и И. Шпарлинского.

Об авторе

Ю. Н. Штейников
Математический институт имени В. А. Стеклова, ФГУ ФНЦ Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук
Россия


Список литературы

1. Hildebrand A., Tenenbaum G. Integers without large prime factors // J Theorie des Nombres de Bordeaux. 1993. Vol 5, № 2. P. 411-484.

2. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967, 512 c.

3. Bourgain J., Konyagin S., Shparlinski I. Distribution of elements of cosets of small subgroups and applications // International Math Research Notices. 2012. Vol 201, №9. P. 1968–2009.

4. Banks W., Shparlinski I. Integers with a large smooth divisor // Electronic journal of combinatorial number theory. 2007 Vol. 7.

5. Tenenbaum G. Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Universit Press, Cambridge, UK, 1995.

6. Штейников Ю.Н. О распределении элементов полугрупп натуральных чисел // Чебышевский сборник. 2012. Т. 13, № 3. С. 91–99.

7. Малыхин Ю. В. Оценки тригонометрических сумм по модулю


Для цитирования:


Штейников Ю.Н. О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЭЛЕМЕНТОВ ПОЛУГРУПП НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ II. Чебышевский сборник. 2016;17(3):197-203. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-3-197-203

For citation:


Shteinikov Y.N. ON THE DISTRIBUTION OF ELEMENTS SEMIGROUPS OF NATURAL NUMBERS II. Chebyshevskii Sbornik. 2016;17(3):197-203. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-3-197-203

Просмотров: 90


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)