РЕГУЛЯРНЫЕ КОНТИНУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ. I: СИСТЕМЫ БЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Аннотация

Обычно в математике и физике рассматриваются системы точечных частиц либо конечные либо счетные. В статье вводится новый формальный математический обьект. Именно, мы определяем регулярные системы континуума точечных частиц (с континуальным числом частиц). В начальный момент каждая частица характеризуется парой: (начальная координата, начальная скорость) в \(R^{2d}\). При этом все начальные координаты различны и заполняют некоторую область в \(R^{d}\). Каждая из частиц начинает двигаться согласно обычной ньютоновской динамике под влиянием некоторой внешней силы, но без взаимодействия друг с другом. Если внешняя сила ограничена, то траектории любых двух частиц в фазовом пространстве не пересекаются. Точнее говоря, в любой заданный момент времени у любых двух частиц либо координаты либо скорости различны. Система частиц называется регулярной, если столкновений частиц нет и в координатном пространстве.

Условие регулярности необходимо для того, чтобы ключевое понятие скорости частицы в заданный момент и находящейся в заданной точке пространства было единственным образом определена. И тогда для нее классическое уравнение Эйлера для поля скоростей имеет четкий смысл. Хотя континуум частиц это фактически определение сплошной среды, но важнейшее понятиерегулярности, кажется, не было исследовано в математической литературе.

Обнаружилось, что кажущаяся простота объекта (отсутствие взаимодействия) обманчива. И даже для простых внешних сил мы не смогли найти простых необходимых и достаточных условий регулярности. Однако, открылся богатый запас примеров, как в одномерном так и в многомерном случае, для которых мы и получаем условия регулярности на разных временных интервалах. В заключение мы формулируем множество задач для регулярных систем с взаимодействием.