Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

ОТ ДИОФАНТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ДО ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-3-38-52

Полный текст:

Аннотация

Пусть в вещественном \(n\)"=мерном пространстве \(\mathbb R^n=\{X\}\) задано \(m\) однородных вещественных форм \(f_i(X)\), \(i=1,\dotsc,m\), \(2\leqslant m\leqslant n\). Выпуклая оболочка множества значений \(G(X)=\left(|f_1(X)|,\dotsc,|f_m(X)|\right)\in\mathbb R^m_+\) для целочисленных \(X\in\mathbb{Z}^n\) во многих случаях является выпуклым многогранным множеством, граница которого для \(||X||<\mathrm{const}\) вычисляется с помощью стандартной программы. Точки \(X\in\mathbb{Z}^n\), для которых значения \(G(X)\) лежат на этой границе, названы граничными. Они являются наилучшими диофантовыми приближениями для корневых множеств указанных форм. Их вычисление даёт глобальное обобщение цепной дроби. Для \(n=3\) обобщить цепную дробь безуспешно пытались Эйлер, Якоби, Дирихле, Эрмит, Пуанкаре, Гурвиц, Клейн, Минковский, Брун, Арнольд и многие другие.

Пусть \(p(\xi)\)~--- целый неприводимый в \(\mathbb Q\) многочлен степени \(n\) и \(\lambda\)~--- его корень. Набор основных единиц кольца \(\mathbb{Z}[\lambda]\) можно вычислить по граничным точкам некоторой совокупности линейных и квадратичных форм, построенных по корням многочлена \(p(\xi)\). До сих пор эти единицы вычислялись только для \(n=2\) (с помощью обычных цепных дробей) и \(n=3\) (с помощью алгоритмов Вороного).
Каждая единица определяет автоморфизм граничных точек в \(\mathbb R^n\) и автоморфизм их образов в \(\mathbb R^m_+\). В логарифмической проекции \(\mathbb R^m_+\) на \(\mathbb R^{m-1}\) можно найти фундаментальную область для группы вторых автоморфизмов, соответствующих единицам.

С помощью этих конструкций можно находить целочисленные решения диофантовых уравнений специального вида. Аналогично вычисляются все указанные объекты для других колец поля \(\mathbb{Q}(\lambda)\). Приведены примеры.

Наш подход обобщает цепную дробь, позволяет вычислить наилучшие совместные приближения, основные единицы алгебраических колец поля \(\mathbb Q(\lambda)\) и все решения некоторого класса диофантовых уравнений для любого \(n\).

Об авторе

А. Д. Брюно
Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН
Россия
доктор физико-математических наук, профессор


Список литературы

1. Хинчин А. Я. Цепные дроби. 3-е изд. М.: Физматгиз, 1961.

2. Брюно А. Д. Разложения алгебраических чисел в цепные дроби // Журнал вычислительной матем. и матем. физики. 1964. Т. 4, № 2. С. 211–221.

3. Bruno A. D. New generalizations of continued fraction. I // Functiones et Approximatio. 2010. vol. 43, no. 1. Pp. 55–104.

4. Bruno A. D. On geometric methods in works by V. I. Arnold and V. V. Kozlov. Preprint of arXiv, No 1401.6320.

5. Брюно А. Д. Универсальное обобщение алгоритма цепной дроби // Чебышевский сборник (Тула), 2015, том 16, выпуск 2. С. 35–65.

6. Вороной Г. Ф. Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей. Варшава: Из-во Варш. Ун-та, 1896. Также: Собр. соч. в 3-х томах. Киев: Из-во АН УССР, 1952. Т. 1. С. 197–391.

7. Брюно А. Д. Структура многомерных диофантовых приближений// ДАН, 2010. Т. 433, № 5. С. 587–589.

8. Bruno A. D. Structure of the best diophantine approximations and multidimensional generalizations of the continued fraction // Чебышевский сборник (Тула), 2010. том 11, вып. 1. С. 68–73.

9. Fukuda K. Exact algorithms and software in optimization and polyhedral computation // Proceed. ISSAC’08 of XXI International Symposium on Symbolic and Algebraic Computations, ACM NY, USA, 2008. Pp. 333–334.

10. Barber C. B., Dobkin D. P., Huhdanpaa H. T. The Quickhull algorithm for convex hulls // ACM Trans. on Mathematical Software, 22(4):469–483, Dec. 1996, http://www.qhull.org.

11. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1972.

12. Брюно А. Д., Парусников В. И. Многогранники модулей троек линейных форм // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2003. № 93. 20 с. URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2003-93

13. Брюно А. Д. Обобщения цепной дроби // Чебышевский сборник (Тула), 2006, том 7, вып. 3. С. 4–71.

14. Парусников В. И. Четырёхмерное обобщение алгоритма цепных дробей // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2011. № 78. 16 с. URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2011-78.

15. Брюно А. Д. От диофантовых приближений к диофантовым уравнениям // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2016. № 1. 20 с. URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2016-1

16. Брюно А. Д. Вычисление наилучших диофантовых приближений и основных единиц алгебраических полей // ДАН, 2016. Т. 468, № 1. С. 7–11.


Для цитирования:


Брюно А.Д. ОТ ДИОФАНТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ДО ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ. Чебышевский сборник. 2016;17(3):38-52. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-3-38-52

For citation:


Bruno A.D. FROM DIOPHANTINE APPROXIMATIONS TO DIOPHANTINE EQUATIONS. Chebyshevskii Sbornik. 2016;17(3):38-52. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-3-38-52

Просмотров: 204


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)