ОТ ДИОФАНТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ДО ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Аннотация

Пусть в вещественном \(n\)"=мерном пространстве \(\mathbb R^n=\{X\}\) задано \(m\) однородных вещественных форм \(f_i(X)\), \(i=1,\dotsc,m\), \(2\leqslant m\leqslant n\). Выпуклая оболочка множества значений \(G(X)=\left(|f_1(X)|,\dotsc,|f_m(X)|\right)\in\mathbb R^m_+\) для целочисленных \(X\in\mathbb{Z}^n\) во многих случаях является выпуклым многогранным множеством, граница которого для \(||X||<\mathrm{const}\) вычисляется с помощью стандартной программы. Точки \(X\in\mathbb{Z}^n\), для которых значения \(G(X)\) лежат на этой границе, названы граничными. Они являются наилучшими диофантовыми приближениями для корневых множеств указанных форм. Их вычисление даёт глобальное обобщение цепной дроби. Для \(n=3\) обобщить цепную дробь безуспешно пытались Эйлер, Якоби, Дирихле, Эрмит, Пуанкаре, Гурвиц, Клейн, Минковский, Брун, Арнольд и многие другие.

Пусть \(p(\xi)\)~--- целый неприводимый в \(\mathbb Q\) многочлен степени \(n\) и \(\lambda\)~--- его корень. Набор основных единиц кольца \(\mathbb{Z}[\lambda]\) можно вычислить по граничным точкам некоторой совокупности линейных и квадратичных форм, построенных по корням многочлена \(p(\xi)\). До сих пор эти единицы вычислялись только для \(n=2\) (с помощью обычных цепных дробей) и \(n=3\) (с помощью алгоритмов Вороного).
Каждая единица определяет автоморфизм граничных точек в \(\mathbb R^n\) и автоморфизм их образов в \(\mathbb R^m_+\). В логарифмической проекции \(\mathbb R^m_+\) на \(\mathbb R^{m-1}\) можно найти фундаментальную область для группы вторых автоморфизмов, соответствующих единицам.

С помощью этих конструкций можно находить целочисленные решения диофантовых уравнений специального вида. Аналогично вычисляются все указанные объекты для других колец поля \(\mathbb{Q}(\lambda)\). Приведены примеры.

Наш подход обобщает цепную дробь, позволяет вычислить наилучшие совместные приближения, основные единицы алгебраических колец поля \(\mathbb Q(\lambda)\) и все решения некоторого класса диофантовых уравнений для любого \(n\).