О ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ ГУРВИЦА

В работе рассматривается новый объект исследования --- гиперболическая дзета-функция Гурвица, которая задается в правой \(\alpha\)-полуплоскости \(\alpha=\sigma+it\), \(\sigma>1\) равенством
$$
\zeta_H(\alpha;d,b)=\sum_{m\in\mathbb Z}\left(\,\overline{dm+b}\,\right)^{-\alpha},
$$
где \(d\neq0\) и \(b\) --- любое вещественное число.

Гиперболическая дзета-функция Гурвица \(\zeta_H(\alpha;d,b)\) при \(\left\|\frac{b}{d}\right\|>0\) совпадает с гиперболической дзета-функцией сдвинутой одномерной решеткой \(\zeta_H(\Lambda(d,b)|\alpha)\). Важность этого класса одномерных решёток обусловлена тем, что каждая декартова решётка представляется объединением конечного числа декартовых произведений одномерных сдвинутых решёток вида \(\Lambda(d,b)=d\mathbb{Z}+b\).

Декартовы произведения одномерных сдвинутых решёток --- это суть сдвинутые диагональные решётки, для которых в данной работе удается дать наиболее простой вид функционального уравнения для гиперболической дзета-функции этих решёток.

Изучается связь гиперболической дзета-функции Гурвица с периодизированной по параметру \(b\) дзета-функцией Гурвица \(\zeta^*(\alpha;b)\) и с обычной дзета-функцией Гурвица \(\zeta(\alpha;b)\).

Получены новые интегральные представления для этих дзета-функций и аналитическое продолжение слева от прямой \(\alpha=1+it\).

Все рассматриваемые гиперболические дзета-функции решёток образуют важный класс рядов Дирихле, непосредственно связанный с развитием теоретико-числового метода в приближенном анализе. Для исследования таких рядов эффективным является применение теоремы Абеля, дающей интегральное представление через несобственные интегралы. Интегрирование по частям этих несобственных интегралов приводят к несобственным интегралам с полиномами Бернулли, которые также исследуются в данной работе.

1. А. О. Гельфонд Исчисление конечных разностей. — М.: Наука, 1967. 376 с.

2. Добровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов / Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. — 283 с.

3. Добровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2012 Т. 13. Вып. 4(44). Тула, Из-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. С. 4–107.

4. Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. № 3. С. 18–23.

5. Добровольский М. Н. Некоторые теоретико-числовые методы приближенного анализа. Дис. ... канд. физ.–мат. наук. Москва, МГУ 2009.

6. Добровольский М. Н. Некоторые теоретико-числовые методы приближенного анализа. Автореф. дис. ... канд. физ.–мат. наук. Москва, МГУ 2009.

7. Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, N 6090–84.

8. Добровольский Н. М. Теоретико–числовые сетки и их приложения. Дис. ... канд. физ.–

9. мат. наук. Тула, 1984.

10. Добровольский Н. М. Теоретико–числовые сетки и их приложения: Автореф. дис. ... канд. физ.–мат. наук. Москва, 1985.

11. Добровольский Н. М. Теоретико–числовые сетки и их приложения // Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. Всесоюз. конф. Тбилиси, 1985. C. 67–70.

12. Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и их приложения. Дис. ... доктора физ.–мат. наук. Тула, 2000.

13. Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и их приложения. Автореф. дис. ... доктора физ.–мат. наук. Москва, 2000.

14. Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и их приложения / Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2005. — 195 с.

15. Добровольский Н. М., Ванькова В. С. О гиперболической дзета–функции алгебраических решёток // Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. республик. конф. Ташкент, 1990. C. 22.

16. Добровольский Н. М., Ванькова В. С., Козлова С. Л. Гиперболическая дзета–функция алгебраических решёток. Деп. в ВИНИТИ 12.04.90, №2327–B90.

17. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, В. Н. Соболева, Д. К. Соболев, Е. И. Юшина Гиперболическая дзета-функция решётки квадратичного поля // Чебышевский сборник 2015. Т. 16, вып. 4(56). С. 100–149.

18. Добровольский Н. М., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. Непрерывность гиперболической дзета-функции решёток // Мат. заметки. Т. 63. Вып. 4. 1998. C. 522–526.

19. Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О числе точек решётки в гиперболическом кресте // Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные и функциональные методы в теории чисел: Сб. тез. докл. II Междунар. конф. Воронеж, 1995. C. 53.

20. Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. Об аналитическом продолжении гиперболической дзета–функции рациональных решёток // Современные проблемы теории чисел и ее приложения: Сб. тез. докл. III Междунар. конф. Тула, 1996. C. 49.

21. Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О непрерывности гиперболической дзета-функции решёток // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 2. Вып. 1. Тула: Изд–во ТулГУ, 1996. С. 77–87.

22. Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О числе точек решётки в гиперболическом кресте // Мат. заметки. Т. 63. Вып. 3. 1998. C. 363–369.

23. А. А. Карацуба Основы аналитической теории чисел, 2-е изд. М.: Наука, 1983. 240 с.

24. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) М.: МЦНМО, 2004. 288 с.

25. Реброва И. Ю. Непрерывность гиперболической дзета-функции решёток // Современные проблемы теории чисел: Тез. докл. III Междунар. конф. Тула: Изд-во ТГПУ, 1996. С. 119.

26. Реброва И. Ю. Непрерывность обобщенной гиперболической дзета-функции решёток и ее аналитическое продолжение // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4. Вып.3. С. 99–108.

27. Реброва И. Ю. Пространство решёток и функции на нем. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 1999.

28. Реброва И. Ю. Пространство решёток и функции на нем. Автореф. дис. ... канд. физ.– мат. наук. Москва, МПГУ, 1999.

29. Рощеня А. Л. Аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решёток. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 1998.

30. Рощеня А. Л. Аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решёток. Автореф. дис. ... канд. физ.–мат. наук. Москва. МПГУ, 1998.

31. Е. К. Титчмарш Теория дзета-функции Римана. М.: ИЛ, 1953. 408 с.

32. Э. Т. Уиттекер, Д. Н. Ватсон Курс современного анализа. Часть вторая. Трансцендентные функции. — М.: Физматгиз, 1963. 516 с.

33. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Мир, 1974. 188 с.

34. Н. Г. Чудаков Введение в теорию