АППРОКСИМИРУЕМОСТЬ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЫ КОНЕЧНОГО ГРАФА ГРУПП КОРНЕВЫМ КЛАССОМ ГРУПП

Аннотация

Пусть \(\mathcal{K}\) --- абстрактный класс групп, и пусть \(\mathcal{K}\) содержит хотя бы одну неединичную группу.
Тогда класс \(\mathcal{K}\) называется корневым, если выполнены следующие три условия:

1. Если \(A \in \mathcal{K}\) и \(B \leq A\), то \(B \in \mathcal{K}\).

2. Если \(A \in \mathcal{K}\) и \(B \in \mathcal{K}\), то \(A\times B \in \mathcal{K}\).

3. Если \(1\leq C \leq B \leq A\) --- субнормальный ряд группы \(A\) и \(A/B, B/C \in \mathcal{K}\), тогда существует
нормальная подгруппа \(D\) группы \(A\)
такая, что \(D \leq C\) и \(A/D \in \mathcal{K}\).

Группа \(G\) называется аппроксимируемой корневым классом \(\mathcal{K}\) (или \(\mathcal{K}\)"=аппроксимируемой), если
для любого неединичного элемента \(g\) группы \(G\),
существует гомоморфизм \(\varphi \) группы \(G\) на группу из класса \(\mathcal{K}\) такой, что \(g\varphi \not = 1\).
Другими словами, группа \(G\) называется \(\mathcal{K}\)-аппроксимируемой, если для любого неединичного элемента \(g\) группы \(G\)
существует нормальная подгруппа \(N\) группы \(G\) такая, что \(G/N \in \mathcal{K}\) и \(g \not \in N\).
Наиболее интересными аппроксимационными свойствами являются аппроксимируемость классом всех конечных групп (финитная аппроксимируемость),
аппроксимируемость классом всех конечных \(p\)-групп и аппроксимируемость классом разрешимых групп.
Все эти три класса являются корневыми.
Поэтому результаты об аппроксимируемости корневым классом групп имеют достаточно общий характер.

Пусть \(\mathcal{K}\) --- корневой класс конечных групп.
И пусть \(G\) --- фундаментальная группа конечного графа групп с конечными реберными группами.
Получено необходимое и достаточное условие почти \(\mathcal{K}\)-аппроксимируемости группы \(G\).