Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск
Том 17, № 2 (2016)
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-2

Статьи

6-20 127
Аннотация

Статья посвящена жизни и деятельности академика РАН Олега Борисовича Лупанова. Приводятся сведения о всех периодах биографии О.Б.Лупанова.

В первом приложении дается список научных трудов О.Б.Лупанова, а во втором приводится список основных дат жизни и деятельности О.Б.Лупанова.

21-55 116
Аннотация

Совокупность линейных алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождеств, следуя А.И. Мальцеву, называется многообразием. При нулевой характеристике основного поля все сведения о многообразии содержатся в полилинейных частях относительно свободной алгебры многообразия, которые являются модулями над групповыми алгебрами симметрических групп соответствующей степени. Используя язык теории алгебр Ли будем говорить, что алгебра метабелева, если она удовлетворяет тождеству (xy)(zt) ≡ 0.

В данной работе мы изучим тождества неассоциативной однопорожденной свободной метабелевой алгебры и некоторых ее факторов. В частности, мы построим бесконечное множество многообразий с различными дробными экспонентами между одним и двумя. Обратите внимание, что последовательность коразмерностей этих многообразий асимптотически формируется кодлинами, а не размерностями отдельных неприводимых модулей над групповыми алгебрами симметрических групп, как в известных ранее примерах.

56-63 120
Аннотация

В теории чисел имеется обширная тематика, связанная с изучением арифметических свойств чисел с ”пропущенными цифрами“(т.е. тех чисел, цифры которых в фиксированной системе счисления принадлежат заданному множеству). В настоящей работе изучается аналог таких задач в конечных полях. Рассмотрим линейное пространство, образованное элементами конечного поля Fq, где q = p r , над Fp. Пусть {a1, . . . , ar} — базис этого пространства. Тогда каждый элемент x ∈ Fq имеет единственное представление в виде Pr j=1 cjaj , где cj ∈ Fp; коэффициенты cj можно назвать ”цифрами“. Пусть D ⊂ Fp.

Рассмотрим множество WD тех элементов x ∈ Fq, для которых cj ∈ D при всех 1 ≤ j ≤ r. При этом элементы D \ Fp можно назвать ”пропущенными цифрами“. В недавней работе C.Dartyge, C.Mauduit, A.S´ark¨ozy было показано, что если множество D достаточно велико, то во множестве WD имеются квадраты. В данной работе исследуется более общая задача. Зафиксируем множества D1, . . . , Dr ⊂ Fp и пусть W = W(D1, . . . , Dr) — множество тех элементов x ∈ Fq, для которых cj ∈ Dj при всех 1 ≤ j ≤ r. Доказана оценка на количество квадратов во множестве W, из которой вытекают следующие два утверждения:

1) если для некоторого ε > 0 выполнено Qr i=1 |Di | ≥ (2r − 1)rp r(1/2+ε) , то справедлива асимптотическая оценка |W ∩ Q| = |W| 1 2 + O(p −ε/2 ) ;

2) при Qr i=1 |Di | ≥ 8(2r − 1)rp r/2 во множестве W имеются ненулевые квадраты.

64-87 108
Аннотация

В этой работе выделяются общие классы формальных решений конечного порядка алгебраического (полиномиального) обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ), которые могут быть вычислены с помощью методов плоской степенной геометрии, основанные на методе определения ведущих членов уравнения по многоугольнику Ньютона-Брюно, который является многоугольным множеством на плоскости.

Кроме того, в этой работе доказывается теорема о том, что если формальное решение выделенного класса существует, то первое приближение (укорочение) этого решения является (формальным) решением первого приближения исходного уравнения (укороченного уравнения). Вычисляемые с помощью этих методов формальные ряды относятся к еще более общим классам формальных рядов, называемых в иностранной литературе grid-based series и transseries. Grid-based series и transseries являются относительно новыми объектами и, несмотря на большое число работ, пока слабо изучены. Они достаточно часто встречаются среди формальных решений дифференциальных уравнений, в том числе, важных в физике. Других общих методов вычисления таких рядов пока не существует. Поэтому так важно выделить классы формальных рядов, которые можно вычислить алгоритмически методами плоской степенной геометрии.

88-112 130
Аннотация

Обобщенные числа Фибоначчи { F (g) i } , определяемые с помощью рекуррентного соотношения F (g) i+2 = gF(g) i+1 + F (g) i , и начальных условий F (g) 0 = 1, F (g) 1 = g определяют способ представления натуральных чисел в виде жадного разложения n = ∑k i=0 εi(n)F (g) i , описываемого при помощи естественных условий на εi(n). В частности, при g = 1 получаем хорошо известную систему счисления Фибоначчи. Разложения, получаемые при g > 1 будем называть представлениями натуральных чисел в обобщенных системах счисления Фибоначчи.

Настоящая работа посвящена изучению множеств F (g) (ε0, . . . , εl), со- стоящих из натуральных чисел, имеющих заданное окончание представления в обобщенной системе счисления Фибоначчи. Основным результатом работы является теорема геометризации, описывающая множества F (g) (ε0, . . . , εl) в терминах дробных долей вида {nτg}, τg = √ g 2+4−g 2 . Более строго, для любого допустимого окончания (ε0, . . . , εl) существуют эффективно вычислимые a, b ∈ Z такие, что n ∈ F (g) (ε0, . . . , εl) тогда и только тогда, когда дробная доля {(n + 1)τg} принадлежит отрезку [{−aτg}; {−bτg}]. Ранее аналогичная теорема была доказана авторами для классической системы счисления Фибоначчи.

В качестве приложения рассматривается ряд аналогов классических теоретико-числовых задач над множествами F (g) (ε0, . . . , εl). В частности получены асимптотические формулы для количества чисел из данных множеств, принадлежащих заданной арифметической прогрессии, для количества простых чисел из заданного множества, для количества представлений натурального числа в виде суммы заданного числа чисел из данных множеств, а также для чисел решений аналогов задач Лагранжа, Гольдбаха и Хуа-Локена над данными множествами.

113-127 105
Аннотация

Пусть G – конечно порожденная группа Кокстера с копредставлением G =< a1, . . . , an; (aiaj ) mij = 1, i, j = 1, n >, где mij – элементы симметрической матрицы Кокстера: ∀i, j ∈ 1, n, mii = 1, mij ≥ 2, i 6= j.

Если mij ≥ 3(mij > 3), i 6= j, то G называется группой Кокстера большого (экстрабольшого) типа. Эти группы определены K. Аппелем и П. Шуппом.

Если группе G соответствует конечный дерево-граф Γ такой, что вершинам графа Γ соответствуют образующие ai , i = 1, n, а всякому ребру e, соединяющему вершины с образующими ai и aj , соответствует соотношение (aiaj ) mij = 1, то мы имеем группу Кокстера с древесной структурой.

Группы Кокстера с древесной структурой введены В. Н. Безверхним, алгоритмические проблемы в них рассматривались В. Н. Безверхним и О. В. Инченко.

Группу G можно представить как древесное произведение двупорожденных групп Кокстера, объединенных по циклическим подгруппам. При этом от графа Γ группы G перейдем к графу Γ следующим образом: вершинам графа Γ поставим в соответствие группы Кокстера на двух образующих Gij =< ai , aj ; a 2 i = a 2 j = 1,(aiaj ) mij = 1 > и Gjk =< aj , ak; a 2 j = a 2 k = 1,(ajak) mjk = 1 >, а всякому ребру e, соединяющему верши- ны, соответствующие Gij и Gjk – циклическую подгруппу < aj ; a 2 j = 1 >.

В настоящей работе доказывается, что нормализатор всякой конечно порожденной подгруппы H группы Кокстера с древесной структурой G = Gij ∗ Gjk, где Gij =< ai , aj ; a 2 i = a 2 j = 1,(aiaj ) mij = 1 > и Gjk =< aj , ak; a 2 j = a 2 k = 1,(ajak) mjk = 1 >, конечно порожден и существует алгоритм, выписывающий его образующие. 

128-136 136
Аннотация
Устанавливается справедливость альтернативы фон Неймана для аменабельности для подгрупп F-групп — показано, что для произвольной подгруппы G любой F-группы справедлива эквивалентность: либо группа G аменабельна, либо она содержит подгруппу, изоморфную свободной группе F2 ранга 2.
137-145 98
Аннотация
Доказывается алгоритмическая неразрешимость проблемы совместности для систем уравнений и неравенств в словах и длинах.
146-161 132
Аннотация

В 1955–1956 гг. П. С. Новиковым была доказана неразрешимость основных алгоритмических проблем в классе конечно определенных групп. В связи с этим возникла задача изучения данных проблем в конкретных классах конечно определенных групп. Таким образом, научный интерес представляет собой класс конечно определенных групп Кокстера, введенный Х. С. М. Кокстером в 1934 г.

Класс конечно порожденных групп Кокстера с древесной структурой был выделен В. Н. Безверхним в 2003 г.

Пусть конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой задана копредставлением

G = ha1, ...an; (ai) 2 ,(aiaj ) mij , i, j ∈ 1, n, i 6= ji

где mij — число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, причем, при i 6= j, mij = mji, mij > 2. Если mij = ∞, то между ai и aj соотношения нет. Группе G соответствует конечный связный дерево-граф Γ такой, что если вершинам некоторого ребра e графа Г соответствуют образующие ai и aj , то ребру e соответствует соотношение вида (aiaj ) mij = 1.

С другой стороны группу G можно представить как древесное произведение двупорожденных групп Кокстера, объединенных по конечным циклическим подгруппам. При этом от графа Г группы G перейдем к графу Γ следующим образом: вершинам некоторого ребра e графа Γ поставим в соответствие группы Кокстера на двух образующих Gji = haj , ai ; (aj ) 2 ,(ai) 2 ,(ajai) mji i и Gik = hai , ak; (ai) 2 ,(ak) 2 ,(aiak) mik i, а ребру e — циклическую подгруппу hai ; (ai) 2 i.

Проблема пересечения классов смежности состоит в том, что необходимо выяснить существует ли алгоритм, позволяющий для любых двух конечно порожденных подгрупп H1 и H2 группы G и любых слов w1, w2 ∈ G установить пусто или нет пересечение w1H1 ∩ w2H2.

Ранее автором была доказана разрешимость данной проблемы для свободного произведения двух двупорожденных групп Кокстера с объединением.

В настоящей работе показана разрешимость проблемы пересечения классов смежности конечного числа конечно порожденных подгрупп группы Кокстера с древесной структурой, представленной в виде древесного произведения n сомножителей, объединненых по циклическим подгруппам второго порядка.

При доказательстве использован метод специального множества и метод типов, введенный В. Н. Безверхним и использованный им при исследовании разрешимости различных алгоритмических проблем в свободных конструкциях групп.

162-169 120
Аннотация

Исследуется задача аналитического поведения рядов Дирихле,которые имеют ограниченную сумматорную функцию, на оси сходимости σ = 0. Ранее эта задача изучалась в работах авторов в случае рядов Дирихле с коэффициентами, которые определяются конечнозначными числовыми характерами, что в свою очередь было связано с решением известной гипотезы Н. Г. Чудакова о том, что конечнозначные числовые характеры, отличные от нуля почти для всех простых p, асимптотика сумматорных функций которых имеет линейный вид, являются характерами Дирихле. Эта гипотеза была высказана в 1950 году и до сих пор окончательно не решена. В одной из работ авторов было получено частичное решение этой гипотезы исходя из поведения соответствующего ряда Дирихле при подходе к мнимой оси. Есть основания полагать, что в этом направлении будет получено окончательное решение гипотезы Н. Г. Чудакова.

В нашем случае задача представляет интерес и в связи с получением аналитических условий почти периодичности ограниченной числовой последовательности, отличных от полученных ранее условий. Например, условий Сеге, заключающихся в наличии точек регулярности на границе сходимости соответствующего степенного ряда.

Отметим, что в основе исследований лежит, так называемый, метод редукции к степенным рядам, разработанный в начале 80х годов профессором В. Н. Кузнецовым, заключающийся в изучении взаимосвязи между аналитическими свойствами рядов Дирихле и граничным поведением соответсвующих (с теми же коэффициентами, что и у рядов Дирихле) степенных рядов. В данном случае этот метод позволил показать, что все точки мнимой оси являются точками непрерывности в широком смысле для таких рядов Дирихле. Более того, этот метод позволил построить последовательность полиномов Дирихле, сходящихся в любом прямоугольнике, расположенным в критической полосе, к функции, определенной рядом Дирихле.

170-183 199
Аннотация

Работа касается вопросов приближения периодических дифференцируемых функций высокой гладкости повторными средними арифметическими сумм Фурье. Одна из наиболее общих классификаций периодических функций в настоящее время — классификация, предложенная A. И. Степанцом, основанная на понятии (ψ, β)–дифференцирования. Она позволяет единым образом классифицировать суммируемые периодические функции, начиная от функций, ряд Фурье которых может расходиться, и заканчивая бесконечно дифференцируемыми функциями, включая аналитические и целые. При соответствующем выборе параметров, классы (ψ, β)–дифференцируемых функций совпадают с известными классами Вейля, классами Соболева Wl p и классами сверток с фиксированными ядрами.

В течение последних десятилетий суммы Валле Пуссена и их особые случаи (суммы Фурье и суммы Фейера) интенсивно изучались многими выдающимися специалистами в теории функций.

В настоящее время, большой объем фактического материала накоплен в многочисленных публикациях. Одно из самых важных направлений в этой области — исследование приближающих свойств указанных сумм для различных классов функций.

Цель работы — систематизировать известные результаты, связанные с приближающими свойствами методов суммирования Валле Пуссена на классах интегралов Пуассона, а также представить новые факты, полученные для их обобщений.

В ряде случаев установлены асимптотические формулы для точных верхних граней отклонений в равномерной метрике тригонометрических полиномов V (2) n,p (f; x), порождаемых повторным применением метода суммирования Валле Пуссена, на классах C ψ β,∞ и C ψ β Hω, которые задаются мультипликаторами ψ(k) и сдвигами по аргументу β при условии, что последовательности ψ(k), определяющие указанные классы, убывают к нулю со скоростью геометрической прогрессии (в этом случае функции из классов C ψ β,∞ и C ψ β Hω допускают регулярное продолжение в соответствующую полосу комплексной плоскости).

В работе рассмотрены обобщенные суммы Валле Пуссена, изучены их приближающие свойства на классах аналитических периодических функций. Получены асимптотические равенства для верхних граней отклонений повторных сумм Валле Пуссена на классах интегралов Пуассона. В соответствующих случаях эти равенства гарантируют решение задачи Колмогорова-Никольского для повторных сумм Валле Пуссена и классов интегралов Пуассона. Указаны условия, при которых повторные суммы предоставляют лучший порядок приближения, чем обычные суммы Валле Пуссена.

184-195 115
Аннотация

Асимптотически наилучшие методы синтеза схем, созданные академиком Лупановым, рассматриваются здесь в их историческом развитии. Делается попытка раскрыть большое влияние полученных результатов на формирование теории синтеза схем, проявляющееся как в непосредственном применении методов Лупанова в работах других ученых, так и в плане определения наиболее важных проблем данного раздела математики. Коротко сказано о других работах О. Б. Лупанова.

196-205 137
Аннотация

Матричные уравнения Ляпунова, а также их обобщения — матричные уравнения Сильвестра широко используются в теории устойчивости движения, теории управления, при решении обыкновенных дифференциальных уравнений Риккати и Бернулли, при решении уравнений в частных производных, а также в задачах восстановления изображений. Если структура общего решения однородной части уравнения Ляпунова хорошо изучены, то решение неоднородного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова достаточно громоздко. Наиболее распространенным требованием при решении матричных уравнений Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова, является условие единственности решения.

Ранее, в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи с использованием теории обобщенных обратных операторов, установлен критерий разрешимости матричных уравнений AX−XB = D и X−AXB = D типа Ляпунова и исследована структура семейства их решений. В статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи использовано псевдообращение линейного матричного оператора L, соответствующего однородной части уравнений AX − XB = D и X − AXB = D типа Ляпунова.

Используя технику псевдообратных (по Муру–Пенроузу) матриц и проекторов, в статье предложены оригинальные условия разрешимости, а также схема нахождения семейства линейно независимых решений неоднородного билинейного матричного уравнения и, в частности, уравнения Сильвестра, в общем случае, когда линейный матричный оператор L, соответствующий однородной части билинейного матричного уравнения не имеет обратного. Найдено выражение для семейства линейно независимых решений неоднородного билинейного матричного уравнения и, в частности, уравнения Сильвестра с использованием проекторов и псевдообратных (по Муру–Пенроузу) матриц. Этот результат является обобщением соответствующих результатов, полученных в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи, на случай билинейного матричного уравнения.

Предложенные условия разрешимости, а также схема построения частного решения неоднородного билинейного матричного уравнения подробно проиллюстрированы на примерах.

Юбилеи

Памятные даты

214-223 129
Аннотация

Статья посвящена выдающемуся российскому математику, профессору, доктору физико-математических наук Дмитрию Алексеевичу Митькину. 

Ее авторы член-корреспондент РАН В.А. Быковский, заведующий кафедрой ТПГУ профессор Н.М. Добровольский, профессор кафедры теории чисел математического факультета МПГУ А.В. Жмулева, профессор механико-математического факультета МГУ, и.о. заведующего кафедрой теории чисел математического факультета МПГУ В. Г.Чирский, декан механико-математического факультета МГУ профессор В.Н. Чубариков хорошо знали Дмитрия Алексеевича по совместной учебе, работе, близости научных интересов.

В статье приведена биография Д.А. Митькина, описаны наиболее значительные научные результаты, полученные им. Рассказано о его работе по совершенствованию преподавания математики в средней и высшей школе, о работе с математически одаренными школьниками и участии в организации олимпиад различного уровня. Большое внимание уделено его работе в МПГУ (ранее МГПИ им. В.И. Ленина), его научно-организационной деятельности на посту председателя диссертационного Совета, его роли в развитии научных исследований на кафедре теории чисел.

В списке литературы приведен перечень опубликованных им научных, научно-методических работ, книг и статей.

Воспоминания



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)