Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

О КВАДРАТАХ В СПЕЦИАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВАХ КОНЕЧНОГО ПОЛЯ

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-2-56-63

Полный текст:

Аннотация

В теории чисел имеется обширная тематика, связанная с изучением арифметических свойств чисел с ”пропущенными цифрами“(т.е. тех чисел, цифры которых в фиксированной системе счисления принадлежат заданному множеству). В настоящей работе изучается аналог таких задач в конечных полях. Рассмотрим линейное пространство, образованное элементами конечного поля Fq, где q = p r , над Fp. Пусть {a1, . . . , ar} — базис этого пространства. Тогда каждый элемент x ∈ Fq имеет единственное представление в виде Pr j=1 cjaj , где cj ∈ Fp; коэффициенты cj можно назвать ”цифрами“. Пусть D ⊂ Fp.

Рассмотрим множество WD тех элементов x ∈ Fq, для которых cj ∈ D при всех 1 ≤ j ≤ r. При этом элементы D \ Fp можно назвать ”пропущенными цифрами“. В недавней работе C.Dartyge, C.Mauduit, A.S´ark¨ozy было показано, что если множество D достаточно велико, то во множестве WD имеются квадраты. В данной работе исследуется более общая задача. Зафиксируем множества D1, . . . , Dr ⊂ Fp и пусть W = W(D1, . . . , Dr) — множество тех элементов x ∈ Fq, для которых cj ∈ Dj при всех 1 ≤ j ≤ r. Доказана оценка на количество квадратов во множестве W, из которой вытекают следующие два утверждения:

1) если для некоторого ε > 0 выполнено Qr i=1 |Di | ≥ (2r − 1)rp r(1/2+ε) , то справедлива асимптотическая оценка |W ∩ Q| = |W| 1 2 + O(p −ε/2 ) ;

2) при Qr i=1 |Di | ≥ 8(2r − 1)rp r/2 во множестве W имеются ненулевые квадраты.

Об авторе

М. Р. Габдуллин
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Институт математики и механики Уральского отделения Российской академии наук
Россия


Список литературы

1. Banks W. D., Conflitti A., Shparlinski I. E. Character sums over integers with restricted g-ary digits // Illinois J. Math. 2002. Vol. 46, №3. P. 819–836.

2. Banks W. D., Shparlinski I. E. Arithmetic properties of numbers with restricted digits // Acta Arith. 2004. Vol. 112. P. 313–332.

3. Col S. Propri´et´es multiplicatives d’entiers soumis `a des contraintes digitales // Th`ese de doctorat de math´ematiques de l’Universit´e Henri Poincar´e-Nancy. 2006. Vol. 1.

4. Col S. Diviseurs des nombres ellips´ephiques // Periodica Mathematica Hungarica. 2009. Vol. 58, №1. P. 1–23.

5. Coquet J. On the uniform distribution modulo one of some subsequences of polynomial sequences // J. Number Theory. 1978. Vol. 10, №3. P. 291–296.

6. Coquet J. On the uniform distribution modulo one of some subsequences of polynomial sequences // J. Number Theory. 1980. Vol. 12, №2. P. 244–250.

7. Coquet J. Graphes connexes, repr´esentation de entiers et ´equir´epartition // J. Number Theory. 1983. Vol. 16, №3. P. 363–375.

8. Dartyge C., Mauduit C. Nombres presque premiers dont l‘´ecriture en base r ne comporte pas certain chiffres // Journal of Number Theory. 2000. Vol. 81. P. 270–291.

9. Dartyge C., Mauduit C. Ensembles de densit´e nulle contenant des entiers poss´edant au plus deux facteurs premiers // Journal of Number Theory. 2001. Vol. 91. P. 230–255.

10. Drmota M., Mauduit C. Weyl sums over integers with affine digits restriction // Journal of Number Theory. 2010. Vol. 30. P. 2404–2427.

11. Erd˝os P., Mauduit C., S´ark¨ozy A. On the arithmetic properties of integers with missing digits I: Distribution in residue classes // Journal of Number Theory. 1998. Vol. 70, №2. P. 99–120.

12. Konyagin S. V., Mauduit C., S´ark¨ozy A. On the number of prime factors of integers characterized by digits properties // Period. Math. Hung. 2000. Vol. 40. P. 37–52.

13. Dartyge C., S´ark¨ozy A. The sum of digits function in the finite field // Proc. Amer. Math. Soc. 2013. Vol. 141, №12. P. 4119–4124.

14. Dartyge C., Mauduit C., S´ark¨ozy A. Polynomial values and generators with missing digits in finite fields // Functiones et Approximatio. 2015. Vol. 52, №1. P. 65–74.

15. Габдуллин М. Р. О квадратах во множестве элементов конечного поля с ограничениями на коэффициенты при разложении по базису // arXiv: 1602.06603v1.

16. Dietmann R., Elsholtz C., Shparlinski I. E. Prescribing the binary digits of squarefree numbers and quadratic residues // arXiv: 1601.04754v1.

17. Wan D. Generators and irreducible polynomials over finite fields // Math. Comp. 1997. Vol. 66. P. 1195–1212.

18. Winterhof A. Characters sums, primitive elements, and powers in finite fields // Journal of Number Theory. 2001. Vol. 91. P. 153–161.


Для цитирования:


Габдуллин М.Р. О КВАДРАТАХ В СПЕЦИАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВАХ КОНЕЧНОГО ПОЛЯ. Чебышевский сборник. 2016;17(2):56-63. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-2-56-63

For citation:


Gabdullin M. ON SQUARES IN SPECIAL SETS OF FINITE FIELDS. Chebyshevskii Sbornik. 2016;17(2):56-63. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-2-56-63

Просмотров: 119


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)