О КВАДРАТАХ В СПЕЦИАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВАХ КОНЕЧНОГО ПОЛЯ

Аннотация

В теории чисел имеется обширная тематика, связанная с изучением арифметических свойств чисел с ”пропущенными цифрами“(т.е. тех чисел, цифры которых в фиксированной системе счисления принадлежат заданному множеству). В настоящей работе изучается аналог таких задач в конечных полях. Рассмотрим линейное пространство, образованное элементами конечного поля Fq, где q = p r , над Fp. Пусть {a1, . . . , ar} — базис этого пространства. Тогда каждый элемент x ∈ Fq имеет единственное представление в виде Pr j=1 cjaj , где cj ∈ Fp; коэффициенты cj можно назвать ”цифрами“. Пусть D ⊂ Fp.

Рассмотрим множество WD тех элементов x ∈ Fq, для которых cj ∈ D при всех 1 ≤ j ≤ r. При этом элементы D \ Fp можно назвать ”пропущенными цифрами“. В недавней работе C.Dartyge, C.Mauduit, A.S´ark¨ozy было показано, что если множество D достаточно велико, то во множестве WD имеются квадраты. В данной работе исследуется более общая задача. Зафиксируем множества D1, . . . , Dr ⊂ Fp и пусть W = W(D1, . . . , Dr) — множество тех элементов x ∈ Fq, для которых cj ∈ Dj при всех 1 ≤ j ≤ r. Доказана оценка на количество квадратов во множестве W, из которой вытекают следующие два утверждения:

1) если для некоторого ε > 0 выполнено Qr i=1 |Di | ≥ (2r − 1)rp r(1/2+ε) , то справедлива асимптотическая оценка |W ∩ Q| = |W| 1 2 + O(p −ε/2 ) ;

2) при Qr i=1 |Di | ≥ 8(2r − 1)rp r/2 во множестве W имеются ненулевые квадраты.