О ПРОБЛЕМЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КЛАССОВ СМЕЖНОСТИ КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫХ ПОДГРУПП В ГРУППЕ КОКСТЕРА С ДРЕВЕСНОЙ СТРУКТУРОЙ

В 1955–1956 гг. П. С. Новиковым была доказана неразрешимость основных алгоритмических проблем в классе конечно определенных групп. В связи с этим возникла задача изучения данных проблем в конкретных классах конечно определенных групп. Таким образом, научный интерес представляет собой класс конечно определенных групп Кокстера, введенный Х. С. М. Кокстером в 1934 г.

Класс конечно порожденных групп Кокстера с древесной структурой был выделен В. Н. Безверхним в 2003 г.

Пусть конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой задана копредставлением

G = ha1, ...an; (ai) 2 ,(aiaj ) mij , i, j ∈ 1, n, i 6= ji

где mij — число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, причем, при i 6= j, mij = mji, mij > 2. Если mij = ∞, то между ai и aj соотношения нет. Группе G соответствует конечный связный дерево-граф Γ такой, что если вершинам некоторого ребра e графа Г соответствуют образующие ai и aj , то ребру e соответствует соотношение вида (aiaj ) mij = 1.

С другой стороны группу G можно представить как древесное произведение двупорожденных групп Кокстера, объединенных по конечным циклическим подгруппам. При этом от графа Г группы G перейдем к графу Γ следующим образом: вершинам некоторого ребра e графа Γ поставим в соответствие группы Кокстера на двух образующих Gji = haj , ai ; (aj ) 2 ,(ai) 2 ,(ajai) mji i и Gik = hai , ak; (ai) 2 ,(ak) 2 ,(aiak) mik i, а ребру e — циклическую подгруппу hai ; (ai) 2 i.

Проблема пересечения классов смежности состоит в том, что необходимо выяснить существует ли алгоритм, позволяющий для любых двух конечно порожденных подгрупп H1 и H2 группы G и любых слов w1, w2 ∈ G установить пусто или нет пересечение w1H1 ∩ w2H2.

Ранее автором была доказана разрешимость данной проблемы для свободного произведения двух двупорожденных групп Кокстера с объединением.

В настоящей работе показана разрешимость проблемы пересечения классов смежности конечного числа конечно порожденных подгрупп группы Кокстера с древесной структурой, представленной в виде древесного произведения n сомножителей, объединненых по циклическим подгруппам второго порядка.

При доказательстве использован метод специального множества и метод типов, введенный В. Н. Безверхним и использованный им при исследовании разрешимости различных алгоритмических проблем в свободных конструкциях групп.

1. Безверхний В. Н. Решение проблемы вхождения в классе HNN-групп // Алгебраические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, 1981., C. 20–62

2. Безверхний В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе HNN- групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложение. ТГПИ им. Л. Н. Толстого, 1983. C. 50–80.

3. Безверхний В. Н. Решение проблемы вхождения в некоторых классах групп с одним определяющим соотношением // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула: ТГПИ, 1986. C. 3–22.

4. Безверхний В. Н. О пересечении подгрупп в HNN-группах // Фундаментальная и прикладная математика 1998, том 4, №1, C. 199–222.

5. Безверхний В. Н. О группах Артина, Кокстера с древесной структурой // Алгебра и теория чисел: Современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V Международной конференции. Тула, 2003, C.33–34.

6. Безверхний В. Н., Инченко О. В. Проблема пересечения конечно порожденных подгрупп в группах Кокстера с древесной структурой // Известия ТулГУ Естественные науки. 2009. Вып. 2. C. 16–31.

7. Инченко О. В. Разрешимость проблемы пересечения классов смежности конечно порожденных подгрупп группы Кокстера с древесной структурой // Вестник ТулГУ Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2010. Вып. 1. C. 61–71.

8. Безверхняя И. С. О сопряженности конечных множеств подгрупп в свободном произведении групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. ТГПИ им. Л. Н. Толстого, 1981., C.102–116.

9. Инченко О.В. Об одной проблеме в группе Кокстера с древесной структурой. Вестник ТулГУ Серия Дифференциальные уравнения и прикладные задачи Выпуск 1. 2016 (Принято к печати)

10. Брискорн Э., Сайто К. Группы Артина и группы Кокстера // Математика: Сб. переводов. 1974. №6. C. 56–79

11. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М: Мир, 1980.

12. Новиков П. C. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп // Труды математического института АНСССР. 1955.

13. Безверхняя И. C. О корневом замыкании подгрупп свободного произведения групп с объединением // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложение. ТГПИ им. Л. Н. Толстого, 1983г. C. 81–112.

14. Безверхний В. Н., Добрынина И. В. О свободных подгруппах в группах Артина с древесной структурой // Чебышевский сборник, 15:1, 2014, 32–42.

15. Добрынина И. В. Решение проблемы ширины в свободных произведениях с объединением // Фундаментальная и прикладная математика, 15:1, 2009, С. 23–30

16. Appel K., Schupp P. Artin groups and infinite Coxeter groups // Invenf. Math. 1983. V. 72. P. 201–220.

17. Baumslag B. J. Intersection of finitely generated subgroups in free products // J. London Math. Soc. - 1966. - V.41. - P. 673–679