Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

О РЕШЕНИИ БИЛИНЕЙНОГО МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-2-196-205

Полный текст:

Аннотация

Матричные уравнения Ляпунова, а также их обобщения — матричные уравнения Сильвестра широко используются в теории устойчивости движения, теории управления, при решении обыкновенных дифференциальных уравнений Риккати и Бернулли, при решении уравнений в частных производных, а также в задачах восстановления изображений. Если структура общего решения однородной части уравнения Ляпунова хорошо изучены, то решение неоднородного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова достаточно громоздко. Наиболее распространенным требованием при решении матричных уравнений Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова, является условие единственности решения.

Ранее, в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи с использованием теории обобщенных обратных операторов, установлен критерий разрешимости матричных уравнений AX−XB = D и X−AXB = D типа Ляпунова и исследована структура семейства их решений. В статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи использовано псевдообращение линейного матричного оператора L, соответствующего однородной части уравнений AX − XB = D и X − AXB = D типа Ляпунова.

Используя технику псевдообратных (по Муру–Пенроузу) матриц и проекторов, в статье предложены оригинальные условия разрешимости, а также схема нахождения семейства линейно независимых решений неоднородного билинейного матричного уравнения и, в частности, уравнения Сильвестра, в общем случае, когда линейный матричный оператор L, соответствующий однородной части билинейного матричного уравнения не имеет обратного. Найдено выражение для семейства линейно независимых решений неоднородного билинейного матричного уравнения и, в частности, уравнения Сильвестра с использованием проекторов и псевдообратных (по Муру–Пенроузу) матриц. Этот результат является обобщением соответствующих результатов, полученных в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи, на случай билинейного матричного уравнения.

Предложенные условия разрешимости, а также схема построения частного решения неоднородного билинейного матричного уравнения подробно проиллюстрированы на примерах.

Об авторе

С. М. Чуйко
Донбасский государственный педагогический университет
Украина

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики,

84116, Донецкая обл., г. Славянск, ул. Генерала Батюка, 19



Список литературы

1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 с.

2. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука. — 1969. — 367 с.

3. Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука. — 1978. — 280 с.

4. ДалецкийЮ.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука. — 1970. — 534 с.

5. Boichuk, A.A., Krivosheya, S.A., 1998, "Criterion of the solvability of matrix equations of the Lyapunov type" , Ukrainian Mathematical Journal, vol. 50, no. 8, pp. 1162-1169.

6. Чуйко С.М. О решении матричных уравнений Ляпунова // Вiсник Харкiвського нацiонального унiверситету iменi В.Н. Каразiна. Серiя: Математика, прикладна математика i механiка. — № 1120. — 2014. — C. 85 – 94.

7. Чуйко С.М. О решении матричного уравнения Сильвестра // Вестник Одесского национального университета. Сер. математика и механика. — 2014, 19, Вип. 1 (21), С. 49 — 57.

8. Чуйко С.М. О решении обобщенного матричного уравнения Сильвестра // Чебышевский сборник. — 2015. — 16, Вып. 1. — С. 52 – 66.

9. Захар-Иткин М.Х. Матричное дифференциальное уравнение Риккати и полугруппа дробно-линейных преобразований // Успехи мат. наук. — 1973. — XXVIII. № 3. — С. 83 — 120.

10. Деревенский В.П. Матричные уравнения Бернулли. I // Известия вузов. Математика. – 2008. – № 2. – P. 14–23.

11. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука. — 1984. — 318 с.

12. Чуйко С.М. Метод наименьших квадратов в теории некорректно поставленных краевых задач // Вестник Киевского национального университета им. Тараса Шевченко. - 2007. — № 7. — С. 51 — 53.

13. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, — 1986. — 288 с.

14. Чуйко С.М., Чуйко. Е.В. Регуляризация периодической краевой задачи при помощи импульсного воздействия // Буковинский математический журнал. — 2013. — 1. — № 3 – 4. — С. 158 — 161.

15. Chuiko S.M. On the regularization of a linear Fredholm boundary-value problem by a degenerate pulsed action // Journal of Mathematical Sciences. — 2014. — 197, № 1, P. 138 — 150.

16. Chuiko S.M. A generalized matrix differential-algebraic equation // Journal of Mathematical Sciences (N.Y.). — 2015. —210, № 1. — pp. 9 — 21.

17. Chuiko S.M. The Green’s operator of a generalized matrix linear differential-algebraic boundary value problem // Siberian Mathematical Journal. — 2015. —56, № 4. — pp. 752 — 760.


Для цитирования:


Чуйко С.М. О РЕШЕНИИ БИЛИНЕЙНОГО МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ. Чебышевский сборник. 2016;17(2):196-205. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-2-196-205

For citation:


Chuiko S.M. ON THE SOLUTION OF THE BIILINEAR MATRIX EQUATION. Chebyshevskii Sbornik. 2016;17(2):196-205. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-2-196-205

Просмотров: 117


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)