О РЕШЕНИИ БИЛИНЕЙНОГО МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ

Аннотация

Матричные уравнения Ляпунова, а также их обобщения — матричные уравнения Сильвестра широко используются в теории устойчивости движения, теории управления, при решении обыкновенных дифференциальных уравнений Риккати и Бернулли, при решении уравнений в частных производных, а также в задачах восстановления изображений. Если структура общего решения однородной части уравнения Ляпунова хорошо изучены, то решение неоднородного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова достаточно громоздко. Наиболее распространенным требованием при решении матричных уравнений Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова, является условие единственности решения.

Ранее, в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи с использованием теории обобщенных обратных операторов, установлен критерий разрешимости матричных уравнений AX−XB = D и X−AXB = D типа Ляпунова и исследована структура семейства их решений. В статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи использовано псевдообращение линейного матричного оператора L, соответствующего однородной части уравнений AX − XB = D и X − AXB = D типа Ляпунова.

Используя технику псевдообратных (по Муру–Пенроузу) матриц и проекторов, в статье предложены оригинальные условия разрешимости, а также схема нахождения семейства линейно независимых решений неоднородного билинейного матричного уравнения и, в частности, уравнения Сильвестра, в общем случае, когда линейный матричный оператор L, соответствующий однородной части билинейного матричного уравнения не имеет обратного. Найдено выражение для семейства линейно независимых решений неоднородного билинейного матричного уравнения и, в частности, уравнения Сильвестра с использованием проекторов и псевдообратных (по Муру–Пенроузу) матриц. Этот результат является обобщением соответствующих результатов, полученных в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи, на случай билинейного матричного уравнения.

Предложенные условия разрешимости, а также схема построения частного решения неоднородного билинейного матричного уравнения подробно проиллюстрированы на примерах.