Функциональная система представляет собой множество функций с некоторым набором операций, применяемых к этим функциям и приводящих к получению других функций из этого же множества.
Функциональные системы являются одним из основных объектов дискретной математики и математической кибернетики, поскольку они являются математическими моделями реальных и абстрактных управляющих систем.
Проблематика функциональных систем обширна. Одной из основных задач является проблема полноты, состоящая в описании таких подсистем функций, которые являются
полными, т.е. из этих функций с помощью заданных операций над ними можно получить все функции.
Мы рассматриваем функциональную систему полиномиальных функций с действительными коэффициентами, где в качестве операций выступают операции суперпозиции, и для этой системы исследуем задачу о замкнутых классах (структура, базис, число конечных и бесконечных замкнутых классов). Это обусловлено тем, что проблема полноты решается с помощью (максимальных) замкнутых классов.
В настоящей статье для функциональной системы полиномиальных функций с действительными коэффициентами:
1. описаны в явном виде все конечные замкнутые классы;
2. найдено число всех конечных замкнутых классов, всех бесконечных замкнутых классов и всех замкнутых классов;
3. изучена задача о базисах замкнутых классов, а именно, установлено, что существует замкнутый класс, имеющий конечный базис, существует замкнутый класс, имеющий бесконечный базис, и существует замкнутый класс, не имеющий базиса; приведены
конкретные примеры соответствующих замкнутых классов;
4. найдено число замкнутых классов, имеющих конечный базис, число замкнутых классов, имеющих бесконечный базис, и число замкнутых классов, не имеющих базиса.

Получено полное описание всех конгруэнций свободного унара с произвольным множеством свободных образующих. А именно, каждая конгруэнция однозначно определяется некоторым набором параметров, каждый из которых представляет собой целое неотрицательное число или символ ∞; сформулированы ограничения на эти параметры.

В прямоугольнике Ω = {(𝑥, 𝑡) | 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑡 < 𝑇} рассматривается начально-краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения 

$$𝜀2(︂𝑎^2((𝜕^2)𝑢/𝜕𝑥^2)−𝜕𝑢/𝜕𝑡)︂= 𝐹(𝑢, 𝑥, 𝑡, 𝜀), (𝑥, 𝑡) ∈ Ω,
𝑢(𝑥, 0, 𝜀) = 𝜙(𝑥), 0 ⩽ 𝑥 ⩽ 1,
𝑢(0, 𝑡, 𝜀) = 𝜓1(𝑡), 𝑢(1, 𝑡, 𝜀) = 𝜓2(𝑡), 0 ⩽ 𝑡 ⩽ 𝑇.$$

Предполагается, что в угловых точках прямоугольника функция 𝐹 относительно переменной 𝑢 является кубической. Для построения асимптотики решения задачи используется нелинейный метод угловых пограничных функций, который предполагает выполнение следующих шагов:
1) разбиение области на части;
2) построение в каждой подобласти нижних и верхних решений задачи;
3) непрерывная стыковка нижних и верхних решений на общих границах подобластей;
4) последующее сглаживание кусочно-непрерывных нижних и верхних решений.
В настоящей работе удалось построить барьерные функции, пригодные сразу во всей области. Вид барьерных функций определяются с помощью погранслойных функций, являющихся решениями обыкновенных дифференциальных уравнений, а также с учетом необходимых свойств искомых решений. В результате построено полное асимптотическое разложение решения при 𝜀 → 0 и обоснована его равномерность в замкнутом прямоугольнике.

В статье доказано, что невозможно построить алгоритм, позволяющий по произвольному конечному заданию группы определить, разрешима ли ее позитивная теория. Указанное
групповое свойство не является марковским, поэтому к нему не применима фундаментальная теорема Адяна – Рабина.

В предложенной работе выполнено построение регуляризованной асимптотики решения сингулярно возмущенной неоднородной смешанной задачи на полуоси, возникающей при квазиклассическом переходе в уравнении Шредингера в координатном представлении.
Выбранный в работе профиль потенциальной энергии приводит к особенности в спектре предельного оператора в виде сильной точки поворота. Опираясь на идеи асимптотического интегрирования задач с нестабильным спектром С.А. Ломова и А.Г. Елисеева, указано каким образом и из каких соображений следует вводить регуляризирующие функции и дополнительные регуляризирующие операторы, подробно описан формализм метода регуляризации для поставленной задачи, проведено обоснование этого алгоритма и построено асимптотической решение любого порядка по малому параметру.

Для интегрируемого псевдоевклидова аналога волчка Ковалевской изучены свойства системы при нулевом уровне дополнительного первого интеграла Ковалевской. Класс движений классического волчка при том же условии называют также первым классом Аппельрота или классом Делоне. Описан класс гомеоморфности каждого слоя, классы послойной гомеоморфности слоения в окрестности бифуркационного слоя (аналог 2-атома Фоменко) и на всем двумерном пересечении уровня 𝐾 = 0 и симплектического листа скобки Пуассона. Показано наличие некомпактных одномерных слоев Лиувилля, некритических перестроек компактных и некомпактных слоев в данной интегрируемой системе. Также изучен вопрос невырожденности (по Ботту) всех точек уровня 𝐾 = 0 и доказано, что критическое множество псевдоевклидова аналога совпадает с таковым для классического волчка.

Многие реальные динамические системы характеризуются наличием множества сосуществующих аттракторов. Это свойство систем называется мультистабильностью. В мультистабильных системах может произойти внезапный переход к нежелательным или неизвестным аттракторам. Такой переход может привести к катастрофическим событиям. Оказалось, что мультистабильность также связана с возникновением непредсказуемых аттракторов, которые называются скрытыми аттракторами. Одной из определяющих причин изучения мультистабильных хаотических систем с различными характеристиками является широкий спектр их потенциальных инженерных приложений – синхронизация приемника и передатчика, маскировка и восстановление сообщений, фильтрация шумов, восстановление информационных сигналов, а также разработка алгоритмов кодирования декодирования, позволяющих представить произвольное цифровое сообщение через символическую динамику хаотической системы.
В статье предложена не только математическая модель схемы безопасной коммуникации, основанная на адаптивной синхронизации между парой идентичных мегастабильных
систем с 2-D полосой скрытых хаотических аттракторов, но и ее численное моделирование с использованием среды MATLAB & Simulink. Использование синхронизации в системах связи имеет фундаментальное значение, поскольку она заставляет системы одновременно производить одинаковые выходные данные и, в свою очередь, приводит к точному восстановлению информационных сигналов. Между тем, на стороне получателя информация может быть успешно восстановлена с помощью адаптивной техники. Представленный метод является устойчивым по отношению к различным уровням аддитивного белого гауссова
шума. Схема, используемая для синхронизации, позволила преодолеть известные трудности, представленные в работах ряда специалистов, возникающие в задаче синхронизации в случае мультиустойчивости и сосуществования скрытых колебаний, при неправильном выборе формы управляющего сигнала.
Численное моделирование проводится для проверки осуществимости предложенной синхронизации и повышения производительности метода шифрования с точки зрения гистограммы, устойчивости к шуму и визуальной незаметности. В качестве тестовых примеров рассматриваются три типа замаскированных сообщений (текст, изображение в градациях серого и аудиосигнал).

В статье предлагается алгоритм построения изоспектральных и частично-изоспектральных краевых задач Штурма — Лиувилля на конечном отрезке.

Доказано, что на групповой модели вещественного расширения плоскости Лобачевcкого H^2×R существует левоинвариантная контактная метрическая структура (𝜂, 𝜉, 𝜙, 𝑔), риманова метрика которой отлична от метрики прямого произведения. Ограничение метрики 𝑔 на контактное распределение является метрикой плоскости Лобачевского и вместе с вполне неголономным контактным распределением определяет на H^2 × R субриманову структуру. Найденная почти контактная метрическая структура является нормальной и, следовательно, сасакиевой. Группа Ли автоморфизмов этой структуры имеет максимальную
размерность. Найдены базисные векторные поля её алгебры Ли. Кроме связности Леви-Чивита ∇ рассматривается контактная метрическая связность ˜∇ с кососимметрическим кручением, которая, как и связность Леви-Чивита, также инварианта относительно группы автоморфизмов. Структурные тензоры 𝜂, 𝜉, 𝜙, 𝑔, тензор кручения ˜ 𝑆 и тензор кривизны ˜𝑅 данной связности ковариантно постоянны. Тензор кривизны ˜𝑅 связности ˜∇ обладает необходимыми свойствами, позволяющими ввести понятие секционной кривизны. Установлено, что секционная кривизна ˜𝑘 принадлежит числовому отрезку [−2, 0]. Используя поле ортонормированных реперов, адаптированных к контактному распределению, найдены коэффициенты усечённой связности и дифференциальные уравнения её геодезических.
Доказано, что контактные геодезические связностей ∇ и ˜∇ совпадают с геодезическими усечённой связности, т.е. обе связности согласованы с контактным распределением. Это означает, что через каждую точку в каждом контактном направлении проходит единственная контактная геодезическая.

Рассматриваются целые функции, являющиеся четными каноническими произведениями нулевого рода, все корни которых расположены на действительной оси. Изучается
вопрос об оценке снизу минимума модуля таких функций на окружности через некоторую отрицательную степень максимума модуля на той же окружности, когда радиус окружности пробегает отрезки с постоянным отношением концов. В 2002 году А. М. Гайсин, исправляя ошибочные рассуждения М. А. Евграфова из книги «Асимптотические оценки и целые функции», доказал, что для каждой функции рассматриваемого класса существует последовательность окружностей, радиусы которых стремятся к бесконечности, отношение последующего радиуса к предыдущему меньше 4, и эти окружности таковы, что на каждой из них минимум модуля функции превосходит −20-ю степень максимума
ее модуля. Этот результат усилен нами в трех направлениях. Во-первых, показатель −20 заменен на −2. Во-вторых, мы доказали, что радиусы окружностей, на которых минимум модуля функции превосходит −2-ю степень максимума ее модуля, встречаются на каждом интервале, отношение концов которого равно 3. В-третьих, мы выяснили, что обсуждаемое неравенство верно для функций изучаемого класса «в среднем». Последнее означает, что
если взять логарифм произведения минимума модуля функции на окружности на квадрат максимума ее модуля, разделить на куб радиуса и проинтегрировать по всем радиусам, принадлежащим произвольному отрезку с отношением концов, равным 3, то получится положительная величина.

В данной работе подробно доказывается критерий наличия у алгебраической цепной дроби собственной палиндромической симметрии в размерности 4. Также мы приводим новое доказательство критерия наличия собственной циклической палиндромической симметрии в размерности 4. В качестве многомерного обобщения цепных дробей рассматриваются полиэдры Клейна.

В работе найдены точные неравенства между наилучшим полиномиальным приближением аналитических в круге 𝑈𝑅 :=
{︀𝑧 ∈ C, |𝑧| < 𝑅}︀, 𝑅 ⩾ 1 функций и усредненным модулем непрерывности угловых граничных значений производных 𝑚-го порядка. Для класса 𝑊(𝑚) 𝑞,𝑅 (𝑚 ∈ Z+, 1 ⩽ 𝑞 ⩽ ∞, 𝑅 ⩾ 1) функций 𝑓 ∈ 𝐻(𝑚) 𝑞,𝑅 , у которых производные 𝑚-го порядка 𝑓(𝑚) принадлежат пространству Харди 𝐻𝑞,𝑅 и удовлетворяют условию
‖𝑓(𝑚)‖𝑞,𝑅 ⩽ 1, вычислены точные значения верхних граней наилучших приближений. Кроме того, для класса 𝑊(𝑚)
𝑞,𝑅 (Φ), состоящих из всех функций 𝑓 ∈ 𝐻(𝑚) 𝑞,𝑅 , для которых при
любом 𝑘 ∈ N, 𝑚 ∈ Z+, 𝑘 > 𝑚 усредненные модули непрерывности граничных значений производной 𝑚-го порядка 𝑓(𝑚), мажорируемые в системе точек {𝜋/𝑘}𝑘∈N заданной функцией Φ, удовлетворяют условию

$$∫︁(0, 𝜋/𝑘) 𝜔(︀𝑓^(𝑚), 𝑡)︀_(𝑞,𝑅) 𝑑𝑡 ⩽ Φ(𝜋/𝑘),$$

вычислены точные значения колмогоровских и бернштейновских 𝑛-поперечников в норме пространства 𝐻𝑞 (1 ⩽ 𝑞 ⩽ ∞).
Полученные результаты обобщают некоторые результаты Л.В.Тайкова на классах аналитических функций в круге радиуса 𝑅 ⩾ 1.

В статье приведена новая эмпирическая математическая модель динамики изменения коэффициента трения полимера по стали в вакууме при ионной бомбардировке, содержащая ряд новых триботехнических характеристик, которые позволяют более детально охарактеризовать фрикционное взаимодействие. Показана справедливость разработанной математической модели для описания трения материала АМАН по стали при переменном
комплексе внешних условий.

В статье рассматривается задача о концентрации напряжений в упругой слоистой плоскости с эллиптическим вырезом. Явление исследуется с помощью понятия тензора концентрации напряжений. Изучаются два уровня концентрации: из-за слоистости и из-за выреза. Отдельно приведены формулы для компонент тензора концентрации напряжений в случае бесконечной слоистой плоскости (первый уровень), а также в случае однородной анизотропной плоскости с эллиптическим вырезом (второй уровень). Тензор концентрации напряжений в слоистой плоскости с вырезом представляется как произведение тензоров концентрации на первом и втором уровнях. Приведены приближенные формулы для компонент тензора концентрации. Подробно рассмотрен случай совпадения ориентации слоев
и главных осей эллиптического отверстия. В этом случае вычислены коэффициенты концентрации в характерных точках, приведены графики зависимости этих коэффициентов от отношения модулей упругости слоев. Кроме того, проведено численное решение задачи с помощью пакета конечно-элементного анализа. Полученные аналитические и численные
результаты согласуются с хорошей точностью.

Статья посвящена истории математического образования в России во второй половине ХVIII века. Основной темой исследования авторов является анализ содержания четырехтомного «Теоретического и практического курса чистой математики» Е. Д. Войтяховского, и его места в российском математическом просвещении. Этот труд интересен тем, что в нем автор предпринял попытку создания наиболее полного учебника, в котором отводилась особая роль целостности теории и практики. Несмотря на то, что этот учебник в первую очередь предназначался для военных училищ, в нем были изложены основные понятия и формулировки общей математики как науки, а также изложены решения большого количества прикладных задач. Наряду с учебниками Л. Ф. Магницкого, С. Я. Румовского,
М. Е. Головина, «Курс чистой математики» Е. Д. Войтяховского стал отправной точкой и идеальной методической площадкой для формирования последующих курсов математики. Благодаря этим работам был создан учебный базис для серьезного математического образования, по существу, объединивший опыт создания всех учебников XVIII века.

В статье рассматривается методический подход к изучению элементов системы искусственного интеллекта в школьном курсе информатики. Это тема имеет актуальный характер в современном мире. В статье приведены структура и содержание интеллектуальных систем и технологий как нового раздела общеобразовательного курса информатики. ИИ раскрывается в различных значениях, в том числе, подробно описывается ИИ как предмет, и как инструмент обучения. Формирование цифровых навыков учащихся происходит через создание и использование интеллектуальных алгоритмов. Также рассматривается
использование технологий виртуальной и дополненной реальности в учебном процессе.
Особое внимание уделяется применению технологии дополненной реальности на таких платформах как Argin и Metaverse Studio. Процесс обучения элементам ИИ в школьном
курсе информатики рассматривается вариативно, соответствуя направлению профильной подготовки учащихся. Система задач с различным уровнем сложности используется как средство для развития цифровых навыков. Предлагается трехуровневая сложность заданий, где учащиеся в зависимости от уровня подготовленности выбирают подходящее им задание. В статье приведены примерные задания с решениями для профильного класса IT-направления. Они приведены из области экспертной системы, системы анализа баз данных, моделирования, а также задания поиска подходящего участка земли, удовлетворяющего
требуемым условиям на платформе геоинформационных систем. В работе отмечено, что в школьный курс информатики необходимо включить отдельный раздел, посвященный интеллектуальной технологии и системы, модернизировать критерии достижения образовательных результатов в обучении информатике, соответствующим профильной подготовке и внести новые критерии эффективности обучения.

В статье рассматривается задача о симметричном стационарном кавитационном обтекании клина безграничным потоком идеальной несжимаемой невесомой жидкости при
наличии точечного стока заданной интенсивности, расположенного в вершине клина.
Для схематизации течения в кормовой части каверны использована схема Эфроса с возвратной струйкой, уходящей на второй лист римановой поверхности.
Точное решение задачи построено отображением областей изменения комплексного потенциала и комплексной скорости течения на область изменения вспомогательного параметрического переменного.
Проведен полный параметрический анализ задачи. Для широкого набора значений числа кавитации, безразмерного расхода стока и угла раствора клина найдены форма и размеры кавитационной полости, а также значения коэффициента сопротивления.

С начала XIX в. в европейских странах (Германия, Франция, Бельгия, Австрия) астрономы, инженеры, механики изобретали, создавали и совершенствовали гироскопы. Практический запрос на устройства с гироскопом был значительным, но специальной теории гироскопа ещё не было. Фундамент теории был заложен Эйлером, развит Лагранжем, продолжен Пуассоном. С другой стороны, в XIX в. в работах Якоби, Абеля, Вейерштрасса
была создана и начала развиваться теория эллиптических функций. На основе этой теории К. Якоби и О.И. Сомовым была создана специальная теория гироскопа.

Двумерные спектральные задачи для гиперболических уравнений хорошо изучены, а их многомерные аналоги, насколько известно автору, исследованы мало. Это связано с тем, что в случае трех и более независимых переменных возникают трудности принципиального характера, так как весьма привлекательный и удобный метод сингулярноых интегральных уравнений, применяемый для двумерных задач, здесь не может быть использован из-за отсутствия сколько-нибудь полной теории многомерных сингулярных интегральных уравнений. Теория многомерных сферических функций, напротив, достаточно и полно изучена. Эти функции имеют важное приложение в математической и теоретической физике, и в теории многомерных сингулярных уравнений. В цилиндрической области евклидова
пространства для одного класса многомерных гиперболических уравнений рассматривается спектральная задача Пуанкаре. Решение ищется в виде разложения по многомерным сферическим функциям. Доказаны теоремы существования и единственности решения.
Получены условия однозначной разрешимости поставленной задачи, которые существенно зависят от высоты цилиндра.

Мы рассматриваем алгебру 𝐴0(𝑋) полиномиальных функций на симплициальном комплексе 𝑋, которая является компонентой степени 0 введенной Сулливаном dg-алгебры 𝐴∙(𝑋) полиномиальных форм. Все рассматриваемые алгебры над произвольным полем 𝑘 характеристики 0.
Нашей целью является вычисление когомологий де Рама алгебры 𝐴0(𝑋), то есть когомологий универсальной dg-алгебры Ω∙
𝐴0(𝑋). Имеется канонический морфизм dg-алгебр 𝑃 : Ω∙
𝐴0(𝑋) → 𝐴∙(𝑋). Мы доказываем, что морфизм 𝑃 является квазиизоморфизмом. Таким образом, когомологии де Рама алгебры 𝐴0(𝑋) канонически изоморфны когомологиям симлициального комплекса 𝑋 с коэффициентами в поле 𝑘. Более того, для 𝑘 = Q, dg-алгебра Ω∙
𝐴0(𝑋) служит моделью симплициального комплекса 𝑋 в смысле рациональной теории гомотопий. Наш результат показывает, что для алгебры 𝐴0(𝑋) верно утверждение теоремы сравнения Гротендика (доказанной им для гладких алгебр).
Для доказательства мы рассматриваем резольвенты Чеха, ассоциированные с покрытием симплициального комплекса звездами вершин.
Ранее Кан — Миллер доказали, что морфизм 𝑃 сюръективен, а также описали его ядро. Другое описание ядра дали Сулливан и Феликс — Джессап — Паран.

В работе решена проблема вхождения в группе Артина с древесной структурой.

Вороной получил для совершенных форм три результата. Во-первых, он доказал, что форма, отвечающая плотнейшей упаковке, является совершенной. Во-вторых, он установил, что совершенных форм от данного числа переменных конечное число. И самое главное, в-третьих, Вороной предложил метод нахождения всех совершенных форм. Этот метод опирается на так называемый совершенный полиэдр, весьма сложный многомерный
многогранник, введенный Вороным. В принципе, найдя методом Вороного все совершенные формы, можно вычислить плотности для конечного числа соответствующих упаковок и выделить те, которые отвечают максимальному значению. Классической задачи Вороного отыскания совершенных форм, тесно связанной с известной проблемой Эрмита арифметические минимумы положительных квадратичных форм. Они появились и в работах
С.Л.Соболева и Х.М. Шадиметова в связи с построением решетчатых оптимальных кубатурных формул. В настоящей работы предлагается усовершенствованные алгоритма Воро-
ного для вычислении окрестности Вороного совершенной формы от много переменных и с помощью этого алгоритма вычислена окрестность Вороного главной совершенной формы от пяти переменных.

С помощью функционала, определенного на паре согласованных пространств представления связной подгруппы собственной группы Лоренца, вычислены формула преобразований Бушмана — Эрдейи функции, кратной функции Лежандра, и формула преобразования Мелера-Фока функции Лежандра обратного аргумента. Также выведено обобщение одной известной формулы для преобразования Мелера–Фока.

В статье изучается следующая задача. Пусть имеется два подмножества множества натуральных чисел, которые мы обозначим как 𝐴 и 𝐵. Пусть дополнительно известно также, что асимптотическая плотность этих множеств 𝐴,𝐵 равна 1. Мы определяем множество натуральных чисел, которые являются представимыми в виде произведения этих множеств 𝐴𝐵, то есть такие элементы 𝑎𝑏, где 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵. Мы изучаем свойства это-
го подмножества произведений во множестве всех натуральных чисел. Авторы S. Bettin, D. Koukoulopoulos и C. Sanna в статье [1] доказали помимо всего прочего, что плотность множества 𝐴𝐵 также равна 1. Более того была выведена количественная версия этого утверждения, а именно получена оценка на множество N ∖ 𝐴𝐵, которое мы обозначим через 𝐴𝐵. А именно, этими авторами в случае когда известны количественные верхние оценки на 𝐴 ∩ [1, 𝑥] = 𝛼(𝑥)𝑥,𝐵 ∩ [1, 𝑥] = 𝛽(𝑥)𝑥, 𝛼(𝑥), 𝛽(𝑥) = 𝑂(1/(log 𝑥)𝑎), 𝑥 → ∞ вы-
ведена и верхняя оценка на множество 𝐴𝐵 ∩ [1, 𝑥]. В данной работе мы изучаем случай когда 𝛼, 𝛽 стремятся к нулю медленнее чем в вышеуказанном случае и несколько уточняем верхнюю оценку на множество 𝐴𝐵 ∩ [1, 𝑥]. В настоящей статье мы рассматриваем случай 𝛼(𝑥), 𝛽(𝑥) = 𝑂(︀ 1/((log log 𝑥)^𝑎))︀
при некотором фиксированном 𝑎 > 1. Мы заимствуем
подходы, аргументы и схему доказательства из упомянутой работы трех авторов S. Bettin, D. Koukoulopoulos и C. Sanna[1].

Выдающийся российский математик Алексей Николаевич Паршин (1942 – 2022) был также глубоким мыслителем и оригинальным историком науки. Свои идеи он подытожил в ряде работ, опубликованных в различных журналах и сборниках, основные из которых составили содержание двух книг: «Путь. Математика и другие миры» (2002), «Лестница отражений» (2022). Делается попытка дать содержательный анализ основных идей А.Н.
Паршина.

В статье даются некоторые воспоминания авторов о начальном этапе математического образования двух замечательных выпускников Интерната ФМШ 18 при МГУ: Миши Бошерницане и Игоре Кричевере, приводятся некоторые факты, связанные с юбилеем Интерната ФМШ 18 при МГУ. Также приводятся некоторые фотографии из фотоархивов И. Н. Найды и Ю. В. Матиясевича.
Авторы не касались научного творчества И. М. Кричевера и М. Д. Бошерницана, так как в литературе есть прекрасные обзоры по этой теме.

Статья посвящена 80-летнему юбилею выдающегося отечественного историка математики, президента Международной Академии истории науки Демидова Сергея Сергеевича.