Левоинвариантная сасакиева структура на групповой модели вещественного расширения плоскости Лобачевского

Аннотация

Доказано, что на групповой модели вещественного расширения плоскости Лобачевcкого H^2×R существует левоинвариантная контактная метрическая структура (𝜂, 𝜉, 𝜙, 𝑔), риманова метрика которой отлична от метрики прямого произведения. Ограничение метрики 𝑔 на контактное распределение является метрикой плоскости Лобачевского и вместе с вполне неголономным контактным распределением определяет на H^2 × R субриманову структуру. Найденная почти контактная метрическая структура является нормальной и, следовательно, сасакиевой. Группа Ли автоморфизмов этой структуры имеет максимальную
размерность. Найдены базисные векторные поля её алгебры Ли. Кроме связности Леви-Чивита ∇ рассматривается контактная метрическая связность ˜∇ с кососимметрическим кручением, которая, как и связность Леви-Чивита, также инварианта относительно группы автоморфизмов. Структурные тензоры 𝜂, 𝜉, 𝜙, 𝑔, тензор кручения ˜ 𝑆 и тензор кривизны ˜𝑅 данной связности ковариантно постоянны. Тензор кривизны ˜𝑅 связности ˜∇ обладает необходимыми свойствами, позволяющими ввести понятие секционной кривизны. Установлено, что секционная кривизна ˜𝑘 принадлежит числовому отрезку [−2, 0]. Используя поле ортонормированных реперов, адаптированных к контактному распределению, найдены коэффициенты усечённой связности и дифференциальные уравнения её геодезических.
Доказано, что контактные геодезические связностей ∇ и ˜∇ совпадают с геодезическими усечённой связности, т.е. обе связности согласованы с контактным распределением. Это означает, что через каждую точку в каждом контактном направлении проходит единственная контактная геодезическая.