Усиление леммы Гайсина о минимуме модуля четных канонических произведений

Аннотация

Рассматриваются целые функции, являющиеся четными каноническими произведениями нулевого рода, все корни которых расположены на действительной оси. Изучается
вопрос об оценке снизу минимума модуля таких функций на окружности через некоторую отрицательную степень максимума модуля на той же окружности, когда радиус окружности пробегает отрезки с постоянным отношением концов. В 2002 году А. М. Гайсин, исправляя ошибочные рассуждения М. А. Евграфова из книги «Асимптотические оценки и целые функции», доказал, что для каждой функции рассматриваемого класса существует последовательность окружностей, радиусы которых стремятся к бесконечности, отношение последующего радиуса к предыдущему меньше 4, и эти окружности таковы, что на каждой из них минимум модуля функции превосходит −20-ю степень максимума
ее модуля. Этот результат усилен нами в трех направлениях. Во-первых, показатель −20 заменен на −2. Во-вторых, мы доказали, что радиусы окружностей, на которых минимум модуля функции превосходит −2-ю степень максимума ее модуля, встречаются на каждом интервале, отношение концов которого равно 3. В-третьих, мы выяснили, что обсуждаемое неравенство верно для функций изучаемого класса «в среднем». Последнее означает, что
если взять логарифм произведения минимума модуля функции на окружности на квадрат максимума ее модуля, разделить на куб радиуса и проинтегрировать по всем радиусам, принадлежащим произвольному отрезку с отношением концов, равным 3, то получится положительная величина.