О наилучшем полиномиальном приближении функций в пространстве Харди 𝐻𝑞,𝑅, (1 ⩽ 𝑞 ⩽ ∞, 𝑅 ⩾ 1)
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-1-182-193
Аннотация
В работе найдены точные неравенства между наилучшим полиномиальным приближением аналитических в круге 𝑈𝑅 :=
{︀𝑧 ∈ C, |𝑧| < 𝑅}︀, 𝑅 ⩾ 1 функций и усредненным модулем непрерывности угловых граничных значений производных 𝑚-го порядка. Для класса 𝑊(𝑚) 𝑞,𝑅 (𝑚 ∈ Z+, 1 ⩽ 𝑞 ⩽ ∞, 𝑅 ⩾ 1) функций 𝑓 ∈ 𝐻(𝑚) 𝑞,𝑅 , у которых производные 𝑚-го порядка 𝑓(𝑚) принадлежат пространству Харди 𝐻𝑞,𝑅 и удовлетворяют условию
‖𝑓(𝑚)‖𝑞,𝑅 ⩽ 1, вычислены точные значения верхних граней наилучших приближений. Кроме того, для класса 𝑊(𝑚)
𝑞,𝑅 (Φ), состоящих из всех функций 𝑓 ∈ 𝐻(𝑚) 𝑞,𝑅 , для которых при
любом 𝑘 ∈ N, 𝑚 ∈ Z+, 𝑘 > 𝑚 усредненные модули непрерывности граничных значений производной 𝑚-го порядка 𝑓(𝑚), мажорируемые в системе точек {𝜋/𝑘}𝑘∈N заданной функцией Φ, удовлетворяют условию
$$∫︁(0, 𝜋/𝑘) 𝜔(︀𝑓^(𝑚), 𝑡)︀_(𝑞,𝑅) 𝑑𝑡 ⩽ Φ(𝜋/𝑘),$$
вычислены точные значения колмогоровских и бернштейновских 𝑛-поперечников в норме пространства 𝐻𝑞 (1 ⩽ 𝑞 ⩽ ∞).
Полученные результаты обобщают некоторые результаты Л.В.Тайкова на классах аналитических функций в круге радиуса 𝑅 ⩾ 1.
Об авторах
Мирганд Шабозович ШабозовТаджикистан
доктор физико-математических наук, профессор
Гулзорхон Амиршоевич Юсупов
Таджикистан
доктор физико-математических наук, доцент
Список литературы
1. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наи-
2. лучших приближений // УМН. 1960. Т. 15. № 3. С. 81–120.
3. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических
4. функций // Матем. заметки. 1967. Т. 1. № 2. С. 155–162.
5. Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Изв.
6. АН СССР. Сер. матем. 1958. Т. 22. № 5. С. 631–640.
7. Тайков Л.В. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки.
8. Т. 22. № 2. С. 285–295.
9. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. Наилучшее приближение в смысле А.Н. Колмогорова классов
10. аналитических в единичном круге функций // Матем. заметки. 1986. Т. 40. № 3. С. 341–
11.
12. Тайков Л.В. Некоторые точные неравенства в теории приближения функций // Analysis
13. Mathematica. 1976. № 2. С. 77–85.
14. Двейрин М.З. Поперечники и 𝜀-энтропия классов функций, аналитических в единичном
15. круге // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1975. Т. 23. С. 32–46.
16. Двейрин М.З., Чебаненко И.В. О полиномиальной аппроксимации в бановых простран-
17. ствах аналитических функций // Теория отображений и приближение функций. Наукова
18. думка. Киев. 1983. С. 63–73.
19. Фарков Ю.А. Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре из C𝑛 // УМН. 1990. Т. 45.
20. № 5. С. 197–198.
21. Farkov Yu.A. 𝑛-Widths, Faber expansion, and computation of analytic functions // Journal of
22. complexity. 1996. Vol. 12. № 1. PP. 58–79.
23. Fisher S.D., Stessin M.I. The 𝑛-width of the unit ball of 𝐻𝑞 // Journal of Approx. Theory.
24. Vol. 67. № 3. PP. 347–356.
25. Pinkus A. 𝑛-Widths in Approximation Theory. Berlin: Springer-Verlag. Heidelberg. New York.
26. Tokyo. 1985. 252 p.
27. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге
28. функций. I // Укр. матем. журнал. 1990. Т. 42. № 7. С. 873–881.
29. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге
30. функций. II // Укр. матем. журнал. 1990. Т. 42. № 8. С. 1019–1026.
31. Вакарчук С.Б. Точные значения поперечников классов аналитических в круге функций и
32. наилучшие линейные методы приближения // Матем. заметки. 2002. Т.72. № 5. С. 665–669.
33. Вакарчук С.Б. О некоторых экстремальных задачах теории приближений в комплексной
34. плоскости // Укр. матем. журнал. 2004. Т. 56. № 9. С. 1155–1171.
35. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций
36. в пространстве Харди 𝐻2 // Матем. заметки. 2000. Т. 68. № 5. С. 796–800.
37. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшее приближение и значения поперечников некото-
38. рых классов аналитических функций // Докл. РАН. 2002. Т. 382. № 6. С.747–749.
39. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге
40. // Матем. сборник. 2010. Т. 201. № 8. С. 3–22.
41. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир. 1965. Т.1. 615 с.
42. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М. Изд-во МГУ. 1976. 325 с.
43. Тайков Л.В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике простран-
44. ства 𝐿2 // Матем. заметки. 1977. Т. 22. № 4. С. 535–542.
Рецензия
Для цитирования:
Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. О наилучшем полиномиальном приближении функций в пространстве Харди 𝐻𝑞,𝑅, (1 ⩽ 𝑞 ⩽ ∞, 𝑅 ⩾ 1). Чебышевский сборник. 2023;24(1):182-193. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-1-182-193
For citation:
Shabozov M.Sh., Yusupov G.A. On the best polynomial approximation of functions in the Hardy space 𝐻𝑞,𝑅, (1 ⩽ 𝑞 ⩽ ∞, 𝑅 ⩾ 1). Chebyshevskii Sbornik. 2023;24(1):182-193. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-1-182-193