Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

О наилучшем полиномиальном приближении функций в пространстве Харди 𝐻𝑞,𝑅, (1 ⩽ 𝑞 ⩽ ∞, 𝑅 ⩾ 1)

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-1-182-193

Аннотация

В работе найдены точные неравенства между наилучшим полиномиальным приближением аналитических в круге 𝑈𝑅 :=
{︀𝑧 ∈ C, |𝑧| < 𝑅}︀, 𝑅 ⩾ 1 функций и усредненным модулем непрерывности угловых граничных значений производных 𝑚-го порядка. Для класса 𝑊(𝑚) 𝑞,𝑅 (𝑚 ∈ Z+, 1 ⩽ 𝑞 ⩽ ∞, 𝑅 ⩾ 1) функций 𝑓 ∈ 𝐻(𝑚) 𝑞,𝑅 , у которых производные 𝑚-го порядка 𝑓(𝑚) принадлежат пространству Харди 𝐻𝑞,𝑅 и удовлетворяют условию
‖𝑓(𝑚)‖𝑞,𝑅 ⩽ 1, вычислены точные значения верхних граней наилучших приближений. Кроме того, для класса 𝑊(𝑚)
𝑞,𝑅 (Φ), состоящих из всех функций 𝑓 ∈ 𝐻(𝑚) 𝑞,𝑅 , для которых при
любом 𝑘 ∈ N, 𝑚 ∈ Z+, 𝑘 > 𝑚 усредненные модули непрерывности граничных значений производной 𝑚-го порядка 𝑓(𝑚), мажорируемые в системе точек {𝜋/𝑘}𝑘∈N заданной функцией Φ, удовлетворяют условию

$$∫︁(0, 𝜋/𝑘) 𝜔(︀𝑓^(𝑚), 𝑡)︀_(𝑞,𝑅) 𝑑𝑡 ⩽ Φ(𝜋/𝑘),$$

вычислены точные значения колмогоровских и бернштейновских 𝑛-поперечников в норме пространства 𝐻𝑞 (1 ⩽ 𝑞 ⩽ ∞).
Полученные результаты обобщают некоторые результаты Л.В.Тайкова на классах аналитических функций в круге радиуса 𝑅 ⩾ 1.

 

Об авторах

Мирганд Шабозович Шабозов
Таджикский национальный университет
Таджикистан

доктор физико-математических наук, профессор



Гулзорхон Амиршоевич Юсупов
Таджикский государственный педагогический университет им. С. Айни
Таджикистан

доктор физико-математических наук, доцент



Список литературы

1. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наи-

2. лучших приближений // УМН. 1960. Т. 15. № 3. С. 81–120.

3. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических

4. функций // Матем. заметки. 1967. Т. 1. № 2. С. 155–162.

5. Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Изв.

6. АН СССР. Сер. матем. 1958. Т. 22. № 5. С. 631–640.

7. Тайков Л.В. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки.

8. Т. 22. № 2. С. 285–295.

9. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. Наилучшее приближение в смысле А.Н. Колмогорова классов

10. аналитических в единичном круге функций // Матем. заметки. 1986. Т. 40. № 3. С. 341–

11.

12. Тайков Л.В. Некоторые точные неравенства в теории приближения функций // Analysis

13. Mathematica. 1976. № 2. С. 77–85.

14. Двейрин М.З. Поперечники и 𝜀-энтропия классов функций, аналитических в единичном

15. круге // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1975. Т. 23. С. 32–46.

16. Двейрин М.З., Чебаненко И.В. О полиномиальной аппроксимации в бановых простран-

17. ствах аналитических функций // Теория отображений и приближение функций. Наукова

18. думка. Киев. 1983. С. 63–73.

19. Фарков Ю.А. Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре из C𝑛 // УМН. 1990. Т. 45.

20. № 5. С. 197–198.

21. Farkov Yu.A. 𝑛-Widths, Faber expansion, and computation of analytic functions // Journal of

22. complexity. 1996. Vol. 12. № 1. PP. 58–79.

23. Fisher S.D., Stessin M.I. The 𝑛-width of the unit ball of 𝐻𝑞 // Journal of Approx. Theory.

24. Vol. 67. № 3. PP. 347–356.

25. Pinkus A. 𝑛-Widths in Approximation Theory. Berlin: Springer-Verlag. Heidelberg. New York.

26. Tokyo. 1985. 252 p.

27. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге

28. функций. I // Укр. матем. журнал. 1990. Т. 42. № 7. С. 873–881.

29. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге

30. функций. II // Укр. матем. журнал. 1990. Т. 42. № 8. С. 1019–1026.

31. Вакарчук С.Б. Точные значения поперечников классов аналитических в круге функций и

32. наилучшие линейные методы приближения // Матем. заметки. 2002. Т.72. № 5. С. 665–669.

33. Вакарчук С.Б. О некоторых экстремальных задачах теории приближений в комплексной

34. плоскости // Укр. матем. журнал. 2004. Т. 56. № 9. С. 1155–1171.

35. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций

36. в пространстве Харди 𝐻2 // Матем. заметки. 2000. Т. 68. № 5. С. 796–800.

37. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшее приближение и значения поперечников некото-

38. рых классов аналитических функций // Докл. РАН. 2002. Т. 382. № 6. С.747–749.

39. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге

40. // Матем. сборник. 2010. Т. 201. № 8. С. 3–22.

41. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир. 1965. Т.1. 615 с.

42. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М. Изд-во МГУ. 1976. 325 с.

43. Тайков Л.В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике простран-

44. ства 𝐿2 // Матем. заметки. 1977. Т. 22. № 4. С. 535–542.


Рецензия

Для цитирования:


Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. О наилучшем полиномиальном приближении функций в пространстве Харди 𝐻𝑞,𝑅, (1 ⩽ 𝑞 ⩽ ∞, 𝑅 ⩾ 1). Чебышевский сборник. 2023;24(1):182-193. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-1-182-193

For citation:


Shabozov M.Sh., Yusupov G.A. On the best polynomial approximation of functions in the Hardy space 𝐻𝑞,𝑅, (1 ⩽ 𝑞 ⩽ ∞, 𝑅 ⩾ 1). Chebyshevskii Sbornik. 2023;24(1):182-193. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-1-182-193

Просмотров: 411


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)