Первый класс Аппельрота псевдоевклидовой системы Ковалевской
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-1-69-88
Аннотация
Для интегрируемого псевдоевклидова аналога волчка Ковалевской изучены свойства системы при нулевом уровне дополнительного первого интеграла Ковалевской. Класс движений классического волчка при том же условии называют также первым классом Аппельрота или классом Делоне. Описан класс гомеоморфности каждого слоя, классы послойной гомеоморфности слоения в окрестности бифуркационного слоя (аналог 2-атома Фоменко) и на всем двумерном пересечении уровня 𝐾 = 0 и симплектического листа скобки Пуассона. Показано наличие некомпактных одномерных слоев Лиувилля, некритических перестроек компактных и некомпактных слоев в данной интегрируемой системе. Также изучен вопрос невырожденности (по Ботту) всех точек уровня 𝐾 = 0 и доказано, что критическое множество псевдоевклидова аналога совпадает с таковым для классического волчка.
Ключевые слова
гамильтонова система,
интегрируемость,
динамика твердого тела,
слоение Лиувилля,
псевдоевклидово пространство,
бифуркационная диаграмма,
особенность,
топологические инвариант.
При поддержке: Исследование выполнено за счет гранта РФФИ (проект 20-31-90114).
Об авторе
Владислав Александрович Кибкало
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук
Список литературы
1. Борисов А. В., Мамаев И. С. Классическая динамика в неевклидовых пространствах —
2. Москва, Ижевск: РХД, 2004.
3. Borisov A. V., Mamaev I. S. Rigid body dynamics in non-Euclidean spaces // Rus. J. of Math.
4. Phys. 2016. Vol. 23, № 4. P. 431-454.
5. Kowalewski S. Sur le probl´eme de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe // Acta
6. Mathematica. 1889. Vol. 12, P. 177-232.
7. Соколов С. В. Интегрируемый случай Ковалевской в неевклидовом пространстве: разделение переменных // Труды МАИ. 2018. Т. 100, С. 1-13.
8. Аппельрот Г. Г. Не вполне симметричные гироскопы // Движение твердого тела вокруг
9. неподвижной точки. — М., 1940.
10. Делоне Н. Б. К вопросу о геометрическом истолковании интегралов движения твердого
11. тела около неподвижной точки, данных С.В. Ковалевской // Матем. сб. 1892. Т. 16, № 2.
12. С. 346-351.
13. Smale S. Topology and Mechanics: 1 // Invent. Math. 1970. Vol. 10, № 4. P. 305-331.
14. Харламов М. П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела,
15. Ленинград: Изд-во Ленинградского Университета 1988.
16. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии некоторых интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем.,
17. Т. 50, № 6. С. 1276-1307.
18. Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности ин-
19. тегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер.
20. матем. 1990. Т. 54, № 3. С. 546-575.
21. Болсинов А. В., Матвеев С. В., Фоменко А.Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности
22. // УМН. 1990. Т. 45, № 2. С. 49-77.
23. Болсинов А. В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. — Ижевск: РХД, т. 1, 2. 1999.
24. Oshemkov A. A. Fomenko invariants for the main integrable cases of rigid body motion
25. equations, AMS, Vol. 4. P. 67-146. (1991)
26. Bolsinov A. T., Richter P., Fomenko A. T. The method of loop molecules and the topology of
27. the Kovalevskaya top // Sb. Math. 2000. Vol. 191, № 2. P. 151-188.
28. Morozov P. V. The Liouville classification of integrable systems of the Clebsch case // Sb. Math.
29. Vol. 193, № 10. P. 1507-1533.
30. Morozov P. V. Topology of Liouville foliations in the Steklov and the Sokolov integrable cases
31. of Kirchhoff’s equations // Sb. Math. 2004. Vol. 195, № 3. P. 369-412.
32. Logacheva N. S. Classification of nondegenerate equilibria and degenerate 1-dimensional orbits
33. of the Kovalevskaya-Yehia integrable system // Sb. Math. 2012. Vol. 203, № 1. P. 28-59.
34. Maslov V.P., Shafarevich A. I. Fomenko invariants in the asymptotic theory of the
35. Navier–Stokes equations // J. Math. Sci. 2017. Vol. 225, № 4. 666-680.
36. Ramodanov S. M., Sokolov S. V. Dynamics of a Circular Cylinder and Two Point Vortices in a
37. Perfect Fluid // Regul. Chaotic Dyn. 2021. Vol. 26, № 6. P. 675-691.
38. Palshin G.P. On noncompact bifurcation in one generalized model of vortex dynamics // Theor.
39. Math. Phys. 2022. Vol. 212, № 1. P. 972-983. https://doi.org/10.1134/S0040577922070078
40. Haghighatdoost G., Oshemkov A. A. The topology of Liouville foliation for the Sokolov
41. integrable case on the Lie algebra so(4) // Sb. Math. 2009. Vol. 200, № 6. 899-921.
42. Новиков Д. В. Топологические особенности интегрируемого случая Соколова на алгебре
43. Ли so(3,1) // Матем. сб. 2014. Т. 205, № 8. 41-66.
44. Komarov I.V. Kowalewski basis for the hydrogen atom // Theoret. and Math. Phys. 1981. Vol.
45. , № 1. P. 320-324. https://doi.org/10.1007/BF01017022
46. Kozlov I. K. The topology of the Liouville foliation for the Kovalevskaya integrable case on the
47. Lie algebra so(4) // Sb. Math. 2014. Vol. 205, № 4. P. 532-572.
48. Kibkalo V. A. Topological analysis of the Liouville foliation for the Kovalevskaya integrable case
49. on the Lie algebra so(4) // Lobachevskii J. Math. 2018. Vol. 39, № 9. P. 1396-1399.
50. Kibkalo V. A. Topological classification of Liouville foliations for the Kovalevskaya integrable
51. case on the Lie algebra so(4) // Sb. Math. 2019. Vol. 210, № 5. P. 625-662.
52. Kibkalo V. A.: Topological classification of Liouville foliations for the Kovalevskaya integrable
53. case on the Lie algebra so(3, 1) // Topol. and Appl. 2020, Vol. 275, № 107028. https://doi.org/
54. /10.1016/j.topol.2019.107028
55. Fedoseev D. A., Fomenko A. T. Noncompact Bifurcations of Integrable Dynamic Systems // J.
56. Math. Sc. 2020. Vol. 248. P. 810-827.
57. Кудрявцева Е. А. Аналог теоремы Лиувилля для интегрируемых гамильтоновых систем с
58. неполными потоками // ДАН. 2012. Т. 445, № 4. С. 383-385.
59. Новиков Д. В. Топологические особенности интегрируемого случая Соколова на алгебре
60. Ли e(3) // Матем. сб. 2011. Т. 202, № 5. С. 127-160.
61. Николаенко С. С. Топологическая классификация гамильтоновых систем на двумерных
62. некомпактных многообразиях // Матем. сб. 2020. Т. 211, № 8. С. 68-101.
63. Николаенко С. С. Топологическая классификация некомпактных 3-атомов с действием
64. окружности // Чебышевский сб. 2021. Т. 22, № 5. С. 185-197.
65. Nikolaenko S. S. Topological classification of the Goryachev integrable systems in the rigid body
66. dynamics: non-compact case // Lobachevskii J. Math., 2017. Vol. 38. С. 1050-1060.
67. Ведюшкина (Фокичева) В. В., Фоменко А.Т. Интегрируемые топологические биллиарды и
68. эквивалентные динамические системы // Изв. РАН. Сер. матем. 2017. Т. 81, № 4. С. 20-67.
69. Ведюшкина В. В., Скворцов А. И. Топология интегрируемого бильярда в эллипсе на плоскости Минковского с гуковским потенциалом // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех.
70. № 1. С. 8-19.
71. Kibkalo V. A. Noncompactness property of fibers and singularities of non-Euclidean
72. Kovalevskaya system on pencil of Lie algebras // Moscow Univ. Math. Bull., 2020. Vol. 75, №
73. P. 263-267.
74. Харламов M.P. Топологический анализ и булевы функции: I. Методы и приложения к
75. классическим системам // Нелинейная динамика, 2010. Т. 6, № 4. С. 769-805.
Рецензия
Для цитирования:
Кибкало В.А. Первый класс Аппельрота псевдоевклидовой системы Ковалевской. Чебышевский сборник. 2023;24(1):69-88. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-1-69-88
For citation:
Kibkalo V.A. First Appelrot class of pseudo-Euclidean Kovalevskaya system. Chebyshevskii Sbornik. 2023;24(1):69-88. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-1-69-88
Просмотров:
345
Послать статью по эл. почте 