Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск
Том 22, № 4 (2021)
Скачать выпуск PDF
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-4

Статьи 

7-87 14
Аннотация

Впервые публикуется текст дипломной работы И. М. Виноградова, выполненной им под руководством Я. В. Успенского на математическом отделении физико-математического факультета Петербургского университета в 1914 г.

88-99 15
Аннотация

Одной из основных проблем в комбинаторной теории групп является проблема равенства и сопряжённости слов. Известно, что в классе конечноопределенных групп данная
проблема алгоритмически неразрешима. Возникает задача изучения данных проблем в определенных классах групп, а также, наследуют ли подгруппы данного класса групп
алгоритмическую разрешимость проблемы сопряженности слов.
Д. Коллинзом и К. Миллером была определена группа с разрешимой проблемой сопряженности слов, содержащая подгруппу конечного индекса, в которой не разрешима
проблема сопряженности слов. А также построена группа с неразрешимой проблемой сопряженности слов, содержащая подгруппу конечного индекса с разрешимой проблемой
сопряженности слов.
Э. Артином были определены группы кос и им же было доказано, что в группах кос алгоритмически разрешима проблема равенства слов. А.А. Марков построил алгебраическую теорию групп кос и передоказал, используя построенную теорию, проблему равенства слов.
Ф. Гарсайд доказал разрешимость проблемы сопряженности слов в группах кос B𝑛+1.
Э. Брискорн и К. Сайто, используя идеи Ф. Гарсайда, доказали разрешимость проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина конечного типа. Известно, что данному
классу групп принадлежат группы кос.
Интерес представляет исследование разрешимости данной проблемы в подгруппах групп данного класса групп, в частности, в нормальном делителе, порожденном квадратами образующих группы называемой крашенной подгруппой данной группы.
В [1] доказано, что в крашенной подгруппе групп Артина конечного типа проблема сопряженности слов разрешима.
Известно, что в группах Артина с древесной структурой проблема сопряженности слов также разрешима. [2]. В данной статье доказывается, что крашенные подгруппы групп Артина с древесной структурой наследуют свойство положительной разрешимости проблемы сопряженности слов.

100-113 16
Аннотация

В работе изучаются точные 𝐿𝑝-константы Никольского для случая римановых симметрических многообразий M𝑑 ранга 1. Данные пространства классифицированы полностью
и включают единичную евклидову сферу S𝑑, а также проективные пространства P𝑑(R), P𝑑(C), P𝑑(H), P16(Ca). На этих многообразиях имеется общий гармонический анализ, в
частности, определены подпространства полиномов Π𝑛(M𝑑) порядка не выше 𝑛. В общем случае точная 𝐿𝑝-константа Никольского для подпространства 𝑌 ⊂ 𝐿∞ определяется равенством
𝒞(𝑌,𝐿𝑝) = sup
𝑓∈(𝑌 ∩𝐿𝑝)∖{0}
‖𝑓‖∞
‖𝑓‖𝑝
.
В.А. Иванов (1983) привел асимптотику
𝒞(Π𝑛(M𝑑),𝐿𝑝(M𝑑)) ≍ 𝑛𝑑/𝑝, 𝑛 → ∞, 𝑝 ∈ [1,∞).
Для случая сферы этот результат был значительно усилен автором совместно с F. Dai и S. Tikhonov (2020):
𝒞(Π𝑛(S𝑑),𝐿𝑝(S𝑑)) = 𝒞(ℰ𝑑
1 ,𝐿𝑝(R𝑑))𝑛𝑑/𝑝(1 + 𝑜(1)), 𝑛 → ∞, 𝑝 ∈ (0,∞),
где ℰ𝑑
1 — множество целых функций экспоненциального сферического типа не выше 1, ограниченных на R𝑑. M.I. Ganzburg (2020) перенес это равенство на случай многомерного тора T𝑑 и тригонометрических полиномов. Для 𝑑 = 1 данные результаты вытекают из
основополагающей работы E. Levin и D. Lubinsky (2015).
В совместной работе автора и И.А. Мартьянова (2020) доказаны следующие явные границы сферической константы Никольского, которые уточняют приведенные выше результаты при 𝑝 ⩾ 1:
𝑛𝑑/𝑝 ⩽ 𝒞(Π𝑛(S𝑑),𝐿𝑝(S𝑑))
𝒞(ℰ𝑑
1 ,𝐿𝑝(R𝑑))

(︀
𝑛 + 2⌈𝑑+1
2𝑝 ⌉
)︀𝑑/𝑝
, 𝑛 ∈ Z+, 𝑝 ∈ [1,∞).
Данный результат был доказан при помощи одномерного варианта задачи для случая периодического веса Гегенбауэра.
Развитие данного метода позволяет доказать следующий общий результат: при 𝑝 ⩾ 1
𝑛𝑑/𝑝 ⩽ 𝒞(Π𝑛(M𝑑),𝐿𝑝(M𝑑))
𝒞(ℰ𝑑
1 ,𝐿𝑝(R𝑑))

(︀
𝑛 + ⌈𝛼𝑑+3/2
𝑝 ⌉ + ⌈𝛽𝑑+1/2
𝑝 ⌉
)︀𝑑/𝑝
,

где 𝛼𝑑 = 𝑑/2 − 1, 𝛽𝑑 = 𝑑/2 − 1, −1/2, 0, 1, 3 соответственно для S𝑑, P𝑑(R), P𝑑(C), P𝑑(H), P16(Ca). Доказательство данного результата опирается на связь гармонического анализа
на M𝑑 с анализом Якоби на [0, 𝜋] и T с периодическим весом
⃒⃒
2 sin 𝑡
2
⃒⃒
2𝛼+1⃒⃒
cos 𝑡
2
⃒⃒
2𝛽+1. Также приведены родственные результаты для тригонометрических констант Никольского в 𝐿𝑝
на T с весом Якоби и констант Никольского для целых функций экспоненциального типа в 𝐿𝑝 на R со степенным весом.

114-135 15
Аннотация

В пространствах с весом |𝑥|−1𝑣𝑘(𝑥), где 𝑣𝑘(𝑥) — вес Данкля, действует (𝑘, 1)-обобщенное преобразование Фурье. Гармонический анализ в этих пространствах важен, в частности, в задачах квантовой механики. В работе для (𝑘, 1)-обобщенного преобразования Фурье определен потенциал Рисса. Для потенциала Рисса доказано (𝐿𝑞,𝐿𝑝)-неравенство с радиальными степенными весами, являющееся аналогом известного неравенства Стейна–Вейса для классического потенциала Рисса. Для потенциала Рисса получено точное значение 𝐿𝑝-нормы с радиальными степенными весами. Точное значение 𝐿𝑝-нормы с радиальными степенными весами для классического потенциала Рисса было получено независимо У. Бекнером и С. Самко.

136-152 12
Аннотация

В 2012 году Салем Бен Саид, Кобаяши и Орстед определили двупараметрическое (𝑘, 𝑎)-обобщенное преобразование Фурье, действующее в пространствах с весом |𝑥|𝑎−2𝑣𝑘(𝑥),
𝑎 > 0, где 𝑣𝑘(𝑥) — вес Данкля. Наиболее интересны случаи 𝑎 = 2 и 𝑎 = 1. При 𝑎 = 2 обобщенное преобразование Фурье совпадает с преобразованием Данкля и оно хорошо изу-
чено. В случае 𝑎 = 1 гармонический анализ, важный, в частности, в задачах квантовой механики, изучен пока еще не достаточно. Одним из существенных элементов гармониче-
ского анализа является ограниченный оператор сдвига, позволяющий определить свертку и структурные характеристики функций. При 𝑎 = 1 имеется оператор сдвига 𝜏 𝑦. Его 𝐿𝑝-ограниченность установлена Салемом Бен Саидом и Делеавалом, но только на радиальных функциях и при 1 ⩽ 𝑝 ⩽ 2. Ранее при 𝑎 = 1 мы предложили новый положительный
оператор обобщенного сдвига 𝑇𝑡𝑓(𝑥), 𝑡 ∈ R+, 𝑥 ∈ R𝑑, и доказали его 𝐿𝑝-ограниченность по 𝑥. В настоящей работе доказана его 𝐿𝑝-ограниченность по 𝑡. Для оператора сдвига
𝜏 𝑦, 𝐿𝑝-ограниченность на радиальных функциях установлена и для 2 < 𝑝 < ∞. С помощью оператора 𝑇𝑡 определена свертка и для нее доказано неравенство Юнга. Для (𝑘, 1)-
обобщенных средних, определяемых с помощью свертки, установлены достаточные условия 𝐿𝑝-сходимости и сходимости почти всюду. Выполнение этих условий проверено для аналогов классических методов суммирования Гаусса-Вейерштрасса, Пуассона, Бохнера –
Рисса.

153-167 16
Аннотация

В последнее время все чаще мы наблюдаем появление на экономических рынках цифровых и сетевых платформ. К примеру, рынок такси в Москве из классизеского оказания материальной услуги — сервиса по перевозке пассажиров, трансформировался в рынок предоставления информационных услуг, где основные игроки — цифровые платформы (Яндекс такси, Uber) оказывают информационные услуги по знакомству клиента-пассажира с поставщиком-водителем. В этой связи, видится естественным рассмотреть
причины, по которым одни фирмы выигрывают рыночную борьбу в новых экономических условиях, а другие ее проигрывают. В основе исследования лежит информационный подход Фрэнка Басса, предполагающий, что основное влияние на распределение долей на
рынке оказывает распространение информации о новом продукте в среде потребителей (в нашем случае среда потребителей будет моделироваться с помощью некоторой сети).
После изложения основных принципов модели Басса, модель существенно расширяется, что позволяет описать взаимодействие нескольких фирм, конкурирующих в рамках одного рынка недифференцированного информационного продукта. Необходимо выяснить, каким именно образом конкретные параметры моделей влияют на итоговое устойчивое положение равновесия, как фирмы могут и должны воздействовать на этот параметр, чтобы победить в борьбе за рыночную власть. Исследование предполагает построение общих теоретических выводов, основываясь на которые, в дальнейшем можно будет перейти к практической части исследования.
В работе используется математический аппарат из элементарной теории дифференциальных уравнений, теории катастроф, теории популяций. Прежде, чем мы начнем, заинтригуем читателя следующей мыслью: рыночную борьбу производителей на ограниченном рынке потребителей можно рассматривать как конкуренцию двух различных видов хищников за ограниченную популяцию жертв.

168-182 17
Аннотация

Данная работа посвящена уточнению результатов В. А. Быковского об оценке погрешности приближенного интегрирования на классе Коробова 𝐸𝛼 𝑠 для двумерных параллелепипедальных сеток.
Приведены необходимые сведения из теории цепных дробей и скобок Эйлера. С помощью теории наилучших приближений второго рода описано множество Быковского,
состоящие из локальных минимумов решётки приближений Дирихле для рационального числа.
В явном виде описано множество Быковского для двумерной решётки решений линейного сравнения. Получена формула, выражающая гиперболический параметр этой решётки через знаменатели подходящих дробей и скобки Эйлера и позволяющая вычислять его за 𝑂(𝑁) арифметических операций.
Получены оценки гиперболической дзета-функции двумерной решётки решений линейного сравнения через сумму Быковского, которая является частичной суммой дзета-ряда для гиперболической дзета-функции решётки. Частичная сумма берется по множеству Быковского.
Для суммы Быковского получены оценки сверху и снизу из которых следует, что главный член для этих сумм есть сумма 𝛼-ых степеней элементов цепной дроби для 𝑎 𝑁 делён-
ный на 𝑁𝛼.
В заключении отмечены актуальные направления исследований по этой тематике.

183-199 14
Аннотация

Идемпотенты частично упорядоченного моноида играют разные роли в определении его свойств. В работе множество идемпотентов делится на три подмножества: несравнимых с
единицей, не меньше и не больше единицы моноида. Идемпотенты первого подмножества названы первичными, а идемпотенты сравнимые с единицей названы вторичными. Исследуются свойства идемпотентов в терминах частичных порядков и эквивалентностей Грина Основное внимание в статье уделяется нахождению связей между различными классическими и неклассическими, стабильными и нестабильными частичными порядками и ролям,
которые в этом играют идемпотенты. В частности, как результат, получен критерий стабильности частичного порядка Митча. Приводятся различные примеры упорядоченных моноидов в контексте построенной теории идемпотентов и частичных порядков.

200-224 13
Аннотация

При решении ряда аддитивных задач с почти равными слагаемыми наряду с оценкой коротких тригонометрических сумм с простыми числами вида
𝑆𝑘(𝛼; 𝑥, 𝑦) =
Σ︁
𝑥−𝑦<𝑛⩽𝑥
Λ(𝑛)𝑒(𝛼𝑛𝑘),
в малых дугах, также нужны оценки этих сумм в больших дугах за исключением малой окрестности их центров, и асимптотическая формула в малой окрестности центра больших дуг.
В работе, воспользовавшись вторым моментом 𝐿-функций Дирихле на критической прямой для 𝑆𝑘(𝛼; 𝑥, 𝑦) в больших дугах M(L𝑏), 𝜏 = 𝑦5𝑥−2L−𝑏1 , L = ln 𝑥𝑞 за исключением
малой окрестности их центров |𝛼 − 𝑎
𝑞 | >
(︀
2𝜋𝑘2𝑥𝑘−2𝑦2
)︀−1, при 𝑦 ⩾ 𝑥1− 1
2𝑘−1+𝜂𝑘 L𝑐𝑘 ,
𝜂𝑘 =
2
4𝑘 − 5 + 2
√︀
(2𝑘 − 2)(2𝑘 − 3)
, 𝑐𝑘 =
2𝐴 + 22 +
(︁
2

√ 2𝑘−3
2𝑘−2 − 1
)︁
𝑏1
2
√︀
(2𝑘 − 2)(2𝑘 − 3) − (2𝑘 − 3)
,
получена нетривиальная оценка вида
𝑆𝑘(𝛼; 𝑥, 𝑦) ≪ 𝑦L−𝐴,
где 𝐴, 𝑏1, 𝑏 — произвольные фиксированные положительные числа, а в малой окрестности центров больших дуг доказана асимптотическая формула.

225-240 12
Аннотация

Рассматривается задача дифракции плоской монохроматической звуковой волны на упругом цилиндре со слоисто неоднородным трансверсально-изотропным внешним слоем.
Предполагается, что цилиндр располагается вблизи плоскости с идеальной поверхностью (абсолютно жесткой или акустически мягкой). Для того, чтобы избавиться от граничных условий на плоскости, в соответствии с так называемым методом мнимых рассеивателей
вводится в рассмотрение дополнительное препятствие в виде второго упругого цилиндра, расположенного зеркально по отношению к исходному по другую сторону плоскости. Сама
плоскость исключается из рассмотрения, а выполнение граничных условий на ней обеспечивается введением второй падающей плоской волны с такой же амплитудой, что и у первой. Направление распространения второй волны зеркально направлению исходной волны относительно плоскости. Фазовый сдвиг во второй волне равен фазовому сдвигу в первой в случае, если плоскость является абсолютно жесткой. В случае, если плоскость является абсолютно мягкой, фазовый сдвиг во второй волне смещен относительно фазового сдвига в первой на 𝜋. Таким образом, задача сводится к задаче о рассеянии двух плоских волн
двумя одинаковыми упругими цилиндрами с параллельными осями. В предположении, что падающая волна распространяется по нормали к оси цилиндра, решается двумерная задача. Решение задачи в модифицированной постановке проводится с использованием метода конечных элементов. Проведено численное моделирование решения в ближней зоне рассеянного акустического поля. Результаты расчетов показывают, что в ряде случаев сочетания параметров цилиндра и падающей волны анизотропия и неоднородность свойств материала внешнего слоя цилиндра оказывают существенное влияние на рассеянное поле.

241-252 15
Аннотация

В статье посредством специально сконструированных узлов определяется класс многочленов 𝐷𝑛(𝑥), каждый из которых является множителем многочлена Чебышева первого
рода 𝑇2𝑛(𝑥). Сформулирована задача исследования многочленов 𝐷𝑛(𝑥) на отрезке [0, 1], в рамках которой получены точные выражения и оценки значений на границах и в специальных узлах.

253-264 11
Аннотация

Работа относится к тому направлению в теории многогранников в 𝐸3, в котором изучаются классы выпуклых многогранников, расширяющих класс правильных (платоновых): многогранники таких классов сохраняют лишь некоторые свойства правильных многогранников.
Ранее автором были найдены новые классы многогранников, объединённых такими условиями симметрии на элементы многогранника, при которых условия правильности
граней не предполагались заранее. При этом была доказана полнота списков рассмотренных классов.
Далее автором был рассмотрен класс так называемых 𝑅𝑅-многогранников.
𝑅𝑅-многогранником (от слов rombic и regular) называется выпуклый многогранник, у которого существуют симметричные ромбические вершины и существуют грани, не принадлежащие ни одной звезде этих вершин; причём все грани, не входящие в звезду ромбической вершины, являются правильными многоугольниками.
Если гранная звезда 𝑆𝑡𝑎𝑟(𝑉 ) вершины 𝑉 многогранника состоит из 𝑛 равных и одинаково расположенных ромбов (не квадратов), имеющих общей вершиной 𝑉 , то 𝑉 называется
ромбической. Если вершина 𝑉 принадлежит оси вращения порядка 𝑛 звезды 𝑆𝑡𝑎𝑟(𝑉 ), то 𝑉 называется симметричной. Симметричная ромбическая вершина 𝑉 называется тупоугольной, если ромбы звезды 𝑆𝑡𝑎𝑟(𝑉 ) в вершине 𝑉 сходятся своими тупыми углами.
Примером RR-многогранника является удлинённый ромбододекаэдр.
Ранее автором были найдены все 𝑅𝑅-многогранники с двумя симметричными ромбическими вершинами.
В настоящей работе рассматривается вопрос о существовании замкнутых выпуклых 𝑅𝑅-многогранников в 𝐸3 с одной симметричной тупоугольной ромбической вершиной и правильными гранями одного типа. Доказывается теорема о том, что существует только два таких многогранника: 13-гранник и 19-гранник. Оба этих многогранника получены из
правильного: икосаэдра. Доказательство существования 19-гранника основано, в частности, на теореме А.Д.Александрова о существовании выпуклого многогранника с данной развёрткой.

265-288 12
Аннотация

В данной работе рассматривается задача Ферма — Штейнера в гиперпространствах с метрикой Хаусдорфа. Если 𝑋 — метрическое пространство, и фиксировано непустое
конечное подмножество 𝒜 в пространстве непустых замкнутых и ограниченных подмножеств 𝐻(𝑋), то элемент 𝐾 ∈ 𝐻(𝑋), на котором достигается минимум суммы расстояний
до элементов 𝒜, будем называть астровершиной Штейнера, сеть, соединяющую 𝒜 с 𝐾, — минимальной астросетью, а само 𝒜 — границей. В случае ограниченно компактного
𝑋 все его элементы являются компактами, а множество астровершин Штейнера непусто. В настоящей статье доказывается критерий того, когда астровершина Штейнера для одноточечных граничных компактов в 𝐻(𝑋) является одноточечной. Кроме того, получена нижняя оценка длины минимальной параметрической сети через длину астросети с
одноточечными вершинами, содержащимися в граничных компактах, и изучены свойства границ, для которых достигается точная оценка. Также изучены бифуркации астровершин Штейнера при 1-параметрической деформации трехэлементных границ в 𝐻(R2), которые иллюстрируют геометрические феномены, отсутствующие в классической задаче Штейнера для точек в R2.

289-305 19
Аннотация

Настоящая работа посвящена изучению однопараметрических деформаций метрик. Мы
предполагаем наличие непрерывности длин кривых при изменении параметра, и изучаем дополнительные условия, которых будет достаточно для непрерывности расстояний. Мы отталкиваемся от наличия непрерывности длин кривых, поскольку это удобно на практике – из непрерывной зависимости римановой или финслеровой метрики от параметра очевидно вытекает непрерывность длин кривых, и чтобы получить непрерывность функции расстояния, достаточно проверить выполнение определенных условий. Мы предполагаем наличие функционалов длины, непрерывно зависящих от параметра, и рассматриваем
внутренние метрики, порожденными этими функционалами длины. В работе показывается, что компактности пространства и непрерывности длин кривых при изменении параметра не достаточно для непрерывности расстояний, и приводится соответствующий пример.
Помимо этого, мы приводим специальные условия, которых достаточно для непрерывности расстояний в совокупности с ограниченной компактностью пространства. В качестве
приложения, мы рассматриваем финслеровы многообразия, метрики которых непрерывно зависят от параметра. Мы показываем, что на компактных финслеровых многообразиях
выполнены достаточные условия непрерывности расстояния, из чего следует, что функция расстояния на таких многообразиях также непрерывно зависит от параметра. Последний результат обобщается на полные финслеровы многообразия. Поскольку финслеровы многообразия являются обобщением римановых многообразий, в качестве следствия мы получаем, что на компактных римановых многообразиях, метрики которых непрерывно зависят
от параметра, выполнены достаточные условия непрерывности расстояния, а также получаем, что на полных римановых многообразиях, метрики которых непрерывно зависят от параметра, расстояния между точками непрерывно зависят от этого параметра.

306-323 12
Аннотация

В работе описаны основные свойства полиномиальных сравнений по модулю идеала в кольце целых алгебраического числового поля, найдены оценки полных рациональных тригонометрических сумм от многочлена над алгебраическим полем, получены оценки сумм характеров Дирихле по модулю, равному степени простого идеала в алгебраическом поле, даны оценки кратных полных рациональных тригонометрических сумм от многочленов над алгебраическим полем.

История математики и приложений 

324-331 14
Аннотация

Авторы статьи ставили перед собой задачи: рассказать о неожиданном и долгом сотрудничестве и взаимодействии преподавателей и ученых Тульского государственного педагогического университета им. Л. Н. Толстого и Харьковской школы Михаила Иосифовича Кадеца, а также о некоторых научных работах математиков школы Михаила Иосифовича Кадеца и математиков города Тулы в двадцатилетний период 1986-2006 годов. Особо
отмечается роль В. И. Рыбакова. Под его руководством вел научную работу тульский студент, которые впоследствии после обучения в Харьковской школе Михаила Иосифовича
Кадеца стал кандидатом физико-математических наук. Владиславом Ивановичем Рыбаковым получены глубокие, содержательные научные результаты. Например, о «the classical theorem of Rybakov» можно прочитать в книгах и статьях, опубликованных в международной математической печати. Научной деятельностью Владислава Ивановича интересовался Михаил Иосифович Кадец. Харьковская школа Кадеца в то время получила мировую известность. Не только научной работе, много внимания и сил Михаил Иосифович уделял педагогической работе. Девятнадцать его учеников, среди которых был и ученик Рыбакова, защитили кандидатские диссертации, семь из них стали докторами наук. М. И. Кадец щедро делился своими математическими идеями со своими учениками. В статье приводятся некоторые результаты, полученные харьковскими математиками школы Кадеца и близкими им по научным интересам тульскими математиками в период 1986-2006 годов.

332-343 14
Аннотация

В статье рассматривается задача дифракции гармонической плоской звуковой волны на однородном изотропном упругом шаре с непрерывно-неоднородным анизотропным упругим слоем. Полагается, что тело помещено в безграничную идеальную жидкость, законы неоднородности материала покрытия описываются непрерывными функциями.
Получено аналитическое решение задачи дифракции для случая, когда материал слоя, покрывающего шар, является радиально-неоднородным и трансверсально-изотропным.
Волновые поля в содержащей среде и однородном изотропном шаре описываются разложениями по сферическим волновым функциям, а для нахождения поля смещений в неоднородном анизотропном слое построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Представлены результаты численных расчетов диаграмм направленности рассеянного акустического поля в дальней зоне. Показано, что анизотропия непрерывно-неоднородного упругого слоя может существенно изменять характеристики рассеяния сферических тел.

Памятные даты 

Краткие сообщения 

344-351 15
Аннотация

Множество точек 𝑀 на плоскости называется плоским множеством с целочисленными расстояниями, если все расстояния между точками 𝑀 суть целые числа, и при этом
𝑀 не содержится ни в какой прямой. Говорят, что плоское множество с целочисленными расстояниями есть множество полуобщего положения, если никакие три его точки не лежат на одной прямой. Известная оценка снизу для плоского множества с целочисленными расстояниями линейна относительно его мощности. Ранее не были известны отдельные оценки снизу на диаметр плоских множеств с целочисленными расстояниями полуобщего положения заданной мощности (известная конструктивная оценка сверху на диаметр плоских множеств с целочисленными расстояниями использует как раз множества полуобщего положения). В статье доказывается надлинейная оценка снизу на диаметр плоского множества с целочисленными расстояниями полуобщего положения (полиномиальная с
показателем 5/4). Доказательство основано на относительно большом количестве лемм и наблюдений, включая результаты Солимоси из статьи, в которой была впервые доказана линейная оценка снизу на диаметр плоских множеств с целочисленными расстояниями.

352-360 11
Аннотация

С учетом микропластичности в окрестностях пор получено эффективное уравнение разгрузки. Учтено влияние пористости на остаточную деформацию при одноосном растяжении образца пористого металлического композита. Установлена нелинейность по деформациям кривой разгрузки, которая вызвана микропластичностью. Приведены численные расчеты остаточной деформации в зависимости от начального напряжения и пористости.

361-369 12
Аннотация

Многие реальные динамические системы характеризуются наличием множества сосуществующих аттракторов. Это свойство систем называется мультистабильностью. В мультистабильных системах может произойти внезапный переход к нежелательным или неизвестным аттракторам. Такой переход может привести к катастрофическим событиям. Оказалось, что мультистабильность также связана с возникновением непредсказуемых аттракторов, которые называются скрытыми аттракторами. Аттрактор называется скрытым, если его область притяжения не пересекается с небольшими окрестностями неустойчивой
неподвижной точки. Одной из определяющих причин изучения мультистабильных хаотических систем с различными характеристиками является широкий спектр их потенциальных инженерных приложений – в теории управления, информатике, криптологии, искусственных нейронных сетях, шифровании изображений, защищенной связи и обнаружении слабых сигналов. В последние годы исследователи обратились к разработке методов искус-
ственного конструирования систем с желаемой динамикой. В этом случае основные усилия сосредоточены на создании систем с бесконечным числом сосуществующих аттракторов
- экстремально мультистабильных и мегастабильных систем. Оказалось, что такие системы открывают новые возможности для решения некоторых прикладных задач, например,
для реализации контроля амплитуды и полярности сигнала в инженерных системах или для создания новых систем шифрования изображений. В этой статье строится новая глад-
кая трехмерная динамическая система, обратимая во времени, содержащая аналитическое решение и странный мультифрактальный скрытый аттрактор. Бассейн притяжения
аттрактора включает почти все трехмерное пространство, а его размерность "почти 3".
Путем замены одной из переменных системы на периодическую функцию этой переменной,
строится система, обладающая 1-D полосой срытых хаотических аттракторов размерности "почти 3"и одновременно бесконечным числом аналитических решений. Специальное преобразование последней системы позволяет построить систему с 2-D полосой скрытых
аттракторов.

370-384 15
Аннотация

Анализируются механические свойства широко распространенных в технике композитных и полимерных материалов. Подтверждено, что абсолютное большинство из них обладают структурной анизотропией разного класса. Кроме того, показано, что эти конструкционные материалы зачастую проявляют чувствительность деформационных характеристик к виду напряженного состояния. Ввиду того, что классические математические модели, описывающие состояния подобных материалов, приводят к грубым ошибкам при расчете элементов конструкций, а известные, специально разработанные для них теории достаточно противоречивы и имеют существенные недостатки, авторами предлагается энергетическая модель определяющих соотношений для сред, имеющих структурную
и деформационную анизотропии. Эта модель основана на использовании нормированного тензорного пространства напряжений, которое обладает несомненным преимуществом по сравнению с сингулярными функциями и параметрами, имеющими бесконечный интервал изменения, которые используются в известных вариантах теорий деформирования материалов с двойной анизотропией. В качестве конкретного класса структурной анизотропии приняты ортотропные материалы, для которых постулируется потенциал деформаций, определенный в главных структурных осях. Дифференцированием сформулированного потенциала согласно рекомендация правил Кастильяно установлены уравнения связи двух тензоров второго ранга – деформаций и напряжений. Показано, что эти уравнения имеют нелинейный вид, что усугубляет проблему единственности решений краевых задач. Для идентификации полученной модели определяющих уравнений рекомендована программа экспериментов, включающая в себя механические испытания на одноосные растяжение и сжатие вдоль главных осей анизотропии материала, а также – на чистый сдвиг
в трех плоскостях ортотропии. Приведены основные технические константы ряда широко используемых в технике композитных и полимерных материалов. На основе использования постулата о положительной определенности энергетической поверхности проверена непротиворечивость предложенного потенциала деформаций. С использованием этой проверки доказана теорема единственности решения краевых задач механики деформируемого твердого тела. Принимая во внимание правила преобразования компонентов тензоров второго ранга при повороте осей выбранной системы координат, показано, что напряжения, вычисленные в главных осях ортотропии, пересчитываются в новой системе по традиционным формулам.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)