Свойства и применение положительного оператора сдвига для (𝑘, 1)-обобщенного преобразования Фурье

Аннотация

В 2012 году Салем Бен Саид, Кобаяши и Орстед определили двупараметрическое (𝑘, 𝑎)-обобщенное преобразование Фурье, действующее в пространствах с весом |𝑥|𝑎−2𝑣𝑘(𝑥),
𝑎 > 0, где 𝑣𝑘(𝑥) — вес Данкля. Наиболее интересны случаи 𝑎 = 2 и 𝑎 = 1. При 𝑎 = 2 обобщенное преобразование Фурье совпадает с преобразованием Данкля и оно хорошо изу-
чено. В случае 𝑎 = 1 гармонический анализ, важный, в частности, в задачах квантовой механики, изучен пока еще не достаточно. Одним из существенных элементов гармониче-
ского анализа является ограниченный оператор сдвига, позволяющий определить свертку и структурные характеристики функций. При 𝑎 = 1 имеется оператор сдвига 𝜏 𝑦. Его 𝐿𝑝-ограниченность установлена Салемом Бен Саидом и Делеавалом, но только на радиальных функциях и при 1 ⩽ 𝑝 ⩽ 2. Ранее при 𝑎 = 1 мы предложили новый положительный
оператор обобщенного сдвига 𝑇𝑡𝑓(𝑥), 𝑡 ∈ R+, 𝑥 ∈ R𝑑, и доказали его 𝐿𝑝-ограниченность по 𝑥. В настоящей работе доказана его 𝐿𝑝-ограниченность по 𝑡. Для оператора сдвига
𝜏 𝑦, 𝐿𝑝-ограниченность на радиальных функциях установлена и для 2 < 𝑝 < ∞. С помощью оператора 𝑇𝑡 определена свертка и для нее доказано неравенство Юнга. Для (𝑘, 1)-
обобщенных средних, определяемых с помощью свертки, установлены достаточные условия 𝐿𝑝-сходимости и сходимости почти всюду. Выполнение этих условий проверено для аналогов классических методов суммирования Гаусса-Вейерштрасса, Пуассона, Бохнера –
Рисса.