Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Об оценках на диаметр плоских множеств с целочисленными расстояниями полуобщего положения

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-4-344-351

Полный текст:

Аннотация

Множество точек 𝑀 на плоскости называется плоским множеством с целочисленными расстояниями, если все расстояния между точками 𝑀 суть целые числа, и при этом
𝑀 не содержится ни в какой прямой. Говорят, что плоское множество с целочисленными расстояниями есть множество полуобщего положения, если никакие три его точки не лежат на одной прямой. Известная оценка снизу для плоского множества с целочисленными расстояниями линейна относительно его мощности. Ранее не были известны отдельные оценки снизу на диаметр плоских множеств с целочисленными расстояниями полуобщего положения заданной мощности (известная конструктивная оценка сверху на диаметр плоских множеств с целочисленными расстояниями использует как раз множества полуобщего положения). В статье доказывается надлинейная оценка снизу на диаметр плоского множества с целочисленными расстояниями полуобщего положения (полиномиальная с
показателем 5/4). Доказательство основано на относительно большом количестве лемм и наблюдений, включая результаты Солимоси из статьи, в которой была впервые доказана линейная оценка снизу на диаметр плоских множеств с целочисленными расстояниями.

Об авторе

Николай Николаевич Авдеев
Воронежский государственный университет
Россия


Список литературы

1. Anning N. H., Erd¨os P. Integral distances // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1945. — т. 51, No 8. — с. 598—600.

2. Erd¨os P. Integral distances // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1945. — т. 51, No 12. — с. 996.

3. Авдеев Н. Н., Семёнов Е. М. Множества точек с целочисленными расстояниями на плоскости и в евклидовом пространстве // Математический форум (Итоги науки. Юг России). — 2018. — с. 217—236.

4. Kurz S., Laue R. Bounds for the minimum diameter of integral point sets // Australasian Journal of Combinatorics. — 2007. — т. 39. — с. 233—240. — arXiv: 0804.1296.

5. Kurz S., Wassermann A. On the minimum diameter of plane integral point sets // Ars Combinatoria. — 2011. — т. 101. — с. 265—287. — arXiv: 0804.1307.

6. Antonov A. R., Kurz S. Maximal integral point sets over Z2 // International Journal of Computer Mathematics. — 2008. — т. 87, No 12. — с. 2653—2676. — arXiv: 0804.1280.

7. Huff G. B. Diophantine problems in geometry and elliptic ternary forms // Duke Mathematical Journal. — 1948. — т. 15, No 2. — с. 443—453.

8. Harborth H., Kemnitz A., M¨oller M. An upper bound for the minimum diameter of integral point sets // Discrete & Computational Geometry. — 1993. — т. 9, No 4. — с. 427—432.

9. Piepmeyer L. The maximum number of odd integral distances between points in the plane // Discrete & Computational Geometry. — 1996. — т. 16, No 1. — с. 113—115.

10. Kreisel T., Kurz S. There are integral heptagons, no three points on a line, no four on a circle // Discrete & Computational Geometry. — 2008. — т. 39, No 4. — с. 786—790.

11. Constructing 7-clusters / S. Kurz [и др.] // Serdica Journal of Computing. — 2014. — т. 8, No 1. — с. 47—70. — arXiv: 1312.2318.

12. Solymosi J. Note on integral distances // Discrete & Computational Geometry. — 2003. — т. 30, No 2. — с. 337—342.

13. Avdeev N. On existence of integral point sets and their diameter bounds. // Australasian Journal of Combinatorics. — 2020. — т. 77.1. — с. 100—116. — arXiv: 1906.11926.

14. Bat-Ochir G. On the number of points with pairwise integral distances on a circle // Discrete Applied Mathematics. — 2018. — т. 254. — с. 17—32.

15. Brass P., Moser W. O., Pach J. Research problems in discrete geometry. — Springer Science & Business Media, 2006.

16. Guy R. Unsolved problems in number theory. т. 1. — Springer Science & Business Media, 2013.

17. Авдеев Н. Н. Об отыскании целоудалённых множеств специального вида // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики - сборник трудов Международной научной конференции. — Научно-исследовательские публикации, 2018. — с. 492—498.

18. Авдеев Н. Н. On integral point sets in special position // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования: материалы международной молодежной научной школы «Актуальные направления математического анализа и смежные вопросы». — 2018. — т. 8. — с. 5—6.

19. Kurz S. On the characteristic of integral point sets in 𝐸𝑚 // Australasian Journal of Combinatorics. — 2006. — т. 36. — с. 241. — arXiv: math/0511704.

20. Nozaki H. Lower bounds for the minimum diameter of integral point sets // Australasian Journal of Combinatorics. — 2013. — т. 56. — с. 139—143.

21. Смуров М., Спивак А. Покрытия полосками // Квант. — 1998. — No 5. — с. 6.


Рецензия

Для цитирования:


Авдеев Н.Н. Об оценках на диаметр плоских множеств с целочисленными расстояниями полуобщего положения. Чебышевский сборник. 2021;22(4):344-351. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-4-344-351

For citation:


Avdeev N.N. On diameter bounds for planar integral point sets in semi-general position. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(4):344-351. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-4-344-351

Просмотров: 122


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)