Оценка коротких тригонометрических сумм с простыми числами в длинных дугах
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-4-200-224
Аннотация
При решении ряда аддитивных задач с почти равными слагаемыми наряду с оценкой коротких тригонометрических сумм с простыми числами вида
𝑆𝑘(𝛼; 𝑥, 𝑦) =
Σ︁
𝑥−𝑦<𝑛⩽𝑥
Λ(𝑛)𝑒(𝛼𝑛𝑘),
в малых дугах, также нужны оценки этих сумм в больших дугах за исключением малой окрестности их центров, и асимптотическая формула в малой окрестности центра больших дуг.
В работе, воспользовавшись вторым моментом 𝐿-функций Дирихле на критической прямой для 𝑆𝑘(𝛼; 𝑥, 𝑦) в больших дугах M(L𝑏), 𝜏 = 𝑦5𝑥−2L−𝑏1 , L = ln 𝑥𝑞 за исключением
малой окрестности их центров |𝛼 − 𝑎
𝑞 | >
(︀
2𝜋𝑘2𝑥𝑘−2𝑦2
)︀−1, при 𝑦 ⩾ 𝑥1− 1
2𝑘−1+𝜂𝑘 L𝑐𝑘 ,
𝜂𝑘 =
2
4𝑘 − 5 + 2
√︀
(2𝑘 − 2)(2𝑘 − 3)
, 𝑐𝑘 =
2𝐴 + 22 +
(︁
2
√
√ 2𝑘−3
2𝑘−2 − 1
)︁
𝑏1
2
√︀
(2𝑘 − 2)(2𝑘 − 3) − (2𝑘 − 3)
,
получена нетривиальная оценка вида
𝑆𝑘(𝛼; 𝑥, 𝑦) ≪ 𝑦L−𝐴,
где 𝐴, 𝑏1, 𝑏 — произвольные фиксированные положительные числа, а в малой окрестности центров больших дуг доказана асимптотическая формула.
Об авторе
Зарулло Хусенович Рахмонов
НАН Таджикистана, Институт математики им. А. Джураева
Таджикистан
Таджикистан
доктор физико-математических наук, профессор, академик
Список литературы
1. Виноградов И. М. Избранные труды — М.: изд-во АН СССР. 1952.
2. Виноградов И. М., Карацуба А. А. Метод тригонометрических сумм в теории чисел //
3. Труды МИАН СССР. 1984. Т. 77. С. 4 – 30.
4. Haselgrove C. B. Some theorems in the analitic theory of number // J. London Math.Soc. 1951. V. 26. P. 273 – 277.
5. Статулявичус В. О представлении нечетных чисел суммою трех почти равных простых чисел // Вильнюс. Ученые труды университета. Сер. мат., физ. и хим. н. 1955. № 2. С. 5 –
6.
7. Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao. On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III) // Chinese Ann. of Math. 1990. V. 2. P. 138 – 147.
8. Zhan T. On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes // Acta Math Sinica. New ser. 1991. V. 7, No 3. P. 135 – 170.
9. Liu J., Zhan T. Estimation of exponential sums over primes in short intervals // I. Mh Math, 1999, 127: 27 – 41. doi.org/10.1007/s006050050020
10. Liu J, Zhan T. Hua’s Theorem on Prime Squares in Short Intervals // Acta Mathematica Sinica. English Series. Oct., 2000. V. 16, No 4. P. 669–690.
11. Liu J., Lu G., Zhan T. Exponential sums over primes in short intervals // Science in China: Series A Mathematics. 2006. V. 49, No 5. P. 611 – 619. DOI:10.1007/s11425-006-0611-x
12. Hua L. K. Some results in the additive prime number theory // Quart. J. Math. 1938. V. 9, No 1. P. 68 — 80.
13. Liu J., Zhan T. Estimation of exponential sums over primes in short intervals II // In Analytic Number Theory: Proceedings of a Conference in Honor of Heini Halberstam. 1996. Birkhauser.
14. P. 571 – 606.
15. Jutila M. Mean value etstimates for exponential sums with applications to 𝐿-functions // Acta Arithmetica. 1991. V. 57. Is. 2. P. 93-114.
16. Kumchev A. V. On Weyl sums over primes in short intervals // “Arithmetic in Shangrila”— Proceedings of the 6th China-Japan Seminar on Number Theory. Series on Number Theory
17. and Its Applications. 2012. V. 9. Singapore: World Scientific. P. 116–131.
18. Yao Y. Sums of nine almost equal prime cubes // Frontiers of Mathematics in China. October 2014. V. 9. Is. 5. P. 1131 – 1140. DOI:10.1007/s11464-014-0384-4.
19. Рахмонов З. Х., Рахмонов Ф. З. Оценка коротких кубических тригонометрических сумм в малых дугах // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2016. Т. 59. № 7-8. С. 273 – 277.
20. Рахмонов З. Х., Рахмонов Ф. З. Короткие кубические суммы простыми числами // Труды МИАН. 2016. Т. 296. С. 220 – 242.
21. Рахмонов З. Х., Рахмонов Ф. З. Сумма коротких двойных тригонометрических сумм // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2013. Т. 56, № 11. С. 853 – 860.
22. Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З. Сумма коротких тригонометрических сумм с простыми числами // Доклады Российской Академии наук. 2014. Т. 459, № 2. С. 156 – 157.
23. Рахмонов З. Х., Замонов Б. М. Короткие кубические двойные тригонометрические суммы, с «длинным» сплошным суммированием // Известия Академии наук Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук. 2014. № 4(157). С. 7 – 23.
24. Рахмонов З. Х., Рахмонов Ф. З, Замонов Б. М. Оценка коротких кубических двойных тригонометрических сумм с «длинным» сплошным суммированием // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17, вып. 1. С. 217 – 231.
25. Rane, V. V., On the mean square value of Dirichlet 𝐿-series // J. London Math. Soc., (2) 21 (1980), 203-215.
26. Zhan T. On the Mean Square of Dirichlet 𝐿-Functions // Acta Mathematica Sinica. New Series. 1992. Vol. 8, No 2. pp. 204-224.
27. Рахмонов З. Х., Собиров А. А., Фозилова П. М. Поведение коротких кубических тригонометрических сумм с простыми числами в малой окрестности центра больших дуг // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2020. Т. 63. № 5-6. С. 279-288.
28. Рахмонов З. Х., Собиров А. А., Фозилова П. М. Оценка коротких кубических тригонометрических сумм с простыми числами в большие дуги // Доклады Академии наук
29. Республики Таджикистан. 2020. Т. 63. № 7-8. С.
30. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм — Москва. Наука, 1987.
31. Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел — М.: Наука, 1981.
32. Прахар К. Распределение простых чисел — М.: Мир, 1967.
33. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел — М.: Наука, 1983, 2-ое изд.
34. Виноградов И. М. Основы теории чисел — М.: Наука, 1981. 9-ое изд.
Рецензия
Для цитирования:
Рахмонов З.Х. Оценка коротких тригонометрических сумм с простыми числами в длинных дугах. Чебышевский сборник. 2021;22(4):200-224. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-4-200-224
For citation:
Rakhmonov Z.K. Estimates of short exponential sums with primes in major arcs. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(4):200-224. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-4-200-224
Просмотров: 116
Послать статью по эл. почте 