Константы Никольского для компактных однородных пространств

В работе изучаются точные 𝐿𝑝-константы Никольского для случая римановых симметрических многообразий M𝑑 ранга 1. Данные пространства классифицированы полностью
и включают единичную евклидову сферу S𝑑, а также проективные пространства P𝑑(R), P𝑑(C), P𝑑(H), P16(Ca). На этих многообразиях имеется общий гармонический анализ, в
частности, определены подпространства полиномов Π𝑛(M𝑑) порядка не выше 𝑛. В общем случае точная 𝐿𝑝-константа Никольского для подпространства 𝑌 ⊂ 𝐿∞ определяется равенством
𝒞(𝑌,𝐿𝑝) = sup
𝑓∈(𝑌 ∩𝐿𝑝)∖{0}
‖𝑓‖∞
‖𝑓‖𝑝
.
В.А. Иванов (1983) привел асимптотику
𝒞(Π𝑛(M𝑑),𝐿𝑝(M𝑑)) ≍ 𝑛𝑑/𝑝, 𝑛 → ∞, 𝑝 ∈ [1,∞).
Для случая сферы этот результат был значительно усилен автором совместно с F. Dai и S. Tikhonov (2020):
𝒞(Π𝑛(S𝑑),𝐿𝑝(S𝑑)) = 𝒞(ℰ𝑑
1 ,𝐿𝑝(R𝑑))𝑛𝑑/𝑝(1 + 𝑜(1)), 𝑛 → ∞, 𝑝 ∈ (0,∞),
где ℰ𝑑
1 — множество целых функций экспоненциального сферического типа не выше 1, ограниченных на R𝑑. M.I. Ganzburg (2020) перенес это равенство на случай многомерного тора T𝑑 и тригонометрических полиномов. Для 𝑑 = 1 данные результаты вытекают из
основополагающей работы E. Levin и D. Lubinsky (2015).
В совместной работе автора и И.А. Мартьянова (2020) доказаны следующие явные границы сферической константы Никольского, которые уточняют приведенные выше результаты при 𝑝 ⩾ 1:
𝑛𝑑/𝑝 ⩽ 𝒞(Π𝑛(S𝑑),𝐿𝑝(S𝑑))
𝒞(ℰ𝑑
1 ,𝐿𝑝(R𝑑))
⩽
(︀
𝑛 + 2⌈𝑑+1
2𝑝 ⌉
)︀𝑑/𝑝
, 𝑛 ∈ Z+, 𝑝 ∈ [1,∞).
Данный результат был доказан при помощи одномерного варианта задачи для случая периодического веса Гегенбауэра.
Развитие данного метода позволяет доказать следующий общий результат: при 𝑝 ⩾ 1
𝑛𝑑/𝑝 ⩽ 𝒞(Π𝑛(M𝑑),𝐿𝑝(M𝑑))
𝒞(ℰ𝑑
1 ,𝐿𝑝(R𝑑))
⩽
(︀
𝑛 + ⌈𝛼𝑑+3/2
𝑝 ⌉ + ⌈𝛽𝑑+1/2
𝑝 ⌉
)︀𝑑/𝑝
,

где 𝛼𝑑 = 𝑑/2 − 1, 𝛽𝑑 = 𝑑/2 − 1, −1/2, 0, 1, 3 соответственно для S𝑑, P𝑑(R), P𝑑(C), P𝑑(H), P16(Ca). Доказательство данного результата опирается на связь гармонического анализа
на M𝑑 с анализом Якоби на [0, 𝜋] и T с периодическим весом
⃒⃒
2 sin 𝑡
2
⃒⃒
2𝛼+1⃒⃒
cos 𝑡
2
⃒⃒
2𝛽+1. Также приведены родственные результаты для тригонометрических констант Никольского в 𝐿𝑝
на T с весом Якоби и констант Никольского для целых функций экспоненциального типа в 𝐿𝑝 на R со степенным весом.

1. Арестов В.В., Дейкалова М.В. Неравенство Никольского для алгебраических многочленов на многомерной евклидовой сфере // Тр. ИММ УрО РАН. 2013. Том 19, № 2. С. 34–47.

2. Arestov V., Deikalova M. Nikol’skii inequality between the uniform norm and 𝐿𝑞-norm with Jacobi weight of algebraic polynomials on an interval // Anal. Math. 2016. Vol. 42, № 2. P. 91– 120.

3. Во Тхи Кук. Операторы обобщенного сдвига в пространствах 𝐿𝑝 на торе с весом Якоби и их применение // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 17–43.

4. Dai F., Gorbachev D., Tikhonov S. Nikolskii constants for polynomials on the unit sphere // J. d’Anal. Math. 2020. Vol. 140, № 1. P. 161–185.

5. Gangolli R. Positive definite kernels on homogeneous spaces and certain stochastic processes related to L´evy’s Brownian motion of several parameters // Ann. Inst. H. Poincar´e. 1967. Vol. 3, no. 2. P. 121–226.

6. Ganzburg M.I. Sharp constants of approximation theory. I. Multivariate Bernstein–Nikolskii type inequalities // J. Fourier Anal. Appl. 2020. Vol. 26, № 11.

7. Горбачев Д.В. Интегральная задача Конягина и (𝐶,𝐿)-константы Никольского // Тр. ИММ УрО РАН. 2005. Том 11, № 2. С. 72–91.

8. Горбачев Д.В., Мартьянов И.А. Границы полиномиальных констант Никольского в 𝐿𝑝 с весом Гегенбауэра // Тр. ИММ УрО РАН. 2020. Том 26, № 4. С. 126–137.

9. Иванов В.А. О неравенствах Бернштейна–Никольского и Фавара на компактных однородных пространствах ранга 1 // УМН. 1983. Том 38, № 3 (231). С. 179–180.

10. Иванов В.А. Точные результаты в задаче о неравенстве Бернштейна–Никольского на компактных симметрических римановых пространствах ранга 1 // Тр. МИАН СССР. 1992.

11. Том 194. С. 111–119.

12. Jaming P., Speckbacher M. Concentration estimates for finite expansions of spherical harmonics on two-point homogeneous spaces via the large sieve principle // Sampl. Theory Signal Process. Data Anal. 2021. Vol. 19, no. 9.

13. Levin E., Lubinsky D. Asymptotic behavior of Nikolskii constants for polynomials on the unit circle // Comput. Methods Funct. Theory. 2015. Vol. 15, № 3. P. 459–468.

14. Мартьянов И.А. Константа Никольского для тригонометрических полиномов с периодическим весом Гегенбауэра // Чебышевский сборник. 2020. Том 21, № 1. С. 247–258.

15. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.

16. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространствах 𝐿𝑝, 1 ⩽ 𝑝 ⩽ 2, с периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 5–27.