О бифуркации решения задачи Ферма — Штейнера при 1-параметрической вариации границы в 𝐻(R2)
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-4-265-288
Аннотация
В данной работе рассматривается задача Ферма — Штейнера в гиперпространствах с метрикой Хаусдорфа. Если 𝑋 — метрическое пространство, и фиксировано непустое
конечное подмножество 𝒜 в пространстве непустых замкнутых и ограниченных подмножеств 𝐻(𝑋), то элемент 𝐾 ∈ 𝐻(𝑋), на котором достигается минимум суммы расстояний
до элементов 𝒜, будем называть астровершиной Штейнера, сеть, соединяющую 𝒜 с 𝐾, — минимальной астросетью, а само 𝒜 — границей. В случае ограниченно компактного
𝑋 все его элементы являются компактами, а множество астровершин Штейнера непусто. В настоящей статье доказывается критерий того, когда астровершина Штейнера для одноточечных граничных компактов в 𝐻(𝑋) является одноточечной. Кроме того, получена нижняя оценка длины минимальной параметрической сети через длину астросети с
одноточечными вершинами, содержащимися в граничных компактах, и изучены свойства границ, для которых достигается точная оценка. Также изучены бифуркации астровершин Штейнера при 1-параметрической деформации трехэлементных границ в 𝐻(R2), которые иллюстрируют геометрические феномены, отсутствующие в классической задаче Штейнера для точек в R2.
Об авторе
Александр Михайлович Тропин
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Россия
Россия
аспирант
Список литературы
1. Jarnik V., K¨ossler M. O minimalnich grafech, obsahujicich n danych bodu // Casopis pro pestovani matematiky a fysiky, 1934. Vol. 63, № 8. P. 223-235.
2. Cieslik D. 𝑘-Steiner minimal trees in metric spaces // Ernst–Moritz–Arndt–Univ. Greifswald, Inst. fur Mathematik und Informatik, 1999.
3. Ivanov A. O., Tuzhilin А. А. Minimal Networks. The Steiner Problems and Its Generalizations // CRC Press, Boca Raton, Fl., 1994.
4. Тужилин А. А., Фоменко А.Т. Многозначные отображения, минимальные поверхности и мыльные пленки // Вестник МГУ, сер. матем., 1986, № 3. С. 3-12.
5. Степанова Е. И. Бифуркации минимальных деревьев Штейнера и минимальных заполнений для невыпуклых четырехточечных границ и суботношение Штейнера евклидовой плоскости // Вестн. Моск. Ун-та., Сер. 1, Математика. Механика. 2016, Т. 71, № 2. С. 48-51.
6. Степанова Е. И. Бифуркации топологий деревьев Штейнера на плоскости // Фунд. и прикл. матем. 2016. Т. 21, № 6. С. 183-204.
7. Арнольд В. И. Теория катастроф // Динамические системы — 5, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, ВИНИТИ, М., 1986, Т. 5, С. 219-277
8. Hausdorff F. Grundz¨uge der Mengenlehre. Leipzig: Veit, 1914 [reprinted by Chelsea in 1949].
9. Schlicker S. The geometry of the Hausdorff metric // GVSU REU, Grand Valley State Univ., Allendale, MI, 2008.
10. Иванов А. О., Тужилин А. А. Геометрия расстояний Хаусдорфа и Громова—Хаусдорфа: случай компактов // М.: Изд-во Попечительского совета мех-мат ф-та МГУ, 2017.
11. Blackburn C. C., Lund K., Schlicker S., Sigmon P., Zupan A. An introduction to the geometry of 𝐻(R𝑛) // GVSU REU, Grand Valley State Univ., Allendale, MI, 2007.
12. Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов // Наука, М., 1990.
13. Бураго Д. Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии // Москва— Ижевск: Изд-во Института компьютерных исследований, 2004.
14. Ivanov A., Tropin A., Tuzhilin A. Fermat—Steiner problem in the metric space of compact sets endowed with Hausdorff distance // J. Geom. 2017. Vol. 108. P. 575-590.
15. Галстян А. Х., Иванов А. О., Тужилин А. А. Проблема Ферма — Штейнера в пространстве компактных подмножеств R𝑚 с метрикой Хаусдорфа // Матем. сб., 2021, Т. 212, № 1, С. 28-62.
16. Gilbert E. N. and Pollak H. O., Steiner minimal trees // SIAM J. Appl. Math. 1968. Vol. 16, № 1. P. 1-29 (1968).
Рецензия
Для цитирования:
Тропин А.М. О бифуркации решения задачи Ферма — Штейнера при 1-параметрической вариации границы в 𝐻(R2). Чебышевский сборник. 2021;22(4):265-288. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-4-265-288
For citation:
Tropin A.M. On the bifurcation of the solution of the Fermat–Steiner problem under 1-parameter variation of the boundary in 𝐻(R2). Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(4):265-288. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-4-265-288
Просмотров: 118
Послать статью по эл. почте 