Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск
Том 19, № 3 (2018)
Скачать выпуск PDF
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-3

Статьи

20-34 110
Аннотация

Обсудим некоторые тождества с участием $\mu(n)$ и $M(x) = \sum _{n \leq x}\mu (n)$, функции Мёбиуса и Мертенса. Они позволяют вычислить $M(N^d)$ для $d=1,2,3,\ldots\, $ как сумму $O_d \left( N^d(\log N)^{2d - 2}\right)$ членов, каждое произведение вида $\mu(n_1) \cdots \mu(n_r)$ с $r\leq d$ и $n_1, \ldots , n_r\leq N$. Докажем более общее тождество, в котором $M(N^d)$ заменяется на $M(g,K)=\sum_{n\leq K}\mu(n)g(n)$, где $g(n)$ – произвольная полностью мультипликативная функция, тогда как каждое $n_j$ имеет собственный диапазон суммирования $1,\ldots , N_j$. Это не ново, за исключением того, что в $N_1,\ldots , N_d$ произвольны, но наше доказательство (вдохновленное тождественным равенством Э. Майсселя, 1854) является новым. Мы главным образом заинтересованы в случае $d=2$, $K=N^2$, $N_1=N_2=N$, где тождество имеет вид $M(g, N^2) = 2 M(g,N) - {\bf m}^{\rm T} A {\bf m}$, при этом $A$ является матрицей $N\times N$ элементов $a_{mn}=\sum _{k \leq N^2 /(mn)}\,g(k)$, в то время как ${\bf m}=(\mu (1)g(1),\ldots ,\mu (N)g(N))^{\rm T}$. Наши результаты в разделах 2 и 3 данной статьи предполагают, что $g(n)$ равно $1$ для всех $n$. Теорема Фробениуса-Перрона применяется в этом случае: мы находим, что $A$ имеет одно большое положительное собственное значение, приблизительно $(\pi^2 /6)N^2$, с собственным вектором приблизительно ${\bf f} = (1,1/2,1/3,\ldots ,1/N)^{\rm T}$ T и что при больших значениях $N$ второе наибольшее собственное значение лежит в $(-0.58 N, -0.49 N)$. Раздел 2 включает оценки для следов $A$ и $A^2$ (хотя для ${\rm Tr}(A^2)$, мы пропустим часть доказательства). В разделе 3 обсуждаются способы аппроксимации ${\bf m}^{\rm T} A {\bf m}$, используя спектральное разложение $A$ или (альтернативно) формулу Перрона: последний подход приводит к контурному интегралу, включающему дзета-функцию Римана. Мы также рассматриваем использование тождества $A = N^{2\,} {\bf f}^{\,} \!{\bf f}^T -
\textstyle{1\over 2} {\bf u} {\bf u}^T + Z$, а $Z$ --- матрица $N\times N$ элементов $z_{mn} = - \psi(N^2 / (mn))$, причем $\psi(x)=x - \lfloor x\rfloor - \textstyle{1\over 2}$. Наши выводы представлены в разделе 4.

35-39 98
Аннотация
Приведем новое доказательство теоремы Б. М. Бредихина, которая была первоначально доказана путем распространения решения Линника через его дисперсионный метод задачи Харди и Литтлвуда.
46-60 134
Аннотация

Гипотеза Римана имеет много эквивалентных
переформулировок. Часть из них является арифметическими,
то есть утверждениями о свойствах целых или натуральных чисел.
Простейшую логическую структуру имеют переформулировки из
класса $\Pi_1^0$ арифметической иерархии, имеющие вид ``для любых
$x_1,\dots,x_m$ имеет место $A(x_1,\dots,x_m)$'',
где $A$ -- алгоритмически проверяемое отношение.
Примером может служить переформулировка гипотезы Римана в
виде утверждения о том,
что некоторое диофантово уравнение не имеет решений
(такое конкретное уравнение может быть явно указано).

Хотя логическая структура такой переформулировки очень проста,
известные способы построения такого диофантова уравнения
приводят к уравнениям, требующим для своей записи нескольких страниц.
С другой стороны, известны весьма краткие по записи
переформулировки, также принадлежащие классу $\Pi_1^0$.
Примерами могут служить три критерия справедливости гипотезы
Римана, которые предложили Ж.-Л.\,Николас,
Г.\,Робин, и Дж.\,Лагариас. Недостатком этих
переформулировок (по сравнению
с диофантовым уравнением) является использование более ``сложных''
констант и функций, чем натуральные числа и сложение и умножение,
достаточные для построения диофантова уравнения.

В работе приводится система из 9 условий, налагаемых на 9
переменных. Для формулировки этих условий используются только
сложение, умножение, возведение в степень (унарное,
с фиксированным основанием~2), функция ``остаток от деления'',
неравенства, сравнения по модулю и биномиальный коэффициент.
Вся система может быть явно выписана на одной странице.
Доказано, что построеная система условий несовместна в том и только том случае,
когда гипотеза Римана верна.

61-73 132
Аннотация

В статье рассмотрены некоторые элементы теории чисел и показано
каким образом они используются в современных системах защиты
информации. В качестве примеров выбраны наиболее известные
протоколы и алгоритмы, такие как протокол Диффи-Хэллмана для
создания парного ключа, алгоритмы шифрования с открытым ключом
RSA и Эль Гамаля. Рассмотрен обобщенный алгоритм Евклида,
являющийся одним из наиболее часто встречающимся примитивом из
теории чисел, используемом в криптографии. Приведены алгоритмы
электронной подписи RSA и Эль Гамаля. В заключение предложен
алгоритм электронной подписи, основанный на билинейном
преобразовании использующем упрощенный вид спаривания в явном
законе взаимности.

74-79 77
Аннотация
Дан вариант метода Хуа для оценки неполных рациональных тригонометрических сумм. Эти оценки являются нетривиальными для сумм с длинами превосходящими корень квадратный от длины полной суммы.
80-94 90
Аннотация

Пусть $a$ и $q$ - два положительных целых числа. В 1944 году Ю. В. Линник показал, что наименьшее простое число в арифметической прогрессии по модулю  $q$ меньше $Cq^L$ с положительными постоянными $C$ и $L$.
Опираясь на работу Хиз-Брауна, мы доказываем, что $L=5$ допустимо.

95-108 87
Аннотация

В работе изучается дзета-функция моноида квадратичных вычетов по простому модулю $p$. Моноид квадратичных вычетов задается равенством
$$
M_{p,2}=\left\{a\in\mathbb{N}\left| \left(\frac{a}{p}\right)=1\right.\right\}=\bigcup_{\nu=1}^{\frac{p-1}{2}}\left(r_\nu+p\mathbb{N}_0\right),
$$
где $\mathbb{N}_0=\{0\}\bigcup\mathbb{N}$ и $r_1<r_2<\ldots<r_{\frac{p-1}{2}}$ --- наименьшая положительная система квадратичных вычетов по модулю $p$, соответственно, $r_{\frac{p+1}{2}}<\ldots<r_{p-1}$ --- наименьшая положительная система квадратичных невычетов по модулю $p$.

Множество простых элементов моноида $M_{p,2}$ состоит из множества простых чисел $\mathbb{P}_p^{(1)}$ и множества псевдопростых чисел $\mathbb{P}_p^{(2)}\cdot\mathbb{P}_p^{(2)}$:
$$
P(M_{p,2})=\mathbb{P}_p^{(1)}\bigcup\left(\mathbb{P}_p^{(2)}\cdot\mathbb{P}_p^{(2)}\right),
$$
где множество простых чисел $\mathbb{P}$ разбивается на два бесконечных подмножества $\mathbb{P}_p^{(\nu)}$ $(\nu=1,2)$ и одноэлементное множество $\{p\}$:
$$
\mathbb{P}=\mathbb{P}_p^{(1)}\bigcup\mathbb{P}_p^{(2)}\bigcup\{p\}, \quad \mathbb{P}_p^{(\nu)}=\left\{q\in\mathbb{P}\left|\left(\frac{q}{p}\right)=3-2\nu\right.\right\} \quad (\nu=1,2).
$$
Моноид $M_{p,2}$ разлагается в произведение двух взаимно простых моноидов $M_{p,2}=M_{p,2}^{(1)}\cdot$ $\cdot M_{p,2}^{(2)}$, где
$$
M_{p,2}^{(\nu)}=\left\{a\in M_{p,2}\left| a=\prod_{j=1}^{n}q_j^{\alpha_j}, \, q_j\in\mathbb{P}_p^{(\nu)} \right.\right\}, \quad \nu=1,2.
$$
В статье изучаются свойства функции распределения простых элементов $\pi_{M_{p,2}^{(\nu)}}(x)$ для $\nu=1,2$. Отметим, что $\pi_{M_{p,2}}(x)=\pi_{M_{p,2}^{(1)}}(x)+\pi_{M_{p,2}^{(2)}}(x)$. Показано, что
$$
\pi_{M_{p,2}^{(1)}}(x)=\frac{1}{2}\li x+O\left(\frac{x^{\beta_1}}{2}+\frac{p-1}2xe^{-c_9\sqrt{\ln x}}\right)
$$
и
$$
\pi_{M_{p,2}^{(2)}}(x)=\frac{x\ln\ln x}{2\ln x}+O\left(\frac{x}{(1-\beta_1)\ln{x}}\right),
$$
где $\beta_1$ --- исключительный ноль исключительного характера $\chi_1$ по модулю $p$.

В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.

109-134 83
Аннотация

В работе рассматриваются новые варианты двух асимптотических формул из теории гиперболической дзета-функции решёток.

Во-первых, получена новая асимптотическая формула для гиперболической дзета-функции алгебраической решётки, полученной растяжением в $t$ раз по каждой координате решётки состоящей из полных наборов алгебраически сопряженных целых алгебраических чисел, пробегающих кольцо целых алгебраических чисел чисто вещественного алгебраического поля степени $s$ для любого натурального $s\ge2$.

Во-вторых, получена новая асимптотическая формула для числа точек произвольной решётки в гиперболическом кресте.

В первом случае показано, что главный член асимптотической формулы для гиперболической дзета-функции алгебраической решётки выражается через детерминант решётки, регулятор поля и значения дзета-функции Дедекинда главных идеалов и её производные до порядка $s-1$. Впервые выписана явная формула остаточного члена и дана его оценка.

Во втором случае главный член асимптотической формулы выражается через объём гиперболического креста и детерминант решётки. Даётся явный вид остаточного члена и уточненная его оценка.

В заключении описана суть метода параметризованных множеств, использованного при выводе асимптотических формул.

135-147 204
Аннотация

Основными алгоритмическими проблемами теории групп являются проблемы равенства, сопряженности слов и проблема изоморфизма групп.

В силу неразрешимости данных проблем в классе конечно определенных групп, основные алгоритмические проблемы и их различные обобщения исследуются в конкретных группах.

Группы Кокстера изучаются с 1934 года, а в алгебраическом аспекте -- с 1962 года.
В них алгоритмически разрешимы проблемы равенства и сопряженности слов, однако неразрешима проблема вхождения.

В 1983 году К. Аппель и П. Шупп определили класс групп Кокстера
экстрабольшого типа.
В 2003 году В. Н. Безверхний ввел в рассмотрение группы Кокстера с древесной структурой.

В статье рассматриваются обобщенные древесные структуры групп Кокстера, представляющие собой древесные произведения групп Кокстера экстрабольшого типа и групп Кокстера с древесной структурой.

Обобщенные древесные структуры групп Кокстера, также как группы Кокстера экстрабольшого типа и группы Кокстера с древесной структурой, относятся к гиперболическим группам, поэтому в них решено большинство алгоритмических проблем, в частности, алгоритмически разрешима проблема обобщенной сопряженности слов.

Авторами статьи предлагается оригинальный метод доказательства алгоритмической разрешимости проблемы обобщенной сопряженности слов в обобщенных древесных структурах групп Кокстера. Данный метод использует подход Г. С. Маканина, примененный им для доказательства конечной порожденности нормализатора элемента в группах кос. Кроме того, в данной работе показывается, что централизатор конечно порожденной подгруппы в обобщенной древесной структуре групп Кокстера конечно порожден и существует алгоритм, выписывающий его образующие.

148-163 32
Аннотация

Пусть $\alpha_{m}$ и $\beta_{n}$ --- две последовательности вещественных чисел с носителями на
отрезках $[M,2M]$ и $[N,2N]$, где $M = X^{1/2-\delta}$ и $N = X^{1/2+\delta}$. Мы доказываем
существование такой постоянной $\delta_{0}$, что мультипликативная свертка
$\alpha_{m}$ и $\beta_{n}$ имеет уровень распределения $1/2+\delta-\varepsilon$ (в слабом смысле),
если только $0\leqslant \delta<\delta_{0}$, последовательность $\beta_{n}$ является
последовательностью Зигеля-Вальфиша, и обе последовательности $\alpha_{m}$ и $\beta_{n}$
ограничены сверху функцией делителей.
Наш результат, таким образом, представляет собой общую дисперсионную оценку
для "коротких"\, сумм II типа. Доказательство существенно использует дисперсионный метод Линника
и недавние оценки трилинейных сумм с дробями Клоостермана, принадлежащие Беттин и Чанди.
Также мы остановимся на применении полученного результата к проблеме делителей Титчмарша.

164-182 45
Аннотация

В работе исследуется однозначная разрешимость вариационной задачи Дирихле, свя-
занной с интегро-дифференциальной полуторалинейной формой
????[????, ????] =
Σ︁
????∈????
???????? [????, ????], (*)
где
???????? [????, ????] =
Σ︁
|????|=|????|=????
∫︁
Ω
????(????)2???????? ????????????(????)????(????)(????) ????(????)(????)????????,
Ω — ограниченная область в евклидовом пространстве ???????? с замкнутой (???? − 1)-мерной
границей ????Ω, ????(????), ???? ∈ Ω, — регуляризованное расстояние от точки ???? ∈ Ω до ????Ω, ???? —
мультииндекс, ????(????)(????) — обобщенная производная мультииндекса ???? функции ????(????), ???? ∈ Ω,
????????????(????) — ограниченные в Ω комплекснозначные функции, ???? ⊂ {1, 2, . . . , ????} и ???????? , ???? ∈ ????, —
вещественные числа. Предполагается, что ???? ∈ ????. Вырождение коэффициентов дифферен-
циального оператора, ассоциированного с формой (*), называется согласованным, если
существует число ???? такое, что ???????? = ???? + ???? − ???? при всех ???? ∈ ????. В противном случае оно
называется несогласованным.
Вариационная задача Дирихле, связанная с формой (*), в случае согласованного вы-
рождения коэффициентов хорошо исследована во многих работах, где также предполага-
ется, что форма (*) удовлетворяет условию коэрцитивности. Следует отметить, что слу-
чай несогласованного вырождения коэффициентов сопряжен с некоторыми техническими
сложностями и рассмотрен лишь в некоторых отдельных работах. В этом случае с помо-
щью теорем вложения пространств дифференцируемых функций со степенными весами
выделяются старшие формы ???????? [????, ????], ???? ∈ ????2 ⊂ ???? и доказывается, что разрешимость вари-
ационной задачи Дирихле в основном зависит от старших форм.
В работе рассматривается случай несогласованного вырождения коэффициентов ис-
следуемого оператора и, в отличие от ранее опубликованных работ по этому направлению,
допускается случай, когда основная форма (*) может не удовлетворять условию коэрци-
тивности.

183-201 39
Аннотация

Аддитивный сдвиг -- один из часто используемых приёмов оценки тригонометрических сумм и сумм значений характеров. Он состоит в замене переменной суммирования $n$ выражением вида $n+x$ с последующим суммированием по искусственно введённой переменной $x$. Превращение исходной однократной суммы в кратную открывает дополнительные возможности, позволяющие получить её нетривиальную оценку. Этот приём широко использовался в работах Й.~Г. ван дер Корпута, И.~М.~Виноградова, Д.~А.~Бёрджесса,
А.~А.~Карацубы и многих других исследователей. Он оказался весьма полезным рабочим инструментом и при работе с суммами значений характеров в конечных полях, а также с кратными тригонометрическими суммами.
Э.~Фуври и П.~Мишель (1998), Ж.~Бургейн (2005) стали успешно применять этот приём к оценкам сумм Клоостермана по простому модулю.

Э.~Фуври и П.~Мишель сочетали аддитивный сдвиг с глубокими результатами, которые получаются средствами алгебраической геометрии.
Метод Ж.~Бургейна полностью элементарен. Так, его использование позволило автору дать полностью элементарный вывод оценки суммы Клоостермана с простыми числами по простому модулю $q$ в случае, когда длина $N$ такой суммы превосходит $q^{\,1/2+\varepsilon}$.

В настоящей статье даются новые примеры применения аддитивного сдвига к взвешенным суммам Клоостермана вида
\[
\sum\limits_{n\le N}f(n)\exp{\biggl(\frac{2\pi ia}{q}\,(n+b)^{*}\biggr)},\quad (ab,q)=1,\quad mm^{*}\equiv 1\;(\mmod q),
\]
где $q$ - простое число, а весовая функция $f(n)$ берётся равной числу $\tau(n)$ делителей $n$ или же количеству
$r(n)$ представлений $n$ суммою двух квадратов целых чисел. Полученные оценки нетривиальны уже при $N\ge q^{\,2/3+\varepsilon}$.

Следствием таких оценок являются новые результаты о распределении дробных долей вида
\[
\biggl\{\frac{a}{q}\,(uv+b)^{*}\biggr\},\quad \biggl\{\frac{a}{q}\,(u^{2}+v^{2}+b)^{*}\biggr\},
\]
в случае, когда целочисленные переменные $u$, $v$ меняются в гиперболической ($uv\le N$) и круговой ($u^{2}+v^{2}\le N$)
областях, соответственно.

202-209 93
Аннотация

В конце 40-х годов прошлого века Ю. В. Линник поставил задачу относительно аналитического продолжения целым образом на комплексную плоскость рядов Дирихле, коэффициенты которых определяются конечнозначными числовыми характеристиками, не равными нулю на почти всех простых числах и имеющих ограниченные сумматорные функции. Такие характеры получили название неглавных обобщенных характеров. Решением задачи Ю. В. Линника занимались многие математики. В частности, этой задачей занимался Н. Г. Чудаков, который который видел ее решение в доказательстве высказанного им предположения о том, что неглавный обобщенный характер является характером Дирихле.

Проблема, заключающаяся в решении задачи Ю. В. Линника и гипотезы Н. Г. Чудакова, широко известна в теории чисел. Она носит название проблемы обобщенных характеров.

В данной работе приводится решение задачи Ю. В. Линника, основанное на результатах, полученных ранее авторами относительно аналитического продолжения рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами.

Таким образом, в данной работе приведено частичное решение проблемы обобщенных характеров, поставленной в 1950-м году Ю. В. Линником и Н. Г. Чудаковым.

210-218 21
Аннотация

Проблема обобщённых характеров заключается в решении задачи Ю. В. Линника, поставленной им в 1949 году, относительно аналитического продолжения как целых функций на комплексную плоскость одного класса рядов Дирихле и в решении гипотезы Н. Г. Чудакова, выдвинутой им в 1950 году о том, что любой конечнозначный числовой характер, отличный от нуля почти на всех простых числах и имеющий ограниченную сумматорную функцию, является характером Дирихле. Позднее такие характеры получили название неглавных обобщённых характеров. Коэффициенты рядов Дирихле в задаче Ю. В Линника также определялись неглавными обобщёнными характерами.

Кроме Ю. В. Линника и Н. Г. Чудакова решениями проблемы обобщённых характеров занимались такие известные математики как В. Г. Спринджук, К. А. Родосский, Б.~М.~Бредихин и многие другие, но проблема оставалась открытой.

Последние годы авторы разработали аппроксимационный подход, основанный на приближении в правой полуплоскости комплексной плоскости функций, заданных рядами Дирихле, полиномами Дирихле, в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами. Ранее этот подход позволил авторам решить задачу Ю. В. Линника, а в данной работе приводится решение гипотезы Н. Г. Чудакова.

219-230 47
Аннотация
Хорошо известно, что некоторые дзета и $L$-функции универсальны в смысле Воронина, т.е., ими приближается широкий класс аналитических функций. Некоторые из этих функций также совместно универсальны. В этом случае, набор аналитических функций одновременно приближается набором дзета-функций. В статье рассматривается проблема, связанная со совместной универсальностью дзета-функций Гурвица. Известно, что дзета-функции Гурвица $\zeta(s,\alpha_1), \dots, \zeta(s,\alpha_r)$ совместно универсальны, если параметры $\alpha_1,\dots, \alpha_r$ алгебраически независимы над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$, или в более общем  случае, если множество $\{\log(m+\alpha_j): m\in \mathbb{N}_0,\; j=1,\dots, r\}$ линейно независимо над $\mathbb{Q}$. Мы рассматриваем случай произвольных параметров $\alpha_1,\dots, \alpha_r$ и получаем, что существует непустое замкнутое множество функций $F_{\alpha_1,\dots, \alpha_r}$ пространства $H^r(D)$ аналитических в полосе $D=\left\{s\in \mathbb{C}:\frac{1}{2}<\sigma<1\right\}$   такое, что для любых компактных множеств $K_1,\dots, K_r\subset D$, функций $(f_1,\dots, f_r)\in F_{\alpha_1,\dots, \alpha_r}$ и всякого $\varepsilon>0$ множество $\left\{\tau\in \mathbb{R}: \sup_{1\leqslant j\leqslant r} \sup_{s\in K_j} |\zeta(s+i\tau,\alpha_j)-f_j(s)|<\varepsilon\right\}$ имеет положительную нижнюю плотность. Также рассматривается случай положительной плотности этого множества.
231-240 33
Аннотация

В 1945 году А.И. Мальцев исследовал задачу описания абелевых
подгрупп наивысшей размерности в комплексных простых группах Ли.
Задача инспирирована доказанной ранее И. Шуром теоремой: \ {\it
Наивысшая размерность абелевых подгрупп группы $SL(n,\mathbb{C})$
равна $[n^2/4]$ и абелевы подгруппы этой размерности при $n>3$
переводятся автоморфизмами друг в друга.} Свою задачу А.И. Мальцев
решил переходом к комплексным алгебрам Ли. В теории Картана --
Киллинга полупростые комплексные алгебры Ли классифицированы с
использованием классификации систем корней евклидовых пространств
$V$. С любой неразложимой системой корней $\Phi$ и полем $K$
ассоциируют алгебру Шевалле ${\cal L}_\Phi(K)$; ее базу дают база
определенной абелевой самонормализуемой подалгебры $H$ и элементы
$e_r$ $(r\in \Phi)$ с $H$-инвариантным подпространством $Ke_r$.
Элементы $e_r$ $(r\in\Phi^+)$ образуют базу нильтреугольной
подалгебры $N\Phi(K)$. Методы А.~И.~Мальцева позднее получили
развитие в решении проблемы о больших абелевых подгруппах конечных
групп Шевалле. В настоящей статье мы используем разработанные
методы для перенесения теоремы А.И. Мальцева на алгебры Шевалле.
Мы исследуем следующие задачи:

{\bf (A)} \ {\it Описать коммутативные подалгебры наивысшей
размерности в алгебре Шевалле ${\cal L}_\Phi(K)$ над произвольным
полем $K$.}

{\bf (B) }\ {\it Описать коммутативные подалгебры наивысшей
размерности в подалгебре $N\Phi(K)$ алгебры Шевалле ${\cal
L}_\Phi(K)$ над произвольным полем $K$.}

В статье приводится описание коммутативных подалгебр наивысшей
размерности алгебры $N\Phi(K)$ классического типа над произвольным
полем $K$ с точностью до автоморфизмов алгебры ${\cal L}_\Phi(K)$
и подалгебры $N\Phi(K)$.

241-256 48
Аннотация

Данная работа посвящена вопросам приближения квадратичных алгебраических решёток и сеток целочисленными решётками и рациональными сетками.

Даётся общая постановка вопроса о приближении алгебраических решёток и соответствующих сеток целочисленными решётками и рациональными сетками.

В случае простого $p$ вида $p=4k+3$ или $p=2$ рассматривается целочисленная решётка, заданная $m$-й подходящей дробью к числу $\sqrt{p}$. В явном виде выписана соответствующая алгебраическая решётка и обобщённая параллелепипедальная сетка.

Для определения качества соответствующей обобщённой параллелепипедальной сетки определена функция качества, которая для своего вычисления требует $O(N)$ арифметических операций, где $N$ --- количество точек сетки. Центральным результатом является алгоритм вычисления функции качества за $O\left(\sqrt{N}\right)$ арифметических операций.

Сформулирована гипотеза о существовании алгоритма, требующего $O\left(\ln{N}\right)$ арифметических операций. Намечен подход для вычисления сумм с целыми частями линейных функций.

257-269 54
Аннотация

В работе рассматриваются вопросы, касающиеся алгебраических и арифметических свойств таких комбинаторных чисел как биномиальные, полиномиальные и гауссовы коэффициенты.

Для центральных биномиальных коэффициентов $\binom{2p}{p}$ и $\binom{2p-1}{p-1}$ установлено новое свойство сравнимости по модулю $p^3\cdot\left(2p-1\right)$, не равному степени простого числа, где $p$ и $(2p-1)$ --- простые числа, при этом используется теорема Волстенхолма о том, что при $p \geqslant 5$ эти коэффициенты соответственно сравнимы с числами 2 и 1 по модулю $p^3$.

В части, относящейся к гауссовым коэффициентам $\binom{n}{k}_q$ исследованы алгебраические и арифметические свойства этих чисел. Пользуясь алгебраической интерпретацией гауссовых коэффициентов, установлено, что число $k$-мерных подпространств $n$-мерного векторного пространства над конечным полем из q элементов равно числу $(n-k)$-мерных его подпространств, при этом число $q$ от которого зависит гауссовый коэффициент должно быть степенью простого числа, являющегося характеристикой этого конечного поля.

Получены оценки снизу и сверху для суммы $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}_q$ всех гауссовых коэффициентов, достаточно близкие к ее точному значению (формула для точного значения такой суммы пока ещё не установлена), а также асимптотическая формула при $q \to \infty$. В виду отсутствия удобной производящей функции для гауссовых коэффициентов мы пользуемся исходным определением гауссового коэффициента $\binom{n}{k}_q$, при этом считаем, что $q>1$.

При исследовании арифметических свойств делимости и сравнимости гауссовых коэффициентов используется понятие первообразного корня по данному модулю. Получены условия делимости гауссовых коэффициентов $\binom{p}{k}_q$ и $\binom{p^2}{k}_q$ на простое число $p$, а также вычислена сумма всех этих коэффициентов по модулю простого числа $p$.

В заключительной части приводятся некоторые нерешенные задачи теории чисел, связанные с биномиальными и гауссовыми коэффициентами, которые могут представлять интерес для дальнейших исследований.

270-281 23
Аннотация
В этой статье мы рассматриваем аффинно-рациональные аналоги задачи Нелсона-Хадвигера о нахождении хроматического числа рационального пространства и задачи Борсука о разбиении на части меньшего диаметра. Доказаны новые нижние оценки, в частности улучшены оценки минимального контрпримера для гипотезы Борсука.
282-297 28
Аннотация

К настоящему времени метод непрерывных дробей позволил
глубоко изучить проблему существования и построения нетривиальных $S$-единиц
в гиперэллиптических полях в случае, когда множество $S$ состоит из двух линейных нормирований.
Данная статья посвящена более общей проблеме, а именно
проблеме существования и построения фундаментальных $S$-единиц в гиперэллиптических полях
для множеств $S$, содержащих нормирования второй степени.
Ключевым является случай, когда множество $S=S_h$
состоит из двух сопряжённых нормирований,
связанных с неприводимым многочленом $h$ второй степени.
Основные результаты получены с помощью
теории обобщенных функциональных непрерывных дробей
в совокупности с геометрическим подходом к проблеме кручения
в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых.

Нами разработана теория обобщенных функциональных непрерывных дробей
и связанных с ними дивизоров гиперэллиптического поля,
построенных с помощью нормирований второй степени.
Эта теория позволила нам найти новые эффективные методы для поиска и построения
фундаментальных $S_h$-единиц в гиперэллиптических полях.

В качетсве демонстрации полученных результатов,
мы подробно разбираем алгоритм поиска фундаментальных $S_h$-единиц
для гиперэллиптических полей рода 3 над полем рациональных чисел
и приводим явные вычислительные примеры гиперэллиптических
полей $L = \mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$ для многочленов $f$ степени 7,
обладающих фундаментальными $S_h$-единицами больших степеней.

298-310 24
Аннотация

Найдены асимптотические формулы при $m\to\infty$ для числа решений системы сравнений вида
$$
g_s(x_1)+\dots +g_s(x_k)\equiv g_s(x_1)+\dots +g_s(x_k)\pmod{p^m}, 1\leq s\leq n,
$$
где неизвестные $x_1,\dots ,x_k,y_1,\dots ,y_k$ могут принимать значения из полной системы вычетов по модулю $p^m,$ а степени многочленов $g_1(x),\dots ,g_n(x)$ не превосходят $n.$
Указаны такие многочлены $g_1(x),\dots ,g_n(x),$ для которых эти асимптотики справедливы при $2k>0,5n(n+1)+1,$ а при $2k\leq 0,5n(n+1)+1$ данные асимптотики не имеют место.

Кроме того, для многочленов $g_1(x),\dots ,g_n(x)$ с вещественными коэффициентами, причем степени многочленов не превосходят $n,$ найдена асимптотика среднего значения тригонометрических интегралов вида
$$
\int\limits_0^1e^{2\pi if(x)}, f(x)=\alpha_1g_1(x)+\dots +\alpha_ng_n(x),
$$
где осреднение ведётся по всем вещественным параметрам $\alpha_1,\dots ,\alpha_n.$ Эта асимптотика справедлива при степени осреднения $2k>0,5n(n+1)+1,$ а при $2k\leq 0,5n(n+1)+1$ она не имеет места.}
{Asymptotical formulae as $m\to\infty$ for the number of solutions of the congruence system of a form
$$
g_s(x_1)+\dots +g_s(x_k)\equiv g_s(x_1)+\dots +g_s(x_k)\pmod{p^m}, 1\leq s\leq n,
$$
are found, where unknowns $x_1,\dots ,x_k,y_1,\dots ,y_k$ can take on values from the complete system of residues modulo $p^m,$ but degrees of polynomials $g_1(x),\dots ,g_n(x)$ do not exceed $n.$ Such polynomials $g_1(x),\dots ,g_n(x),$ for which these asymptotics hold as $2k>0,5n(n+1)+1,$ but as $2k\leq 0,5n(n+1)+1$ the given asymptotics have no place, were shew.

Besides, for polynomials $g_1(x),\dots ,g_n(x)$ with real coefficients, moreover degrees of poly\-nomials do not exceed $n,$ the asymptotic of a mean value of trigonometrical integrals of the form
$$
\int\limits_0^1e^{2\pi if(x)}, f(x)=\alpha_1g_1(x)+\dots +\alpha_ng_n(x),
$$
where the averaging is lead on all real parameters $\alpha_1,\dots ,\alpha_n,$ is found. This asymptotic holds for the power of the averaging $2k>0,5n(n+1)+1,$ but as $2k\leq 0,5n(n+1)+1$ it has no place.

311-317 38
Аннотация

В статье изучается следующая задача. Пусть $E \subset \mathbb{F}_{q}^{d}$ является подмножеством $d-$ мерного векторного пространства над конечным полем из $q$ элементов.
Мы определяем так называемый дистанционный граф на множестве $E$ c единичным расстоянием между вершинами. Расстояние между вершинами $x,y$ определяется так $\|x\! -\! y \|\!=\!(x_{1}-y_{1})^{2}+\ldots +(x_{d}-y_{d})^{2}$.
Вершины дистанционного графа это элементы множества $E$ и пара вершин $x,y \in E$ соединены ребром если расстояние между ними равно единице.
В настоящей работе изучаются длинные пути в этом графе.
А именно, получена нижняя оценка на длину самого большого непересекающегося пути в нем.
При определенных условиях в работе доказано, что длина такого пути состоит из большинства вершин из множества $E$. Это дополняет результат из работы А. Иосевича и соавторов.
При доказательстве мы используем некоторые комбинаторные идеи и результаты, полученные А. Иосевичем и М. Рудневым а также совместный результат М. Беннета, Дж. Чапмана, Д. Коверта, Д. Харта, А. Иосевича и Дж. Пакианатана. Основная идея построения большого пути в таком графе заключается в следующем. Мы строим много путей меньшей длины стандартными методами. Далее, основываясь на совместном результате М.Руднева и А. Иосевича о распределении расстояний между элементами множества $E$, мы заключаем, что существуют пара вершин у двух различных путей с расстоянием единица. Тем самым есть возможность соединить какие-то два уже построенных пути за их вершины и получить путь большей длины. Эта процедура повторяется итеративно до тех пор, пока не построится путь заданной нами длины. Отметим, что данный метод и основной результат остается верен и для так определенных дистанционных графов с любым ненулевым расстоянием.

318-327 27
Аннотация
Данная статья посвящена 150-летию со дня рождения выдающегося российского математика Георгия Феодосьевича Вороного.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)