О разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических операторов

Аннотация

В работе исследуется однозначная разрешимость вариационной задачи Дирихле, свя-
занной с интегро-дифференциальной полуторалинейной формой
????[????, ????] =
Σ︁
????∈????
???????? [????, ????], (*)
где
???????? [????, ????] =
Σ︁
|????|=|????|=????
∫︁
Ω
????(????)2???????? ????????????(????)????(????)(????) ????(????)(????)????????,
Ω — ограниченная область в евклидовом пространстве ???????? с замкнутой (???? − 1)-мерной
границей ????Ω, ????(????), ???? ∈ Ω, — регуляризованное расстояние от точки ???? ∈ Ω до ????Ω, ???? —
мультииндекс, ????(????)(????) — обобщенная производная мультииндекса ???? функции ????(????), ???? ∈ Ω,
????????????(????) — ограниченные в Ω комплекснозначные функции, ???? ⊂ {1, 2, . . . , ????} и ???????? , ???? ∈ ????, —
вещественные числа. Предполагается, что ???? ∈ ????. Вырождение коэффициентов дифферен-
циального оператора, ассоциированного с формой (*), называется согласованным, если
существует число ???? такое, что ???????? = ???? + ???? − ???? при всех ???? ∈ ????. В противном случае оно
называется несогласованным.
Вариационная задача Дирихле, связанная с формой (*), в случае согласованного вы-
рождения коэффициентов хорошо исследована во многих работах, где также предполага-
ется, что форма (*) удовлетворяет условию коэрцитивности. Следует отметить, что слу-
чай несогласованного вырождения коэффициентов сопряжен с некоторыми техническими
сложностями и рассмотрен лишь в некоторых отдельных работах. В этом случае с помо-
щью теорем вложения пространств дифференцируемых функций со степенными весами
выделяются старшие формы ???????? [????, ????], ???? ∈ ????2 ⊂ ???? и доказывается, что разрешимость вари-
ационной задачи Дирихле в основном зависит от старших форм.
В работе рассматривается случай несогласованного вырождения коэффициентов ис-
следуемого оператора и, в отличие от ранее опубликованных работ по этому направлению,
допускается случай, когда основная форма (*) может не удовлетворять условию коэрци-
тивности.