Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Обобщение задачи А. И. Мальцева о коммутативных подалгебрах на алгебры Шевалле

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-3-231-240

Полный текст:

Аннотация

В 1945 году А.И. Мальцев исследовал задачу описания абелевых
подгрупп наивысшей размерности в комплексных простых группах Ли.
Задача инспирирована доказанной ранее И. Шуром теоремой: \ {\it
Наивысшая размерность абелевых подгрупп группы $SL(n,\mathbb{C})$
равна $[n^2/4]$ и абелевы подгруппы этой размерности при $n>3$
переводятся автоморфизмами друг в друга.} Свою задачу А.И. Мальцев
решил переходом к комплексным алгебрам Ли. В теории Картана --
Киллинга полупростые комплексные алгебры Ли классифицированы с
использованием классификации систем корней евклидовых пространств
$V$. С любой неразложимой системой корней $\Phi$ и полем $K$
ассоциируют алгебру Шевалле ${\cal L}_\Phi(K)$; ее базу дают база
определенной абелевой самонормализуемой подалгебры $H$ и элементы
$e_r$ $(r\in \Phi)$ с $H$-инвариантным подпространством $Ke_r$.
Элементы $e_r$ $(r\in\Phi^+)$ образуют базу нильтреугольной
подалгебры $N\Phi(K)$. Методы А.~И.~Мальцева позднее получили
развитие в решении проблемы о больших абелевых подгруппах конечных
групп Шевалле. В настоящей статье мы используем разработанные
методы для перенесения теоремы А.И. Мальцева на алгебры Шевалле.
Мы исследуем следующие задачи:

{\bf (A)} \ {\it Описать коммутативные подалгебры наивысшей
размерности в алгебре Шевалле ${\cal L}_\Phi(K)$ над произвольным
полем $K$.}

{\bf (B) }\ {\it Описать коммутативные подалгебры наивысшей
размерности в подалгебре $N\Phi(K)$ алгебры Шевалле ${\cal
L}_\Phi(K)$ над произвольным полем $K$.}

В статье приводится описание коммутативных подалгебр наивысшей
размерности алгебры $N\Phi(K)$ классического типа над произвольным
полем $K$ с точностью до автоморфизмов алгебры ${\cal L}_\Phi(K)$
и подалгебры $N\Phi(K)$.

Для цитирования:


Левчук В.М., Сулейманова Г.С. Обобщение задачи А. И. Мальцева о коммутативных подалгебрах на алгебры Шевалле. Чебышевский сборник. 2018;19(3):231-240. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-3-231-240

For citation:


., . . Chebyshevskii Sbornik. 2018;19(3):231-240. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-3-231-240

Просмотров: 24


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)