Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

О полных рациональных тригонометрических суммах и интегралах

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-3-298-310

Полный текст:

Аннотация

Найдены асимптотические формулы при $m\to\infty$ для числа решений системы сравнений вида
$$
g_s(x_1)+\dots +g_s(x_k)\equiv g_s(x_1)+\dots +g_s(x_k)\pmod{p^m}, 1\leq s\leq n,
$$
где неизвестные $x_1,\dots ,x_k,y_1,\dots ,y_k$ могут принимать значения из полной системы вычетов по модулю $p^m,$ а степени многочленов $g_1(x),\dots ,g_n(x)$ не превосходят $n.$
Указаны такие многочлены $g_1(x),\dots ,g_n(x),$ для которых эти асимптотики справедливы при $2k>0,5n(n+1)+1,$ а при $2k\leq 0,5n(n+1)+1$ данные асимптотики не имеют место.

Кроме того, для многочленов $g_1(x),\dots ,g_n(x)$ с вещественными коэффициентами, причем степени многочленов не превосходят $n,$ найдена асимптотика среднего значения тригонометрических интегралов вида
$$
\int\limits_0^1e^{2\pi if(x)}, f(x)=\alpha_1g_1(x)+\dots +\alpha_ng_n(x),
$$
где осреднение ведётся по всем вещественным параметрам $\alpha_1,\dots ,\alpha_n.$ Эта асимптотика справедлива при степени осреднения $2k>0,5n(n+1)+1,$ а при $2k\leq 0,5n(n+1)+1$ она не имеет места.}
{Asymptotical formulae as $m\to\infty$ for the number of solutions of the congruence system of a form
$$
g_s(x_1)+\dots +g_s(x_k)\equiv g_s(x_1)+\dots +g_s(x_k)\pmod{p^m}, 1\leq s\leq n,
$$
are found, where unknowns $x_1,\dots ,x_k,y_1,\dots ,y_k$ can take on values from the complete system of residues modulo $p^m,$ but degrees of polynomials $g_1(x),\dots ,g_n(x)$ do not exceed $n.$ Such polynomials $g_1(x),\dots ,g_n(x),$ for which these asymptotics hold as $2k>0,5n(n+1)+1,$ but as $2k\leq 0,5n(n+1)+1$ the given asymptotics have no place, were shew.

Besides, for polynomials $g_1(x),\dots ,g_n(x)$ with real coefficients, moreover degrees of poly\-nomials do not exceed $n,$ the asymptotic of a mean value of trigonometrical integrals of the form
$$
\int\limits_0^1e^{2\pi if(x)}, f(x)=\alpha_1g_1(x)+\dots +\alpha_ng_n(x),
$$
where the averaging is lead on all real parameters $\alpha_1,\dots ,\alpha_n,$ is found. This asymptotic holds for the power of the averaging $2k>0,5n(n+1)+1,$ but as $2k\leq 0,5n(n+1)+1$ it has no place.

Для цитирования:


Чубариков В.Н. О полных рациональных тригонометрических суммах и интегралах. Чебышевский сборник. 2018;19(3):298-310. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-3-298-310

For citation:


. . Chebyshevskii Sbornik. 2018;19(3):298-310. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-3-298-310

Просмотров: 23


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)