Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Об алгебре и арифметике биномиальных и гауссовых коэффициентов

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-3-257-269

Полный текст:

Аннотация

В работе рассматриваются вопросы, касающиеся алгебраических и арифметических свойств таких комбинаторных чисел как биномиальные, полиномиальные и гауссовы коэффициенты.

Для центральных биномиальных коэффициентов $\binom{2p}{p}$ и $\binom{2p-1}{p-1}$ установлено новое свойство сравнимости по модулю $p^3\cdot\left(2p-1\right)$, не равному степени простого числа, где $p$ и $(2p-1)$ --- простые числа, при этом используется теорема Волстенхолма о том, что при $p \geqslant 5$ эти коэффициенты соответственно сравнимы с числами 2 и 1 по модулю $p^3$.

В части, относящейся к гауссовым коэффициентам $\binom{n}{k}_q$ исследованы алгебраические и арифметические свойства этих чисел. Пользуясь алгебраической интерпретацией гауссовых коэффициентов, установлено, что число $k$-мерных подпространств $n$-мерного векторного пространства над конечным полем из q элементов равно числу $(n-k)$-мерных его подпространств, при этом число $q$ от которого зависит гауссовый коэффициент должно быть степенью простого числа, являющегося характеристикой этого конечного поля.

Получены оценки снизу и сверху для суммы $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}_q$ всех гауссовых коэффициентов, достаточно близкие к ее точному значению (формула для точного значения такой суммы пока ещё не установлена), а также асимптотическая формула при $q \to \infty$. В виду отсутствия удобной производящей функции для гауссовых коэффициентов мы пользуемся исходным определением гауссового коэффициента $\binom{n}{k}_q$, при этом считаем, что $q>1$.

При исследовании арифметических свойств делимости и сравнимости гауссовых коэффициентов используется понятие первообразного корня по данному модулю. Получены условия делимости гауссовых коэффициентов $\binom{p}{k}_q$ и $\binom{p^2}{k}_q$ на простое число $p$, а также вычислена сумма всех этих коэффициентов по модулю простого числа $p$.

В заключительной части приводятся некоторые нерешенные задачи теории чисел, связанные с биномиальными и гауссовыми коэффициентами, которые могут представлять интерес для дальнейших исследований.

Для цитирования:


Пачев У.М. Об алгебре и арифметике биномиальных и гауссовых коэффициентов. Чебышевский сборник. 2018;19(3):257-269. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-3-257-269

Просмотров: 114


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)