Эта статья посвящена памяти известного российского и французского ученого математика Мишеля Деза трагически ушедшего из жизни 23 ноября 2016 года на 78 году жизни. Дан обзор основных этапов профессионального становления и роста М. Деза (Михаила Ефимовича Тылкина) в России в 60-70-е годы прошлого века. Освещена его многосторонняя международная научная деятельность с момента переезда во Францию в 1973 году. Проанализированы основные направления его фундаментальных математических и прикладных исследований с многочисленными соавторами. Представлен список основных научных публикаций М Деза. Коротко рассказано о творчестве Мишеля Деза как русского поэта.

В данной работе рассмотрено обобщение некоторых методов, позволяющих получать оценки меры иррациональности чисел вида γd =√d ln√√d+1d−1при d = 2k,d = 4k + 1,k ∈ N, и приведен обзор известных на данный момент результатов. Мера иррациональности различных значений гипергеометрической функции Гаусса, в частности 2F 1,12,32;1d=√d ln√d + 1√d − 1, оценивалась неоднократно. Первые подобные оценки для отдельных значений были получены в работах Д. Рина [1], М.Хуттнера [2], А.К. Дубицкаса [3]. Позднее К. Ваананеном, А. Хеймоненом и Т. Матала-Ахо в [4] был предложен общий метод, позволяющий строить оценки показателя иррациональности значений гипергеометрической функции F1,1k,1 +1k;rs,k ∈ N,k 2, r s∈ Q, (r, s) = 1, rs∈ (−1, 1). Данный метод использовал полиномы Якоби для построения рациональных приближений функции Гаусса. В работе [4] было получено много конкретных результатов. Некоторые из них не улучшены до сих пор, но для отдельных классов значений гипергеометрической функции в дальнейшем были разработаны специализированные методы, позволившие уменьшить оценки. Так в трудах [5], [6] авторами, работавшими под руководством В.Х. Салихова. были усилены результаты о показателях иррациональности некоторых значений вида γd. В основе доказательств лежало использование симметризованных интегралов. Следует отметить, что вещественные или комплексные симметризованные интегралы в последнее время широко применяются для оценки показателей иррациональности. С помощью таких интегралов были получены новые оценки для ln 2 (см [7]),ln 3D ln π (см [8], [9]) и других чисел. Проведем исследование и сравнение некоторых из таких симметризованных конструкций, позволивших ранее улучшить оценки мер иррациональности для конкретных значений γd.

В данной работе рассматриваются многочлены от двух проекторов, которые при любом выборе этих проекторов имеют значением невырожденную матрицу. Результаты работы ‘I“ о блочно-треугольной форме пары проекторов, применяются для вывода уравнений, которым удовлетворяют коэффициенты всегда невырожденных многочленов. Из уравнений получен основной результат " всегда невырожденный многочлен раскладывается в произведение специальных многочленовF Специальный многочлен от проекторов P, Q это или линейный бином " I + αP, I + βQD или многочлен вроде такого " I + x1(PQP − PQ) + x2(PQPQP − PQPQ) + ... F ДоказываетсяD что специальные многочлены неприводимы. Оказывается линейные биномы можно переставлять с некоторыми другими специальными многочленами. Если в произведении специальных многочленов переставить линейные биномы максимально влево, то будет получен вид произведения специальных многочленов, называемый стандартным. Доказано, что стандартная форма произведения специальных многочленов единственна. Полученные результаты позволили получить описание строения всех многочленов от двух проекторов, которые при любом выборе этих проекторов являются нильпотентными матрицами (нильпотентный многочлен) F Аналогичные результаты получены для инволютивныx многочленов и многочленов-проекторов.

Многочлены Чебышева находят широкое применение в теоритических и практических исследованиях. В последнее время они приобретают особое значение, например, в квантовой химии. В работе [1] указаны их важные свойства, "обеспечивающие более быструю сходимость разложений функций в ряд по многочленам Чебышева, по сравнению с их разложением в степенной ряд или в ряд по другим специальным многочленам или функциям" ([1], с.6.). В данной работе получен результат, связанный с теорией приближений. В некотором смысле аналоги этого результата получены в других работах, например в [2]-[4] соответственно для степенных рядов, рядов по многочленам Эрмита и Фабера. В связи с представленным выше определением значимости рядов по многочленам Чебышева результат данной работы приобретает особое значение в отличие от указанных аналогов. А именно, естественно предположить, что решение практических задач с применением рассматриваемых в данной работе специальных сумм, связанных с рядами по многочленам Чебышева. обеспечит более быструю сходимость, чем, например с применением подобных сумм, связанных со степенным рядом [2] рядом по многочленам Эрмита [3] . Кроме того, здесь впервые рассматривается обобщение универсального ряда для многочленов с плотностью единица. Понятие универсального функционального ряда связано с понятием приближения функций частичными суммами соответствующего ряда. В работах[2]-[19] исследовано свойство универсальности некоторых функциональных рядов. В работах [2]-[4], [18] рассмотрено обобщение этого свойства. В данной работе получено обобщение свойства универсальности ряда по многочленам Чебышева.

В данной статье дается доказательство "гипотезы о центроидах", выдвинутой в работе
"Экспериментальное обоснование гипотез в GeoGebra" и опубликованной в текущем номере
"Чебышевского сборника". Формулируется эта гипотеза так: "Пусть в невырожденном
треугольнике из каждой вершины проведены медианы. Тогда исходный треугольник разбивается на шесть треугольников без общих внутренних точек так, что их центроиды лежат на одном эллипсе". Доказательство гипотезы проводится с опорой на символьные вычисления, реализованные в пяти пакетах компьютерной математики GeoGebra, Mathcad Prime,Maxima, Maple и Mathematica [2-8]. Использование различных систем символьных вычислений для решения одной задачи позволяет получить наглядный материал для сравнительной оценки возможностей этих системF В завершающей части статьи предлагается к рассмотрению другое утверждение - "гипотеза о центрах описанных окружностей". Формулируется она так: "Пусть три чевианы пересекаются внутри остроугольного треугольника в центре описанной окружности. Тогда исходный треугольник разбивается на шесть треугольников без общих внутренних точек так, что центры их описанных окружностей лежат на одном эллипсе". Данная гипотеза была выдвинута и получила экспериментальное подтверждение с помощью динамической модели, построенной в GeoGebra.

В данной статье предлагается несколько гипотез, связанных с чевианами треугольника и коническими сечениями, проходящими через основания этих чевиан или через иные точки. Для формулирования этих гипотез и их экспериментальной проверки были использованы возможности динамической математической среды GeoGebra. Проверка каждой из выдвинутых гипотез ௐ1 − ఐ9 осуществлялась на специально построенной для нее динамической модели. Во всех случаях удалось экспериментально обосновать справедливость предлагаемых гипотез. Поиском математических доказательств этих гипотез мы не занимались и здесь есть над чем подумать читателю. Приведем формулировки трех из девяти выдвинутых гипотез. Гипотеза ᇰ3. В произвольном невырожденном остроугольном треугольнике основания трех высот и трех медиан, проведенных из разных вершин, лежат
на одной окружности. Гипотеза ᅰ6F Пусть в невырожденном треугольнике из каждой
вершины проведены медианы. Тогда исходный треугольник разбивается на шесть треугольников без общих внутренних точек так, что их центроиды лежат на одном эллипсе.
Гипотеза Ꭰ9. Пусть первая точка Ферма находится внутри произвольного невырожденного треугольника и через нее из каждой вершины проведены чевианы. Тогда исходный
треугольник разбивается на шесть треугольников без общих внутренних точек так, что их
вторые точки Наполеона лежат на одной гиперболе

В данной работе рассматриваются вопросы о возможности построения инвариантных
нетривиальных псевдохарактеров на свободных группах. Доказано существовании нетривиальных псевдохарактеров на определенном типе HNN-расширений, относящихся к сложным случаям. Для таких HNN-расширений, обладающих определенными копредставлениями, получены утверждения о ширине коммутантных вербальных подгрупп и нетривиальности второй группы ограниченных когомологий. Таким образом, дается частичный ответ на вопросы, сформулированные Р.И. Григорчуком. Для произвольной группе G псевдохарактером ϕ на G назывется вещественная функция, для которой |ϕ(ab) − ϕ(a) − ϕ(b)| ≤ ε для любых a,b ∈ G и некоторого ε > 0 и ϕ(xn) = nϕ(x) для любых x ∈ G,n ∈ ZF Псевдохарактер назывется нетривиальным, если существуют a, b ∈ G, такие, что ϕ(ab) Ḙ= ϕ(a) + ϕ(b). Существование на группе нетривиальных псевдохарактеров связано со многими важными характеристиками групп. Понятия псевдохарактеров было введено А.И. Штерном. Условия, достаточные для существования нетривиальных псевдохарактеров на свободных произведениях с объединением и HNN-расширениях, в которых базовая группа отлична от связанных подгрупп, были получены Р.И. Григорчуком и В.Г. Бардаковым. Нетривиальные псевдохарактеры существуют на группах с одним определяющим соотношением и по крайней мере тремя образующими. Открытыми остаются вопросы об условиях существования нетривиальных псевдохарактеров для групп с одним определяющим соотношением и двумя образующими для HNN-расширений, в которых одна из связанных подгрупп совпадает с базовой группой. Эти вопросы во многих случаях сводятся к построению нетривиальных псевдохарактеров на свободных группах, инвариантных относительно специальных типов эндоморфизмов. В статье доказывается существование нетривиальных псевдохарактеров на свободных группах ранга n > 1, инвариантных относительно одного из таких типов эндоморфизмов. Доказано существование нетривиальных псевдохарактеров на некоторых нисходящих HNN-расширениях.

В курсе анализа хорошо изучены свойства числовых рядов n+=∞1 an, которые на бесконечности имеют асимптотический рост по степеням n. Соответствующие признаки сходимости были заложены еще в работах Гаусса. В работе изучается необходимые и достаточные условия на положительную (а также знакочередующуюся) последовательность чисел {an}n+=∞1D имеющую скорость убывания (роста) в логарифмической шкале для сходимости ряда n+=∞1 an. Приводятся примеры на использования полученных критериев сходимости, как в случае знакопостоянного ряда, так и в случае знакопеременного рада. Важность логарифмической шкалы обусловлена тем, что она встречается в различных разделах анализа и, в частности, в задаче о нахождении спектра оператора Штурма-Лиуввиля на полуоси для быстрорастущих потенциалах. В логарифмической шкале возникают и соответствующие вопросы о нахождение регуляризованных сумм для специальных потенциалов оператора Штурма-Лиуввиля на полуоси.

В статье рассматриваются вопросы, относящиеся к структурной теории алгебр Ли. Построение структурной теории алгебраических систем предполагает наличие определенных конструкций специального вида, изучение которых представляется более простым по сравнению с изучением самой системы. Важнейшим инструментом исследования алгебраических систем является радикал. Развитие структурной теории алгебр Ли привело к появлению различных радикалов. В многочисленных публикациях рассматриваются такие радикалы алгебр Ли, как разрешимый радикал Киллинга, слабо разрешимый радикал Парфенова, радикал Джекобсона, первичный радикал. Одним из актуальных направлений исследований является изучение свойств радикалов бесконечномерных алгебр Ли. Статья посвящена доказательству свойств первичного радикала алгебры Ли, на которую накладывается дополнительное условие " слабоартиновость. Слабоартиновой называется алгебра Ли, удовлетворяющая условию обрыва убывающих цепей идеала. В первом разделе работы вводится понятие первичного радикала следующим образом. Алгебра Ли L называется первичной, если для любых двух ее идеалов U и V из [U, V ] = 0 следует, что U = 0 или V = 0. Идеал P алгебры Ли L является первичным, если фактор-алгебра L/P " первична. Первичным радикалом P(L) алгебры Ли L называется пересечение всех ее первичных идеалов. Во втором разделе работы показано, что любое конечное множество элементов первичного радикала слабоартиновой алгебры Ли порождает в ней нильпотентную подалгебру, что означает локальную нильпотентность первичного радикала. Третий раздел посвящен свойству разрешимости первичного радикала слабоартиновой алгебры Ли. Доказательству свойства предшествует история решения проблемы А.В. Михалева о разрешимости первичного радикала алгебр Ли, удовлетворяющих дополнительным условиям.

В работе приведен обзор недавних результатов о многообразиях алгебр Лейбница-Пуассона, которые являются обобщениями алгебр Пуассона. Показано, что рост любого многообразия алгебр Лейбница-Пуассона над произвольным полем либо ограничен полиномом, либо не ниже экспоненциального с показателем P. Показана конечная базируемость многообразий алгебр Лейбница-Пуассона полиномиального роста в случае основного поля нулевой характеристики. Приводится многообразие алгебр Лейбница-Пуассона почти полиномиального роста. В случае основного поля нулевой характеристики приводятся эквивалентные условия полиномиальности роста для многообразий алгебр Лейбница-Пуассона. Показаны все многообразия алгебр Лейбница-Пуассона почти полиномиального роста в одном классе многообразий. Исследуются многообразия алгебр Лейбница-Пуассона, идеалы тождеств которых содержат тождество {x, y} · {z, t} = 0, исследуется взаимосвязь таких многообразий с многообразиями алгебр Лейбница. Показано, что из любой алгебры Лейбница можно построить алгебру Лейбница-Пуассона с похожими свойствами исходной алгебры. Показано, что если идеал тождеств многообразия алгебр Лейбница-Пуассона V не содержит ни одного тождества из свободной алгебры Лейбница, то рост многообразия V является сверхэкспоненциальным. Приводится многообразие алгебр Лейбница-Пуассона почти экспоненциального роста. Пусть {γn(V)}n≥1 " последовательность собственных коразмерностей многообразия алгебр Лейбница-Пуассона V. Приводится класс минимальных многообразий алгебр Лейбница-Пуассона полиномиального роста последовательности {γn(V)}n≥1, т.е. последовательность {γn(V)}n≥1 любого такого многообразия V растет как полином некоторой степени k, но последовательность {γn(W)}n≥1 любого собственного подмногообразия W многообразия V растет как полином строго меньшей степени, чем k.

Данная работа посвящена восьмидесятипятилетию основателя Тульской алгебраической школы по алгоритмическим проблемам теории групп и полугрупп, доктора физико-математических наук, профессора Мартина Давидовича Гриндлингера. В ней приводятся биографические данные, краткий обзор его научной, педагогической, организаторской и издательской деятельности.