Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

О ПОКАЗАТЕЛЯХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ ВИДА √ d ln √ √d+1 d−1

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-1-29-43

Полный текст:

Аннотация

В данной работе рассмотрено обобщение некоторых методов, позволяющих получать оценки меры иррациональности чисел вида γd =√d ln√√d+1d−1при d = 2k,d = 4k + 1,k ∈ N, и приведен обзор известных на данный момент результатов. Мера иррациональности различных значений гипергеометрической функции Гаусса, в частности 2F 1,12,32;1d=√d ln√d + 1√d − 1, оценивалась неоднократно. Первые подобные оценки для отдельных значений были получены в работах Д. Рина [1], М.Хуттнера [2], А.К. Дубицкаса [3]. Позднее К. Ваананеном, А. Хеймоненом и Т. Матала-Ахо в [4] был предложен общий метод, позволяющий строить оценки показателя иррациональности значений гипергеометрической функции F1,1k,1 +1k;rs,k ∈ N,k 2, r s∈ Q, (r, s) = 1, rs∈ (−1, 1). Данный метод использовал полиномы Якоби для построения рациональных приближений функции Гаусса. В работе [4] было получено много конкретных результатов. Некоторые из них не улучшены до сих пор, но для отдельных классов значений гипергеометрической функции в дальнейшем были разработаны специализированные методы, позволившие уменьшить оценки. Так в трудах [5], [6] авторами, работавшими под руководством В.Х. Салихова. были усилены результаты о показателях иррациональности некоторых значений вида γd. В основе доказательств лежало использование симметризованных интегралов. Следует отметить, что вещественные или комплексные симметризованные интегралы в последнее время широко применяются для оценки показателей иррациональности. С помощью таких интегралов были получены новые оценки для ln 2 (см [7]),ln 3D ln π (см [8], [9]) и других чисел. Проведем исследование и сравнение некоторых из таких симметризованных конструкций, позволивших ранее улучшить оценки мер иррациональности для конкретных значений γd.

Об авторах

М. Г. Башмакова
Брянский государственный технический университет
Россия

кандидат физикоEматематических наук, доцент кафедры Высшая математика 



Е. С. Золотухина
Брянский государственный технический университет
Россия

кандидат физикоEматематических наук, доцент кафедры Высшая математика 



Список литературы

1. Rhin G. Approximants de Pad e et mesures effectives d'irrationalit e // Progr. in Math. 1987. Vol. 71. P. 155-164.

2. Huttner M. Irrationalit e de certaines int egrales hyperg eom etriques // J. Number Theory. 1987. Vol. 26. P. 166-178.

3. Дубицкас А. К. Приближения логарифмов некоторых чисел // Диофантовы приближения, ч. 2/ Под ред. А. Б. Шидловского. М. : Изд-во Московского университета, 1986. С. 23-34.

4. Heimonen A., Matala-aho T., Vaananen K. An application of Jacobi type polynomials to irrationality measures // Bull. Austral. Math. Soc. 1994. Vol. 50, № 2. P. 225-243.

5. Башмакова М. Г. О приближении значений гипергеометрической функции Гаусса рациональными дробями // Математические заметки. 2010. Т. 88, №6. С. 822-835.

6. Сальникова Е. С. О мерах иррациональности некоторых значений функции Гаусса // Чебышевский сборник. 2007. Том 8, № 2. С. 88-96.

7. Marcovecchio R. The Rhin-Viola method for $ln 2$ // Acta Aritm. 2009. Vol. 139. 2. P. 147-184.

8. Салихов В. Х. О мере иррациональности $ln3$ // Доклады Академии наук. 2007. Том 417, № 6. С. 753-755.

9. Салихов В. Х. О мере иррациональности числа $pi$ // Успехи математических наук. 2008. Том 63, № 3. С. 163-164.

10. Hata M. Irrationality measures of the values of hypergeometric functions // Acta Arith. 1992. Vol. LX. P. 335-347.

11. Башмакова М. Г. Оценка мер иррациональности логарифма "золотого сечения" // Чебышевский сборник. 2010. Т. 11, №1. С. 47-53.

12. Polyanskii A. On the irrationality measure of certain numbers // Comb. and Number Theory. 2011. Vol. 1, № 4. P. 80-90.

13. Полянский A. А. О показателях иррациональности некоторых чисел. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова. 2013. 138 с.

14. Hata M. Legendre type polynomials and irrationality measures //J. Reine Angew. Math. 1990. Vol. 407, № 1. P. 99-125.

15. Viola C., Zudilin W. Hypergeometric transformations of linear forms in one logarithm // Funct. Approx. Comment. Math. 2008. Vol. 39, № 2. P. 211-222.

16. Золотухина Е. С. Диофантовы приближения некоторых логарифмов. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Брянский государственный технический университет. 2009. 100 с.

17. Heimonen A., Matala-aho T., V a an anen K. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function // Manuscripta Math. 1993. Vol. 81. P. 183-202.


Для цитирования:


Башмакова М.Г., Золотухина Е.С. О ПОКАЗАТЕЛЯХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ ВИДА √ d ln √ √d+1 d−1. Чебышевский сборник. 2017;18(1):29-43. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-1-29-43

For citation:


Bashmakova M.G., Zolotukhina E.S. ON IRRATIONALITY MEASURE OF THE NUMBERS √ d ln √ √d+1 d−1. Chebyshevskii Sbornik. 2017;18(1):29-43. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-1-29-43

Просмотров: 129


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)