О ПОКАЗАТЕЛЯХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ ВИДА √ d ln √ √d+1 d−1

Аннотация

В данной работе рассмотрено обобщение некоторых методов, позволяющих получать оценки меры иррациональности чисел вида γd =√d ln√√d+1d−1при d = 2k,d = 4k + 1,k ∈ N, и приведен обзор известных на данный момент результатов. Мера иррациональности различных значений гипергеометрической функции Гаусса, в частности 2F 1,12,32;1d=√d ln√d + 1√d − 1, оценивалась неоднократно. Первые подобные оценки для отдельных значений были получены в работах Д. Рина [1], М.Хуттнера [2], А.К. Дубицкаса [3]. Позднее К. Ваананеном, А. Хеймоненом и Т. Матала-Ахо в [4] был предложен общий метод, позволяющий строить оценки показателя иррациональности значений гипергеометрической функции F1,1k,1 +1k;rs,k ∈ N,k 2, r s∈ Q, (r, s) = 1, rs∈ (−1, 1). Данный метод использовал полиномы Якоби для построения рациональных приближений функции Гаусса. В работе [4] было получено много конкретных результатов. Некоторые из них не улучшены до сих пор, но для отдельных классов значений гипергеометрической функции в дальнейшем были разработаны специализированные методы, позволившие уменьшить оценки. Так в трудах [5], [6] авторами, работавшими под руководством В.Х. Салихова. были усилены результаты о показателях иррациональности некоторых значений вида γd. В основе доказательств лежало использование симметризованных интегралов. Следует отметить, что вещественные или комплексные симметризованные интегралы в последнее время широко применяются для оценки показателей иррациональности. С помощью таких интегралов были получены новые оценки для ln 2 (см [7]),ln 3D ln π (см [8], [9]) и других чисел. Проведем исследование и сравнение некоторых из таких симметризованных конструкций, позволивших ранее улучшить оценки мер иррациональности для конкретных значений γd.