Решёткой квазипорядков универсальной алгебры 𝐴 называется решётка тех квазипорядков на множестве 𝐴, которые согласуются с операциями алгебры, реншётка топологий алгебры – это решётка тех топологий, относительно которых операции алгебры непрерывны. Решётка квазипорядков и решётка топологий алгебры 𝐴, наряду с решёткой подалгебр
и решёткой конгруэнций, являются важными характеристиками этой алгебры. Известно, что решётка квазипорядков изоморфно вкладывается в решётку, антиизоморфную решётке топологий, а в случае конечной алгебры это вложение является антиизоморфизмом.
Цепь 𝑋𝑛 из 𝑛 элементов рассматривается как решётка с операциями 𝑥 ∧ 𝑦 = min(𝑥, 𝑦) и 𝑥 ∨ 𝑦 = max(𝑥, 𝑦). В работе доказано, что решётка квазипорядков и решётка топологий цепи 𝑋𝑛 изоморфны булеану из 22𝑛−2 элементов. Найдено простое соответствие между квазипорядками цепи 𝑋𝑛 и словами длины 𝑛−1 в 4-буквенном алфавите. Найдены атомы
решётки топологий. Из результатов о квазипорядках выводится известное утверждение о том, что решётка конгруэнций цепи из 𝑛 элементов является булеаном из 2𝑛−1 элементов.
Результаты перестанут быть верными, если цепь рассматривать лишь относительно одной и операций ∧,∨.

В статье рассматривается построение обобщённого полиномиального оператора, необходимого для нахождения приближённого решения уравнений с дробным порядком интегрирования. Интегральные уравнения дробного порядка используются в ряде задач, связанных с исследованием процессов, которые ведут себя скачкообразно, например, для задач диффузии, экономических задач, связанных с теорией устойчивого развития и других подобных задач. В настоящее время возрос интерес к подобным уравнениям, о чем говорят публикации последних лет, в которых исследуются процессы, описываемые с помощью таких уравнений. В связи с этим становится актуальным изучение методов решения подобных задач. Так как эти уравнения точно не решаются, возникает необходимость в
разработке и применении приближённых методов их решения. В статье получен вид полиномиального оператора для некоторых непрерывных на (0, 2𝜋) функций, выраженный через интерполяционный полином Лагранжа по равноотстающим узлам. Также установлена связь обобщённого интерполяционного оператора с оператором Фурье, получена величина
близости этих операторов. Для интерполяционного полиномиального оператора найдена оценка погрешности приближения точного значения по метрике пространства непрерывных на (0, 2𝜋) функций. Данная работа является продолжением исследований авторов.

Рассматривается игра с природой при известных вероятностях состояний. Предлагается принцип оптимальности для принятия решений для игр с природой, основанный на оценках эффективности и риска. В отличие от традиционного подхода к определению смешанной стратегии в теории игр, в данной работе рассматривается возможность корреляционной зависимости случайных значений выигрышей для начальных альтернатив.
Предлагаются два варианта реализации двухкритериального подхода к определению прин-
ципа оптимальности. Первый вариант — минимизировать дисперсию как оценку риска с
более низким порогом математического ожидания выигрыша. Второй вариант — максимизировать математическое ожидание выигрыша с верхним порогом дисперсии. Получены аналитические решения обеих задач. Рассмотрено применение полученных результатов на примере процесса инвестирования на фондовом рынке. Инвестор, как правило, формирует портфель не сразу, а в виде последовательного процесса приобретения того или иного финансового актива. В этом случае смешанная стратегия может быть реализована в ее имманентном смысле, т.е. покупки осуществляются случайным образом с распределением, определяемым ранее найденным оптимальным решением. Если этот процесс достаточно длительный, то структура портфеля будет примерно соответствовать типу смешанной стратегии. Такой подход использования игры с природой с учетом корреляционной зависимости случайного выигрыша чистых стратегий может быть применен и к задачам
принятия решений в других областях управления рисками.

В гармоническом анализе на прямой со степенным весом сначала появилось унитарное преобразование Данкля, зависящее от одного параметра 𝑘 ⩾ 0, а затем двупараметрическое (𝑘, 𝑎)-обобщенное преобразование Фурье, частным случаем которого является преобразование Данкля (𝑎 = 2). Наличие параметра 𝑎 > 0 при 𝑎 ̸= 2 приводит к появлению
деформационных свойств, например, для функций из пространства Шварца обобщенное преобразование Фурье может не быть бесконечно дифференцируемым или быстро убывающим на бесконечности. В случае последовательности 𝑎=2/(2𝑟+ 1), 𝑟 ∈ Z+, деформационные свойства обобщенного преобразования Фурье весьма слабые и после некоторой замены переменных они исчезают. Получаемое унитарное преобразование при 𝑟 = 0 дает обычное преобразование Данкля и обладает многими его свойствами. Оно названо обобщенным преобразованием Данкля. В работе определен оператор сплетения, устанавливающий связь дифференциально-разностного оператора второго порядка, для которого ядро обобщенного преобразования Данкля является собственной функцией, с одномерным оператором Лапласа и позволяющий записать ядро в удобном для его оценок виде. В отличие от оператора сплетения для преобразования Данкля он имеет ненулевое ядро. В работе также на основе свойств обобщенного преобразования Данкля устанавливаются свойства
(𝑘, 𝑎)-обобщенного преобразования Фурье при 𝑎=2/(2𝑟 + 1).

В статье рассматриваются комбинаторные сложностные характеристики бесконечных слов, а именно комбинаторная сложность и ее модификации. Прежде всего, представлен обзор имеющихся результатов для класса слов с наименьшей комбинаторной сложностью
- слов Штурма. Особое внимание уделено арифметической сложности бесконечных слов,
начало изучение которой положила Теорема Ван дер Вардена об одноцветных арифметических прогрессиях. Арифметическая сложность является в некотором смысле модификацией комбинаторной сложности. Представлен обзор текущих результатов и точных значений арифметической сложности для слов Штурма. В статье представлена полиномиальная Теорема Ван дер Вардена, дающая начало изучению более обобщенной модификации функции комбинаторной сложности - полиномиальной сложности бесконечных слов.
В завершение, мы представляем ряд открытых проблем для дальнейшего исследования.

Для ℎ, 𝑛 ≥ 1 и 𝑒 > 0 рассматривается хроматическое число пространств вида R^𝑛×[0, 𝑒]^ℎ.
Представлен обзор имеющихся результатов, рассмотрена задача о хроматическом числе
нормированных пространств с запрещенными одноцветными арифметическими прогрес-
сиями. Показано, что для любого 𝑛 существует двуцветная раскраска пространства R^𝑛,
при которой достаточно длинная арифметическая прогрессия содержит точки обоих цветов, и такая раскраска применима к пространствам вида R^𝑛 × [0, 𝑒]^ℎ.

В конусе пространства непрерывных функций методом весовых метрик (аналог метода Белецкого) доказывается глобальная теорема о существовании, единственности и способе нахождения нетривиального решения начальной задачи для однородного интегродифференциального уравнения 𝑛-го порядка с разностным ядром и степенной нелинейностью. Показано, что это решение может быть найдено методом последовательных приближений пикаровского типа и дана оценка скорости их сходимости к решению в терминах весовой метрики. Исследование основано на сведении начальной задачи к эквивалентному нелинейному интегральному уравнению Вольтерра. Получены точная нижняя и верхняя априорные оценки решения, на основе которых построено полное весовое метрическое пространство, инвариантное относительно нелинейного оператора, порожденного этим интегральным уравнением Вольтерра. В отличие от линейного случая, установлено, что нелинейное однородное интегральное уравнение Вольтерра помимо тривиального решения может иметь еще и нетривиальное решение. Анализ полученных результатов показывает, что с ростом порядка интегро-дифференциального уравнения со степенной нелинейностью показатель степени уменьшается. Приведены примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

Были выделены классы моноидов, для которых выполняется условие обобщенной леммы Сельберга, для которых выполнено сильное условие Сельберга–Бредихина, для которых выполнен усиленный асимптотический закон в форме Бредихина. Для этих классов моноидов получены новые результаты об аналитическом продолжении в лево от абсциссы абсолютной сходимости. Получен аналог основной леммы С. М. Воронина из работы об
универсальности дзета-функции Римана на случай дзета-функций моноида, для которого выполнено условие обобщенной леммы Сельберга либо более сильное условие Сельберга–Бредихина.
Для класса регулярных моноидов Сельберга — Бредихина натуральных чисел удалось доказать теорему универсальности дзета-функции соответствующего моноида.

В настоящей работе методом, принадлежащим Ф. Бока, К. Кобели и А. Захареску (2001) исследуются некоторые арифметические свойства дробей Фарея. Пусть 𝐷 ⩾ 2 - фиксированное целое число, Φ𝑄 - классический ряд Фарея порядка 𝑄. Раскрасим в красный цвет те дроби ряда Φ𝑄, знаменатели которых кратны 𝐷. Далее, выберем из промежутков с раскрашенными концами те, что содержат внутри себя лишь дроби, знаменатели которых не делятся на 𝐷. Каковы предельные (при 𝑄 → +∞) доли 𝜈(𝑟;𝐷) таких промежутков, заключающих внутри ровно 𝑟 дробей ряда Φ𝑄, в общем числе рассматриваемых промежутков (𝑟 = 1, 2, 3, . . .)?
Формула для этой доли была найдена, по сути, К. Кобели, М. Выжийту и А. Захареску (2014), поскольку могла быть выведена как следствие полученного ими общего результата.
Однако формула трёх авторов выражает искомую долю через сумму площадей фигур, связанных с некоторым геометрическим преобразованием треугольника Фарея - подобласти единичного квадрата вида 𝑥+𝑦 > 1, 0 < 𝑥, 𝑦 ⩽ 1. В настоящей работе даётся вывод явной формулы, выражающей доли 𝜈(𝑟;𝐷) в случаях 𝐷 = 2, 3 через величину 𝑟, 𝑟 = 1, 2, 3, . . ..

В настоящей работе даются необходимые и достаточные условия, при которых функция от фиксированных переменных 𝜓: F^(𝑖+1)_𝑞 → F_𝑞 является биективной, где 𝑖 ∈ N ∪ {0}, F^(𝑖+1)_𝑞 —
(𝑖 + 1)-я декартова степень поля Галуа F𝑞 из 𝑞 = 𝑝^𝑘 элементов, 𝑝 — нечетное простое число, и 𝑘 ∈ N. Кроме того, используются такие условия биективных функций 𝜓 от фиксированных переменных, чтобы написать критерий, сохраняющих меру Хаара из важного класса 1-липшицевых функций в терминах их координатных функций на кольце целых 𝑝-адических чисел Z𝑝,     𝑝 ̸= 2. В частности, представление 1-липшицевых функций
в терминах их координатных функций на кольце целых 2-адических чисел Z_2 оказалось общим и полезным инструментом для получения математических результатов, прикладываемых в криптографии. В этой работе продолжается исследование такого представления 1-липшицевых функций на кольце целых 𝑝-адических Z_𝑝 при 𝑝 ̸= 2 с особым вниманием к представлению биективных 1-липшицевых функций в терминах их координатных
функций на Z_𝑝, 𝑝 ̸= 2.

В работе рассмотрено множество всевозможных рядов Дирихле, порожденных заданной решёткой, и изучены свойства этого функционального пространства над полем комплексных чисел.
Введено новое понятие 𝐶 𝜃-степенная плотность ряда Дирихле. Установлена связь между 𝐶 𝜃-степенной плотностью ряда Дирихле и абсциссой его абсолютной сходимости.
Установлено, что если ряд Дирихле 𝑓(𝛼|Λ) удовлетворяет условию обобщенной леммы Сельберга с 𝜃1 < 𝜃, то ряд Дирихле 𝑓(𝛼|Λ) аналитически продолжается в полуплоскость с 𝜎 > 𝜃1, кроме точки 𝛼 = 𝜃, в которой у неё полюс первого порядка с вычетом 𝐶𝜃.
Введено новое понятие 𝐶 логарифмическая 𝜃-степенная плотность ряда Дирихле.
Установлено, что если ряд Дирихле 𝑓(𝛼|Λ) имеет 𝐶 логарифмическую 𝜃-степенную плотность и 𝜃 < 1, то для абсциссы абсолютной сходимости справедливо равенство 𝜎𝑓 = 0 и ряд Дирихле 𝑓(𝛼|Λ) — голоморфная функция во всей правой 𝛼-полуплоскости с 𝜎 > 0.
Показано, что если ряд Дирихле 𝑓(𝛼|Λ) имеет 𝐶 логарифмическую 𝜃-степенную плотность и 𝜃 < 1, то областью голоморфности дзета-функции 𝜁(𝑀|𝛼) является 𝛼-полуплоскость 𝜎 > 0.

На основе предлагаемого в статье способа решения так называемых (𝑟, 𝑠)-систем линейных уравнений доказано, что порядки однородных инвариантных дифференциальных операторов 𝑛 гладких вещественных функций одной переменной принимают значения от 𝑛 до (𝑛(𝑛+1))/2, а размерность пространства всех таких операторов не превосходит 𝑛!. Получена классификация инвариантных дифференциальных операторов порядка 𝑛 + 𝑠 для 𝑠 = 1, 2, 3, 4, а при 𝑛 = 4 для всех порядков от 4 до 10. Единственные с точностью до множителей однородные инвариантные дифференциальные операторы самого маленького
порядка 𝑛 и самого большого порядка (𝑛(𝑛+1))/2 предоставлены, соответственно, произведением 𝑛 первых дифференциалов (𝑠 = 0) и вронскианом (𝑠 = (𝑛 − 1)𝑛/2). Доказано существование ненулевых однородных инвариантных дифференциальных операторов порядка 𝑛 + 𝑠 для 𝑠 < ((1+√5)/2)*(𝑛 − 1).

В статье развивается теория матричных интегральных преобразований Фурье на основе дифференциального оператора с кусочно-постоянными матричными коэффициентами.
Дается определение матричного преобразования Фурье, изучаются его свойства и приложения к моделированию взаимосвязанных волновых процессов в кусочно однородных средах. Доказана формула обращения для матричного интегрального преобразования Фурье.
Выявлены существенные отличия от скалярного случая. Развита техника применения матричного преобразования Фурье для решения взаимосвязанных смешанных краевых задач для систем дифференциальных уравнений гиперболического типа с матричными кусочно-постоянными коэффициентами. Найдено решение векторного аналога задачи о распространении волн в бесконечной струне с двумя участками различной плотности. Найден векторный аналог формулы Даламбера. Получено решение смешанной начально-краевой задачи для системы дифференциальных уравнений параболического типа, описывающей 𝑛− компонентную модель взаимосвязанного процесса тепломассопереноса в двухслойной среде.

Работа посвящена некоторым арифметическим применениям к теории симметрических групп. С помощью свойств сравнений и классов вычетов из теории чисел установлено существование в симметрической группе 𝑆_𝑛 степени 𝑛 циклических, абелевых и неабелевых подгрупп соответственно порядков 𝑘, 𝜙(𝑘) и 𝑘𝜙(𝑘), где 𝑘 ≤ 𝑛, 𝜙 – функция Эйлера, т.е. получены представления групп (Z/𝑘Z, +), (Z/𝑘Z)* и их произведения через подстановки степени 𝑘. При этом изоморфные вложения этих групп строятся, следуя доказательству теоремы Кэли, но наряду с этим используется понятие линейного перестановочного двучлена 𝑎𝑥 + 𝑏 кольца вычетов Z/𝑘Z, где НОД(𝑎, 𝑘) = 1.
Кроме того, результат, относящийся к изоморфному вложению группы (Z/𝑘Z)* в группу 𝑆_𝑘 распространяется на знакопеременную группу 𝐴_𝑘 при нечётных 𝑘.
Во второй части работы рассматриваются некоторые применения теории простых чисел к циклическим подгруппам симметрической группы 𝑆_𝑛. В частности, применяя формулу
суммирования Эйлера-Маклорена и оценки для 𝑘-го простого числа, получена нижняя оценка для максимального числа простых делителей порядков циклических подгрупп в симметрической группе 𝑆_𝑛.

Получена асимптотическая формула для количества представлений достаточно большого натурального 𝑁 в виде 𝑏_1 𝑝_1 + 𝑏_2 𝑝_2 + 𝑏_3 𝑝_3 = 𝑁 с условиями

$$ |𝑏_𝑖 𝑝_𝑖 - N/3|⩽ 𝐻, 𝐻 ⩾ (𝑏_1*𝑏_2*𝑏_3)^(4/3)𝑁^2/3)(ln𝑁)&60, 𝑏_𝑖 ⩽ (ln𝑁)^(𝐵_𝑖), $$

где 𝑏_1, 𝑏_2 𝑏_3, 𝑁 – попарно взаимно простые натуральные числа, 𝐵𝑖 — произвольные фиксированные положительные числа.

В предыдущей работе авторов заложены основы теории гладких многообразий теоретико-числовых решёток. Рассмотрен простейший случай одномерных решёток.
В данной статье рассмотрен общий случай многомерных решёток.
Отметим, что геометрия метрического пространств многомерных решёток гораздо сложнее чем геометрия обычного евклидова пространства. Это видно из парадокса неаддитивности длины отрезка в пространстве сдвинутых одномерных решёток. Из наличия этого парадокса следует, что стоит открытой проблема описания геодезических линий в пространствах многомерных решёток, а так же в нахождении формулы для длины дуг
линий в этих пространствах. Естественно, что было бы интересно не только описание этих объектов, но и получения теоретико-числовой интерпретации этих понятий.
Дальнейшем направлением исследованием может быть изучение аналитического продолжения гиперболической дзета-функции на пространствах многомерных решёток. Как известно, аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решёток построено для произвольной декартовой решётки. Не изучен даже вопрос о непрерывности этих аналитических продолжений в левой полуплоскости на пространстве решёток. Всё это, на наш взгляд, актуальные направления дальнейших исследований.

В теории гиперболической дзета-функции решёток значительную роль играет теорема Бахвалова, в которой величина дзета-функции решётки решений линейного сравнения оценивается через гиперболический параметр решётки.
В монографии Н. М. Коробова 1963 года эта теорема доказывается методом, отличным от первоначальной работы Н. С. Бахвалова. В этом методе центральную роль играет лемма о количестве решений линейного сравнения в прямоугольной области.
В 2002 году В. А. Быковский получил принципиально новые оценки снизу и сверху, которые совпадали по порядку.
В работе даются новые оценки количества точек решетки решений линейного сравнения в прямоугольных областях. Это позволяет доказать усиленную теорему Бахвалова—Коробова—Быковского об оценки гиперболической дзета-функции решётки решений линейного сравнения.
Отличия теоремы о количестве точек решетки решений линейного сравнения в прямоугольных областях от соответствующей леммы Коробова состоит в том, что вместо оценки через отношение объёма прямоугольной области к гиперболическому параметру даётся модифицированная оценка Быковского через минимальные решения линейного сравнения.
Использование теоремы о количестве точек решетки решений линейного сравнения впрямоугольных областях дополняется обобщённой леммой Коробова об оценки остаточного ряда и рядом других модификаций в доказательстве теоремы Бахвалова—Коробова, что и позволило доказать усиленную теорему Бахвалова—Коробова—Быковского об оценки гиперболической дзета-функции решётки решений линейного сравнения.

В 2023 году исполнилось 100 лет со дня рождения известного отечественного ученого Фёдора Андреевича Медведева (1923–1993), внёсшего неоценимый вклад в развитие мировой истории математики. На протяжении многих десятилетий он был одним из ведущих научных сотрудников Института истории, естествознания и техники (ИИЕТ) Российской Академии наук. Его перу принадлежат пять монографий, каждая из которых явилась новаторской для историко-математической литературы, как по объёму и глубине, так и по значимости охватываемого материала. Его научные работы получили высокую оценку за рубежом, в течение нескольких лет он входил в редколлегию международного журнала «Historia Mathematica». Написанные им труды по истории математики не потеряли актуальности и в настоящее время. Предлагается реконструкция научного пути Ф.А. Медведева, дается характеристика его фундаментальных работ и раскрывается их роль в развитии истории математики в России.

В данной статье дан краткий обзор наиболее крупных направлений исследований научной школы по прикладному вероятностному анализу и теории массового обслуживания,
сформировавшейся в течение последних 50 лет на кафедре теории вероятностей и математической статистики Национального исследовательского Томского государственного
университета. Кратко изложена предыстория формирования кафедры и научных интересов ее сотрудников. Среди основных направлений проводимых исследований такие, как: управление и адаптация в системах массового обслуживания; исследование систем массового обслуживания с переменными параметрами; исследование трендов временных рядов; исследование дважды стохастических потоков однородных событий; идентификация моделей и сглаживание сплайнами экспериментальных данных; поиск движущегося сигнала в многоканальной системе; исследование математических моделей сетей связи с протокола-
ми случайного множественного доступа; разработка методов асимптотического анализа, предельной декомпозиции, динамического просеивания; развитие методов исследования
немарковских систем и сетей массового обслуживания с непуассоновскими входящими потоками; разработка методов исследования систем массового обслуживания со случайным
объемом требований к ресурсам; разработка новых математических моделей процессов передачи данных в транспортном соединении телекоммуникационных сетей и их анализ с целью оптимизации их надежности и быстродействия. Для каждого направления исследований в статье приведены имена научных сотрудников, внесших существенный вклад
в развитие соответствующего направления и получивших наиболее значимые результаты.
На публикации некоторых из них и наиболее фундаментальные работы приведены ссылки в списке литературы. В статье приводятся основные темы исследований, ведущихся в
настоящий момент, упоминается о ежегодной международной конференции, проводимой и основанной представителями научной школы по прикладной теории массового обслуживания, и носящей имя ее основателя Александра Федоровича Терпугова.

В статье рассматриваются две задачи о приближении заданного положительного числа 𝑁 суммой двух простых чисел, а также суммой простого числа и двух квадратов простых чисел.
В 2001 г. Р. Бейкер, Г. Харман и Дж. Пинтц доказали для числа решений неравенства |𝑝 − 𝑁| ⩽ 𝐻 в простых числах 𝑝 правильную по порядку оценку снизу при 𝐻 ⩾ 𝑁^(21/40+𝜀), где 𝜀 — произвольно малое положительное число. С использованием этого результата и
плотностной техники в настоящей работе доказана оценка снизу для числа решений неравенства |𝑝1 + 𝑝2 − 𝑁| ⩽ 𝐻 в простых числах 𝑝1, 𝑝2 при 𝐻 ⩾ 𝑁^(7/80+𝜀).
Кроме того, на основе плотностной техники доказана также оценка снизу для числа решений неравенства |𝑝^2_1+ 𝑝^2_2+ 𝑝_3− 𝑁|⩽ 𝐻 в простых числах 𝑝1, 𝑝2 и 𝑝3 при 𝐻 ⩾ 𝑁^(7/72+𝜀).

В работе получена новая оценка для погрешности квадратурных формул с оптимальными параллелепипедальными сетками по простому модулю 𝑁.

В этой статье мы покажем, что факторная сложность бесконечного слова F_𝑏 определяемая путем объединения базовых 𝑏 представлений 𝑛! полна. Затем мы покажем, что арифметическая сложность этого слова также является полной. С другой стороны, F_𝑏 это дизъюнктивное слово. В теории чисел такой вид слов называется богатыми цифрами.

В работе получена новая оценка для погрешности квадратурных формул с оптимальными параллелепипедальными сетками по простому модулю 𝑁.

В статье изучается следующая задача. Пусть заданы два конечных подмножества из множества натуральных чисел, которые всюду в тексте будут обозначаться как 𝐴 и 𝐵. Будем считать, что они принадлежат конечному отрезку чисел [1,𝑄]. По определению задаем множество дробей 𝐴/𝐵, элементы которого являются представимыми в виде частного этих множеств 𝐴,𝐵, то есть такие элементы 𝑎/𝑏, где 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵. В статье исследуются свойства
этого подмножества частных. В статье [13], была получена нетривиальная нижняя оценка на размер множества 𝐴/𝐵 для таких множеств 𝐴,𝐵 без всяких дополнительных условий на эти множества. В данной статье мы рассматриваем экстремальный случай , который состоит в следующем. Пусть известно, что размер множества произведений 𝐴𝐵 является асимптотически наименьшим возможным. Мы выводим отсюда, что размер множества частных 𝐴/𝐵 является асимптотически наибольшей возможной величиной.