Об экстремальном множестве частных целых чисел
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-4-354-360
Аннотация
В статье изучается следующая задача. Пусть заданы два конечных подмножества из множества натуральных чисел, которые всюду в тексте будут обозначаться как 𝐴 и 𝐵. Будем считать, что они принадлежат конечному отрезку чисел [1,𝑄]. По определению задаем множество дробей 𝐴/𝐵, элементы которого являются представимыми в виде частного этих множеств 𝐴,𝐵, то есть такие элементы 𝑎/𝑏, где 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵. В статье исследуются свойства
этого подмножества частных. В статье [13], была получена нетривиальная нижняя оценка на размер множества 𝐴/𝐵 для таких множеств 𝐴,𝐵 без всяких дополнительных условий на эти множества. В данной статье мы рассматриваем экстремальный случай , который состоит в следующем. Пусть известно, что размер множества произведений 𝐴𝐵 является асимптотически наименьшим возможным. Мы выводим отсюда, что размер множества частных 𝐴/𝐵 является асимптотически наибольшей возможной величиной.
Об авторе
Юрий Николаевич Штейников
Федеральный научный центр «Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук»
Россия
Россия
Список литературы
1. Shteinikov Yu., On the product sets of rational numbers // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2017, Vol. 296, Issue 1, P 243-250.
2. Cilleruelo J., Ramana D.S., Ramare O. Quotients and product sets of thin subsets of the positive integers // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2017, Vol. 296, Issue 1, P. 52-64.
3. Prachar K. Primzahlverteilung // Springer–Verlag Berlin–G˝ottingen–Heidelberg, 1957.
4. Shteinikov Yu. N. Addendum to the paper "Quotients and product sets of thin subsets of the positive integers"by J. Cilleruelo, D.S. Ramana and O. Ramare. // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2017, Vol. 296, Issue 1, P. 251-255.
5. Hildebrand A., Tenenbaum G. Integers without large prime factors // Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux 5, 1993, P. 411-484.
6. Bourgain J., Konyagin S.V., Shparlinski I.E. Product sets of rationals, multiplicative translates of subgroups in residue rings and fixed points of the discrete logarithm // Int. Math Research Notices. 2008. rnn 090, P. 1-29.
7. Cilleruelo J. A note on product sets of rationals // International Journal of Number Theory 2016, Vol. 12, No. 05, P. 1415-1420.
8. Cilleruelo J., Garaev M. Congruences involving product of intervals and sets with small multiplicative doubling modulo a prime and applications // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 2016. Vol. 160, Issue 03, P. 477-494,
9. Konyagin S., Shkredov I. New results on sums and products in R, Proc. // Steklov Inst. Math., 2016. № 294 , P. 78-88.
10. Konyagin S., Shkredov I. On Sum Sets of Sets Having Small Product Set // Proc. Steklov Inst. Math. 2015, Vol. 290, P. 288–299.
11. Tao T., Vu V. Additive combinatorics // Cambridge University Press 2006, P. 1-530.
12. Shnirel’man L.G. Uber additive Eigenschaften von Zahlen // Mathematische Annalen, V. 107 1933, P. 649-690.
13. Ю. Н. Штейников, О размере частного двух подмножеств натуральных чисел // Гармонический анализ, теория приближений и теория чисел, Сборник статей. К 60-летию со дня рождения академика Сергея Владимировича Конягина, Тр. МИАН, 2018. Т. 303, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., С. 279–287.
Рецензия
Для цитирования:
Штейников Ю.Н. Об экстремальном множестве частных целых чисел. Чебышевский сборник. 2023;24(4):354-360. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-4-354-360
For citation:
Shteinikov Yu.N. On the extremal set of quotient of natural numbers. Chebyshevskii Sbornik. 2023;24(4):354-360. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-4-354-360
Просмотров:
284
Послать статью по эл. почте 