Пространство рядов Дирихле для многомерных решёток

Аннотация

В работе рассмотрено множество всевозможных рядов Дирихле, порожденных заданной решёткой, и изучены свойства этого функционального пространства над полем комплексных чисел.
Введено новое понятие 𝐶 𝜃-степенная плотность ряда Дирихле. Установлена связь между 𝐶 𝜃-степенной плотностью ряда Дирихле и абсциссой его абсолютной сходимости.
Установлено, что если ряд Дирихле 𝑓(𝛼|Λ) удовлетворяет условию обобщенной леммы Сельберга с 𝜃1 < 𝜃, то ряд Дирихле 𝑓(𝛼|Λ) аналитически продолжается в полуплоскость с 𝜎 > 𝜃1, кроме точки 𝛼 = 𝜃, в которой у неё полюс первого порядка с вычетом 𝐶𝜃.
Введено новое понятие 𝐶 логарифмическая 𝜃-степенная плотность ряда Дирихле.
Установлено, что если ряд Дирихле 𝑓(𝛼|Λ) имеет 𝐶 логарифмическую 𝜃-степенную плотность и 𝜃 < 1, то для абсциссы абсолютной сходимости справедливо равенство 𝜎𝑓 = 0 и ряд Дирихле 𝑓(𝛼|Λ) — голоморфная функция во всей правой 𝛼-полуплоскости с 𝜎 > 0.
Показано, что если ряд Дирихле 𝑓(𝛼|Λ) имеет 𝐶 логарифмическую 𝜃-степенную плотность и 𝜃 < 1, то областью голоморфности дзета-функции 𝜁(𝑀|𝛼) является 𝛼-полуплоскость 𝜎 > 0.