Об одном распределении, связанном с рядами Фарея
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-4-137-190
Аннотация
В настоящей работе методом, принадлежащим Ф. Бока, К. Кобели и А. Захареску (2001) исследуются некоторые арифметические свойства дробей Фарея. Пусть 𝐷 ⩾ 2 - фиксированное целое число, Φ𝑄 - классический ряд Фарея порядка 𝑄. Раскрасим в красный цвет те дроби ряда Φ𝑄, знаменатели которых кратны 𝐷. Далее, выберем из промежутков с раскрашенными концами те, что содержат внутри себя лишь дроби, знаменатели которых не делятся на 𝐷. Каковы предельные (при 𝑄 → +∞) доли 𝜈(𝑟;𝐷) таких промежутков, заключающих внутри ровно 𝑟 дробей ряда Φ𝑄, в общем числе рассматриваемых промежутков (𝑟 = 1, 2, 3, . . .)?
Формула для этой доли была найдена, по сути, К. Кобели, М. Выжийту и А. Захареску (2014), поскольку могла быть выведена как следствие полученного ими общего результата.
Однако формула трёх авторов выражает искомую долю через сумму площадей фигур, связанных с некоторым геометрическим преобразованием треугольника Фарея - подобласти единичного квадрата вида 𝑥+𝑦 > 1, 0 < 𝑥, 𝑦 ⩽ 1. В настоящей работе даётся вывод явной формулы, выражающей доли 𝜈(𝑟;𝐷) в случаях 𝐷 = 2, 3 через величину 𝑟, 𝑟 = 1, 2, 3, . . ..
Ключевые слова
ряд Фарея,
дроби Фарея,
треугольник Фарея,
арифметические свойства,
распределение,
𝐵𝐶𝑍-преобразование
При поддержке: Исследование выполнено в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук за счет гранта Российского научного фонда № 19-11-00001, https://rscf.ru/project/19-11-00001/.
Об авторе
Максим Александрович Королёв
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор РАН
Список литературы
1. Cobeli C., Zaharescu A., The Haros-Farey sequence at two hundred years. A survey. // Acta Univ. Apulensis Math. Inform. 2003. Vol. 5. P. 1–38.
2. Haynes A., A note on Farey fractions with odd denominators, // J. Number Theory, 2003. Vol. 98. № 2. P. 89–104.
3. Boca F.P., Cobeli C., Zaharescu A., On the distribution of the Farey sequence with odd denominators // Michigan Math. J. 2003. Vol. 51. P. 557–573.
4. Cobeli C., Zaharescu A., The distribution of rationals in residue classes // arXiv:math/0511356v1 [math.NT] (14.11.2005).
5. Cobeli C., Zaharescu A., On the Farey Fractions with Denominators in Arithmetic Progression// J. Integer Sequences. 2006. Vol. 9. Article 06.3.4.
6. Alkan E., Ledoan A.H., Vˆajˆaitu M., Zaharescu A. Discrepancy of Fractions with Divisibility Constraints // Monatsh. Math. 2006. Vol. 149. P. 179–192.
7. Haynes A., The distribution of special subsets of the Farey sequence // arXiv:math/0907.2171v1 [math.NT] (13.07.2009).
8. Cobeli C., Vˆajˆaitu M., Zaharescu A., The distribution of rationals in residue classes // Math. Reports. 2012. Vol. 14(64). № 1. P. 1–19.
9. Badziahin D.A., Haynes A.K., A note on Farey fractions with denominators in arithmetic progressions // Acta Arith., 2011. Vol. 146. № 3. P. 205–215.
10. Boca F.P., Heersink B., Spiegelhalter P. Gap distribution of Farey fractions under some divisibility constraints // arXiv:1301.0277v2 [math.NT] (11.04.2013)
11. Bittua, Chaubeya S., Goela S. On the distribution of index of Farey Sequences // arXiv:2203.16215v1 [math.NT] (30.03.2022)
12. Boca F.P., Siskaki M., A note on the pair correlation of Farey fractions // arXiv:2109.12744v2 [math.NT] (19.09.2022)
13. Boca F.P., Cobeli C., Zaharescu A., A conjecture of R. R. Hall on Farey points // J. reine angew. Math. 2001. Vol. 535. P. 207–236.
14. Baker A., Transcendental number theory. Cambr. Univ. Press, 1975.
15. Lindeman F., Ueber die Zahl 𝜋 // Math. Ann. 1882. Vol. 20. P. 213–225.
16. Устинов А.В., Решение задачи Арнольда о слабой асимптотике для чисел Фробениуса с тремя аргументами // Матем. сб. 2009. Т. 200. № 4. С. 131–160.
17. Грэхем Р.Л., Кнут Д.Э., Паташник О., Конкретная математика. Основание информатики, М., Мир, 1998.
18. Смирнов Е.Ю., Фризы и цепные дроби. М., МЦНМО, 2022.
19. Boca F.P., Gologan R., Zaharescu A., On the index of Farey sequences // Quart. J. Math. 2002. Vol. 53. № 4. P. 377–391.
20. Постников А.Г., Введение в аналитическую теорию чисел. М., Наука, 1971.
21. Градштейн И.С., Рыжик И.М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 4-е изд. М., ГИФМЛ, 1962.
Рецензия
Для цитирования:
Королёв М.А. Об одном распределении, связанном с рядами Фарея. Чебышевский сборник. 2023;24(4):137-190. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-4-137-190
For citation:
Korolev M.A. A distribution related to Farey series. Chebyshevskii Sbornik. 2023;24(4):137-190. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-4-137-190
Просмотров:
370
Послать статью по эл. почте 