Решётки топологий и квазипорядков конечной цепи

Аннотация

Решёткой квазипорядков универсальной алгебры 𝐴 называется решётка тех квазипорядков на множестве 𝐴, которые согласуются с операциями алгебры, реншётка топологий алгебры – это решётка тех топологий, относительно которых операции алгебры непрерывны. Решётка квазипорядков и решётка топологий алгебры 𝐴, наряду с решёткой подалгебр
и решёткой конгруэнций, являются важными характеристиками этой алгебры. Известно, что решётка квазипорядков изоморфно вкладывается в решётку, антиизоморфную решётке топологий, а в случае конечной алгебры это вложение является антиизоморфизмом.
Цепь 𝑋𝑛 из 𝑛 элементов рассматривается как решётка с операциями 𝑥 ∧ 𝑦 = min(𝑥, 𝑦) и 𝑥 ∨ 𝑦 = max(𝑥, 𝑦). В работе доказано, что решётка квазипорядков и решётка топологий цепи 𝑋𝑛 изоморфны булеану из 22𝑛−2 элементов. Найдено простое соответствие между квазипорядками цепи 𝑋𝑛 и словами длины 𝑛−1 в 4-буквенном алфавите. Найдены атомы
решётки топологий. Из результатов о квазипорядках выводится известное утверждение о том, что решётка конгруэнций цепи из 𝑛 элементов является булеаном из 2𝑛−1 элементов.
Результаты перестанут быть верными, если цепь рассматривать лишь относительно одной и операций ∧,∨.