Известные последовательности чисел Фибоначчи рассматриваются как линейные рекуррентные последовательности, что позволяет дать описание единиц кубических полей отрицательного дискриминанта. Распространение указанной процедуры приводит к описанию аналогичной задачи для произвольных алгебраических полей и интерпретируется применительно к диофантовым уравнениям.

 

В статье исследовано многообразие N, порожденное двухэлементными коммутативными мультипликативно идемпотентными полукольцами. При изучении многообразий полуколец исходными служат две класси- ческие теоремы Биркгофа (о характеризации многообразий алгебраических структур и о подпрямой разложимости). J. A. Kalman в 1971 году доказал, что с точностью до изоморфизма существует три подпрямо неразложимых коммутативных идемпотентных полукольца, обладающих двойственным законом дистрибутивности x + yz = (x+y)(x+z): двухэлементное поле, двухэлементное монополукольцо, а также некоторое трехэлементное полукольцо. В 1999 году S. Ghosh показал, что произвольное коммутативное мультипликативно идемпотентное полукольцо с тождеством x + 2xy = x будет подпрямым произведением булева кольца и дистрибутивной решетки. Аналогичный результат для класса всех мультипликативно идемпотентных полуколец с нулем и единицей, обладающих тождеством 1 + 2x = 1, получил F. Guzman в 1992 году. Показано, что любое такое полукольцо коммутативно и является подпрямым произведением семейства двухэлементных полей и двухэлементных цепей, а также может быть порождено одним трехэлементным полукольцом. Нами в даной работе получены следующие результаты. Доказаны некоторые необходимые условия подпрямой неразложимости полуколец из многообразия M всех полуколец с коммутативным идемпотентным умножением. Показано, что произвольное полукольцо из M является подпрямым произведением двух коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец, одно из которых обладает тождеством 3x = x, а другое — тождеством 3x = 2x. Найдены все подпрямо неразложимые полукольца в N. Описаны под- многообразия в N. Показано, что в классе M многообразие N задается одним тождеством x + 2xy + yz = x + 2xz + yz. Доказано, что решетка всех подмногообразий многообразия N является 16-элементной булевой решеткой.

 

 

Работа является продолжением исследований авторов классических аддитивных проблем с переменными, принадлежащими некоторому спе- циальному множеству. Ранее были рассмотрены задачи Гольдбаха, Хуа Ло–Кена, Лагранжа. Для числа решений этих проблем с числами спе- циального вида получены асимптотические формулы. Задачи Гольдбаха, Хуа Ло–Кена — задачи с простыми числами. Они являются классически- n n n ми проблеми теории чисел о числе решений уравнения p1+p2+· · ·+pk = N в простых числах p1, p2, . . . , pk, где k > 2 и n > 1 — натуральные числа. При k = 3, n = 1 — задача Гольдбаха, k = 5, n = 2 — задача Хуа Ло–Кена. Авторы рассматривали эти задачи при условии, что на простые числа pi, i = 1, 2, . . . , k, наложены дополнительные ограничения вида a < {ηpn} < b, i где a и b — произвольные действительные числа, 0 6 a < b 6 1, η — квадратичная иррациональность. При выводе асимптотических формул использовали круговой метод Харди–Литтлвуда–Виноградова. Получен- ные формулы отличаются от асимптотических формул классических за- дач в простых числах без ограничений тем, что в главных членах появля- ются ряды специального вида: 2πim(ηN−0,5k(a+b)) sink πm(b − a) σk(N, a, b) = e . πkmk |m|<∞ Изучение поведения этих рядов представляет собой отдельную проблему, которая также исследована авторами. Задача Лагранжа — задача о пред- ставлении натурального числа в виде суммы четырех квадратов целых чи- сел: l1 2 +l2 2 +l3 2 +l 2 = N. Авторами рассмотрен вариант задачи Лагранжа с 4 целыми числами li, i = 1, 2, 3, 4, удовлетворяющими условию a >< {ηli} < b. При выводе асимптотической формулы в задаче Лагранжа авторы, в ос- новном, следовали схеме Клоостермана. В этой задаче в главном члене ряда вида σk(N, a, b) не возникает. Проблема Варинга — это задача о n n n представлении любого натурального N суммой x1 + x2 + . . . + xk = N, где x1, x2, . . . , xk — натуральные числа. В данной работе решается вари- ант проблемы Варинга с натуральными числами xi, i = 1, 2, . . . , k, таки- ми, что a 6 {ηxn} < b, где η — алгебраическое иррациональное число. i Здесь в главном члене появляется ряд σk(N, a, b), как и в задачах Гольд- баха и Хуа Ло–Кена с простыми числами, удовлетворяющими условию a < {ηpn} < b, i = 1, 2, . . . , k. Основным результатом работы является i получение асимптотической формулы для числа решений J(N) проблемы Варинга с числами специального вида: k − c 1− J(N) = I(N)σk(N, a, b) + O(N n n3 log n ), где I(N) — число решений классической проблемы Варинга в произволь- ных натуральных числах x1, x2, . . . , xk, c = c(η) > 0, n > 3, 2n + 1, если 3 6 n 6 10, k > k0 = 2[n2(2 log n + log log n + 5)], если n > 10. 

В работе рассмотрены варианты обобщения метода Н. М. Коробова приближенного решения задачи Дирихле для уравнений с частными про- изводными вида ∂ ∂ Q , . . . , u(x) = f(x) ∂x1 ∂xs c граничным условием u(x)|∂Gs = ϕ(x), где функции u(x), f(x), ϕ(x) пренадлежат классу периодческих функций Eα s на случай использования обобщенных параллелепипедальных сеток M(Λ) целочисленных решеток Λ. Особое внимание уделено классу дифференциальных операторов, со- ∂ ∂ стоящему из операторов Q , . . . , с нулевым ядром. Важность это- ∂x1 ∂xs го класса операторов объясняется тем, что с точностью до константы решение дифференциального уравнения с частными производными для этих операторов определяется однозначно. Примером такого оператора является оператор Лапласа. В работе было получено приближённое решение задачи Дирихле для уравнений с частными производными с помощью произвольной обобщенной параллелепипедальной сетки M(Λ) целочисленной решетки Λ для некоторого класса периодических функций и показано, что при использовании бесконечной последовательности вложенных обобщенных параллелепипедальных сеток будет иметь место достаточно быстрая сходимость приближённого решения к функции u(x).

 

Посредством аддитивных арифметических функций на последовательности сдвинутых простых чисел строятся процессы с реализациями из пространства функций без разрывов второго рода. В этом пространстве с топологией Скорохода и σ-алгеброй борелевских множеств вводится последовательность мер, соответствующих построенным арифметическим процессам. Именно, за меру борелевского множества принимается относительная частота простых чисел, не превосходящих натурального числа n, которым соответствуют реализации построенных процессов, попадающие в это множество. Найдены необходимые и достаточные условия слабой сходимости последовательности введённых мер к мере, соответствующей некоторому процессу. При этом предельным является процесс с независимыми приращениями, распределения которых не вырождены. Необходимые и достаточные условия представляют собой два предельных соотношения, первое из которых – это бесконечная малость последовательности заданных сумм. Доказательство необходимости выполнения этого соотношения для слабой сходимости последовательности мер является основной частью всего доказательства теоремы. Проводится это доказательство путём рассмотрения распределений приращений арифметических процессов на промежутках, близких к единице и переходом к характеристическим функциям, соответствующим этим распределениям. Далее, воспользовавшись независимостью приращений предельного процесса, слабой компактностью последовательности мер (следующей из известной теоремы Ю. Прохорова о слабой сходимости вероятностных мер), асимптотической формулой для средних значений мультипликативных функций на последовательности сдвинутых простых чисел Н. Тимофеева, получаем первое условие теоремы. При доказательстве достаточности обеих условий для слабой сходимости последовательности мер вновь применяются характеристические функции. Это позволяет, в частности, воспользоваться ранее полученными автором предельными теоремами в функциональных пространствах для аддитивных функций на "редких" множествах. Последовательность {p+1} входит в класс последовательностей, рассмотренных в этих теоремах. Однако, в них условие аналогичное первому условию, рассматриваемому здесь, не является необходимым, но является достаточным. Это позволяет, применяя указанные теоремы к рассматриваемому случаю получить слабую сходимость последовательности мер. Получено также представление для характеристической функции предельного процесса.

 

В работе дается описание гамильтоновых алгебр в некоторых подклассах класса тернарных алгебр с одним оператором. Универсальная алгебра называется гамильтоновой, если носитель любой ее подалгебры является классом некоторой ее конгруэнции. Алгеброй с операторами называется универсальная алгебра с дополнительной системой унарных операций, действующих как эндоморфизмы относительно основных операций (перестановочных с основными операциями). Алгебра с операторами называется тернарной, если она имеет единственную основную операцию, и эта операция является тернарной. Получено достаточное условие гамильтоновости для произвольных ал- гебр с операторами. Полностью описаны гамильтоновы алгебры в классах тернарных алгебр с одним оператором, основная операция которых является либо функцией Пиксли, либо функцией меньшинства, либо функцией большинства, заданными специальным образом на произвольном унаре. Пусть V — многообразие алгебр с операторами, имеющее сигнатуру Ω1 ∪ Ω2, где Ω1 — произвольная сигнатура, содержащая функцию почти единогласия, а Ω2 — множество операторов. Доказано, что в многообразии V алгебра является абелевой тогда и только тогда, когда она одноэлементна.

Воспроизводящая формула Бергмана и различные оценки для проектора Бергмана с положительным воспроизводящим ядром, а также точные оценки типа Форелли-Рудина для ядра Бергмана играют важную роль в некоторых новых экстремальных задачах, связанных с так называемой функцией дистанции в пространствах аналитических функций в различных областях в Cn . В этой работе, опираясь на известные теоремы вложения для пространств аналитических функций в ограниченных областях с границей из C2 и в допустимых областях, мы получили новые результаты связанные с экстремальной задачей для пространств типа Бергмана аналитических функций. Также мы приводим некоторые утверждения для пространств Неванлинны и BMOA, для аналитических пространств Бесова в областях с границей из C2 и в допустимых областях. Отметим также, что проблемам, связанные с регулярностью проектора Бергмана, которую мы часто используем в доказательствах, уделяется большое внимание. Многие оценки для воспроизводящих операторов и их ядер привлекают внимание математиков уже более 40 лет. Структура этой работы такая же, как и в предыдущих работах по данной теме: сначала мы излагаем некоторые полученные ранее факты, связанные с проектором Бергмана, а потом, опираясь на них, доказываем оценки для функции дистанции. Основываясь на известных результатах для классических пространств аналитических функций в различных областях в Cn, мы получаем несколь- ко новых утверждений для функции дистанции на произведении строгоmпсевдовыпуклых областей с гладкой границей, в ограниченных областях с границей из C2 и в допустимых областях.

В последнее время в публикациях для подготовки высококачественных рисунков все чаще используется свободно распространяемый графический пакет TikZ [3], ставший неотъемлемой частью научно-технической издательской системы TEX/LATEX. В его библиотеке turtle реализован один из вариантов элегантного языка программирования высокого уровня Лого (Logo), разработанного в 1967 году Сеймуром Пайпертом (Seymour Papert) и Эдит Харель (Idit Harel) [1] и построенного на рекурсии. Стоит отметить, что версия Лого, предоставляемая пакетом turtle, это лишь один из порядка 250 различных реализаций этого языка. Но, имея минимум средств, данная версия очень проста в освоении и позволяет программно, не выходя из LATEX, без особых затруднений осущестлять несложное техническое рисование. О версии Лого, предоставляемой библиотекой tirtle пакета TikZ, и идет речь в данной статье. При этом описаны не только все средства этой версии, но и на иллюстративных примерах продемонстрировано их использование. Заметим, что Лого – это не просто язык, а связка языка и интегрированной среды разработки, позволяющая придать простоту и наглядность процессу обучения программирования. В стандартном варианте Лого имеется исполнитель команд, который может перемещать по экрану точку (черепашку) вперед на заданное количество шагов и менять направление своего движения. При этом черепашка при перемещении может оставлять след на экране в виде отрезков линий, вычерчивая те или иные фигуры, или двигаться, не оставляя следа. Совокупность команд, понимаемая исполнителем “черепашка”, и составляет основу языка Лого, оказавшего в силу своей простоты революционное влияние на начальное обучение программированию. Понять Лого в состоянии дети младшего школьного и даже дошкольного возраста. Согласно выводам диссертационной работы Эдит Харель, разрабатывая дизайн программы, думая над тем, как лучше структурировать и представлять информацию, ученик глубже начинает понимать содержание задачи, лежащей в основании программы. Отметим два немаловажных обстоятельства. В tirtle-реализации Лого смена направления движения черепашки может происходить под любым углом к текущему направлению ее движения, а для перемещения черепашки наряду со стандартными командами может быть использована и обычная структура цикла \foreach.