ПРОБЛЕМА ВАРИНГА С НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Работа является продолжением исследований авторов классических аддитивных проблем с переменными, принадлежащими некоторому спе- циальному множеству. Ранее были рассмотрены задачи Гольдбаха, Хуа Ло–Кена, Лагранжа. Для числа решений этих проблем с числами спе- циального вида получены асимптотические формулы. Задачи Гольдбаха, Хуа Ло–Кена — задачи с простыми числами. Они являются классически- n n n ми проблеми теории чисел о числе решений уравнения p1+p2+· · ·+pk = N в простых числах p1, p2, . . . , pk, где k > 2 и n > 1 — натуральные числа. При k = 3, n = 1 — задача Гольдбаха, k = 5, n = 2 — задача Хуа Ло–Кена. Авторы рассматривали эти задачи при условии, что на простые числа pi, i = 1, 2, . . . , k, наложены дополнительные ограничения вида a < {ηpn} < b, i где a и b — произвольные действительные числа, 0 6 a < b 6 1, η — квадратичная иррациональность. При выводе асимптотических формул использовали круговой метод Харди–Литтлвуда–Виноградова. Получен- ные формулы отличаются от асимптотических формул классических за- дач в простых числах без ограничений тем, что в главных членах появля- ются ряды специального вида: 2πim(ηN−0,5k(a+b)) sink πm(b − a) σk(N, a, b) = e . πkmk |m|<∞ Изучение поведения этих рядов представляет собой отдельную проблему, которая также исследована авторами. Задача Лагранжа — задача о пред- ставлении натурального числа в виде суммы четырех квадратов целых чи- сел: l1 2 +l2 2 +l3 2 +l 2 = N. Авторами рассмотрен вариант задачи Лагранжа с 4 целыми числами li, i = 1, 2, 3, 4, удовлетворяющими условию a >< {ηli} < b. При выводе асимптотической формулы в задаче Лагранжа авторы, в ос- новном, следовали схеме Клоостермана. В этой задаче в главном члене ряда вида σk(N, a, b) не возникает. Проблема Варинга — это задача о n n n представлении любого натурального N суммой x1 + x2 + . . . + xk = N, где x1, x2, . . . , xk — натуральные числа. В данной работе решается вари- ант проблемы Варинга с натуральными числами xi, i = 1, 2, . . . , k, таки- ми, что a 6 {ηxn} < b, где η — алгебраическое иррациональное число. i Здесь в главном члене появляется ряд σk(N, a, b), как и в задачах Гольд- баха и Хуа Ло–Кена с простыми числами, удовлетворяющими условию a < {ηpn} < b, i = 1, 2, . . . , k. Основным результатом работы является i получение асимптотической формулы для числа решений J(N) проблемы Варинга с числами специального вида: k − c 1− J(N) = I(N)σk(N, a, b) + O(N n n3 log n ), где I(N) — число решений классической проблемы Варинга в произволь- ных натуральных числах x1, x2, . . . , xk, c = c(η) > 0, n > 3, 2n + 1, если 3 6 n 6 10, k > k0 = 2[n2(2 log n + log log n + 5)], если n > 10. 

1. Виноградов И. М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел // ДАН СССР. 1937. Т. 15. С. 169–172.

2. Hua L. K. On the representation of numbers as the sum of powers of primes // Math. Z. 1938. 44. P. 335–346.

3. Хуа Ло–ген. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. М.: Мир, 1964. 194 с.

4. Kloosterman H. D. On the representation of numbers in the form ax2 + by2 + cz2 + dt2 // Acta mathematica. 1926. 49. P. 407–464.

5. Gritsenko S., Motkina N. Ternary Goldbach’s Problem Involving Primes of a Special type. Режим доступа: http://arXiv.org/abs/0812.4606 – 25 Dec 2008

6. Gritsenko S., Motkina N. Hua Loo Keng’s Problem Involving Primes of a Special Type. Режим доступа: http://arXiv.org/abs/0812. 4665 – 26 Dec 2008

7. Гриценко С.А., Мотькина Н.Н. Представление натуральных чисел суммами четырех квадратов целых чисел специального вида // Современная математика и ее приложения. 2010. Т. 67. С. 71–77.

8. Гриценко С.А., Мотькина Н.Н. О вычислении некоторых особых рядов // Чебышевский сборник. 2011. Т.12, вып. 4. С. 85–92

9. D. Hilbert Beweis fu¨r die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n–ter Potenzen (Waringsches Problem) // Math. Annalen. 1909. 67. P. 281–300.

10. Hardy G. Collected papers of G. H. Hardy, including joint papers with J. E. Littlewood and others, ed. by a committee appointed by the London Mathematical Society, vol. I. Oxford: Clarenon Press, 1966.

11. Hardy G. H., Littlewood J. E. A new solution of Waring, s problem, Quart. J. Math., 48, (1919), 272–293.

12. Hardy G., Littlewood J. Some problems of «Partitio Numerorum»: I A new solution of Waring, s problem // G¨ottingen nachrichten. 1920. P. 33–54.

13. Hardy G., Littlewood J. Some problems of «Partitio Numerorum»: III On the expression of a number as a sum of primes // Acta. Math. 1923. 44. P. 1–70.

14. Hardy G., Littlewood J. Some problems of «Partitio Numerorum»: V A further contribution to the study of Goldbach’s problem // Proc. Lond. Math. Soc. 1923. (2) 22. P. 46–56.

15. Виноградов И. М. Sur un theoreme general de Waring //Мат. сб. —1922– 1924. —Т. 31. —C. 490–507. Рез. на рус. яз.

16. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. —М.: Наука, 1983. 240 с.

17. Бухштаб А. А. Теория чисел. —М.: Просвещение, 1966. —384 c.

18. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. —М.: Высш. шк., 1999. 695 с.

19. Вон Р. Метод Харди–Литтлвуда. —М.: Мир, 1985. 184 с.

20. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980. 160 с.