Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

ПРОБЛЕМА ВАРИНГА С НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2014-15-3-31-47

Полный текст:

Аннотация

Работа является продолжением исследований авторов классических аддитивных проблем с переменными, принадлежащими некоторому спе- циальному множеству. Ранее были рассмотрены задачи Гольдбаха, Хуа Ло–Кена, Лагранжа. Для числа решений этих проблем с числами спе- циального вида получены асимптотические формулы. Задачи Гольдбаха, Хуа Ло–Кена — задачи с простыми числами. Они являются классически- n n n ми проблеми теории чисел о числе решений уравнения p1+p2+· · ·+pk = N в простых числах p1, p2, . . . , pk, где k > 2 и n > 1 — натуральные числа. При k = 3, n = 1 — задача Гольдбаха, k = 5, n = 2 — задача Хуа Ло–Кена. Авторы рассматривали эти задачи при условии, что на простые числа pi, i = 1, 2, . . . , k, наложены дополнительные ограничения вида a < {ηpn} < b, i где a и b — произвольные действительные числа, 0 6 a < b 6 1, η — квадратичная иррациональность. При выводе асимптотических формул использовали круговой метод Харди–Литтлвуда–Виноградова. Получен- ные формулы отличаются от асимптотических формул классических за- дач в простых числах без ограничений тем, что в главных членах появля- ются ряды специального вида: 2πim(ηN−0,5k(a+b)) sink πm(b − a) σk(N, a, b) = e . πkmk |m|<∞ Изучение поведения этих рядов представляет собой отдельную проблему, которая также исследована авторами. Задача Лагранжа — задача о пред- ставлении натурального числа в виде суммы четырех квадратов целых чи- сел: l1 2 +l2 2 +l3 2 +l 2 = N. Авторами рассмотрен вариант задачи Лагранжа с 4 целыми числами li, i = 1, 2, 3, 4, удовлетворяющими условию a >< {ηli} < b. При выводе асимптотической формулы в задаче Лагранжа авторы, в ос- новном, следовали схеме Клоостермана. В этой задаче в главном члене ряда вида σk(N, a, b) не возникает. Проблема Варинга — это задача о n n n представлении любого натурального N суммой x1 + x2 + . . . + xk = N, где x1, x2, . . . , xk — натуральные числа. В данной работе решается вари- ант проблемы Варинга с натуральными числами xi, i = 1, 2, . . . , k, таки- ми, что a 6 {ηxn} < b, где η — алгебраическое иррациональное число. i Здесь в главном члене появляется ряд σk(N, a, b), как и в задачах Гольд- баха и Хуа Ло–Кена с простыми числами, удовлетворяющими условию a < {ηpn} < b, i = 1, 2, . . . , k. Основным результатом работы является i получение асимптотической формулы для числа решений J(N) проблемы Варинга с числами специального вида: k − c 1− J(N) = I(N)σk(N, a, b) + O(N n n3 log n ), где I(N) — число решений классической проблемы Варинга в произволь- ных натуральных числах x1, x2, . . . , xk, c = c(η) > 0, n > 3, 2n + 1, если 3 6 n 6 10, k > k0 = 2[n2(2 log n + log log n + 5)], если n > 10. 

Об авторах

С. А. Гриценко
Финансовый университет при Правительстве РФ, МГУ имени М. В. Ломоносова Белгородский государственный университет
Россия


Н. Н. Мотькина
Финансовый университет при Правительстве РФ, МГУ имени М. В. Ломоносова Белгородский государственный университет
Россия


Список литературы

1. Виноградов И. М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел // ДАН СССР. 1937. Т. 15. С. 169–172.

2. Hua L. K. On the representation of numbers as the sum of powers of primes // Math. Z. 1938. 44. P. 335–346.

3. Хуа Ло–ген. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. М.: Мир, 1964. 194 с.

4. Kloosterman H. D. On the representation of numbers in the form ax2 + by2 + cz2 + dt2 // Acta mathematica. 1926. 49. P. 407–464.

5. Gritsenko S., Motkina N. Ternary Goldbach’s Problem Involving Primes of a Special type. Режим доступа: http://arXiv.org/abs/0812.4606 – 25 Dec 2008

6. Gritsenko S., Motkina N. Hua Loo Keng’s Problem Involving Primes of a Special Type. Режим доступа: http://arXiv.org/abs/0812. 4665 – 26 Dec 2008

7. Гриценко С.А., Мотькина Н.Н. Представление натуральных чисел суммами четырех квадратов целых чисел специального вида // Современная математика и ее приложения. 2010. Т. 67. С. 71–77.

8. Гриценко С.А., Мотькина Н.Н. О вычислении некоторых особых рядов // Чебышевский сборник. 2011. Т.12, вып. 4. С. 85–92

9. D. Hilbert Beweis fu¨r die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n–ter Potenzen (Waringsches Problem) // Math. Annalen. 1909. 67. P. 281–300.

10. Hardy G. Collected papers of G. H. Hardy, including joint papers with J. E. Littlewood and others, ed. by a committee appointed by the London Mathematical Society, vol. I. Oxford: Clarenon Press, 1966.

11. Hardy G. H., Littlewood J. E. A new solution of Waring, s problem, Quart. J. Math., 48, (1919), 272–293.

12. Hardy G., Littlewood J. Some problems of «Partitio Numerorum»: I A new solution of Waring, s problem // G¨ottingen nachrichten. 1920. P. 33–54.

13. Hardy G., Littlewood J. Some problems of «Partitio Numerorum»: III On the expression of a number as a sum of primes // Acta. Math. 1923. 44. P. 1–70.

14. Hardy G., Littlewood J. Some problems of «Partitio Numerorum»: V A further contribution to the study of Goldbach’s problem // Proc. Lond. Math. Soc. 1923. (2) 22. P. 46–56.

15. Виноградов И. М. Sur un theoreme general de Waring //Мат. сб. —1922– 1924. —Т. 31. —C. 490–507. Рез. на рус. яз.

16. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. —М.: Наука, 1983. 240 с.

17. Бухштаб А. А. Теория чисел. —М.: Просвещение, 1966. —384 c.

18. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. —М.: Высш. шк., 1999. 695 с.

19. Вон Р. Метод Харди–Литтлвуда. —М.: Мир, 1985. 184 с.

20. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980. 160 с.


Для цитирования:


Гриценко С.А., Мотькина Н.Н. ПРОБЛЕМА ВАРИНГА С НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА. Чебышевский сборник. 2014;15(3):31-47. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2014-15-3-31-47

For citation:


Gritsenko S.A., Motkina N.N. WARING’S PROBLEM INVOLVING NATURAL NUMBERS OF A SPECIAL TYPE. Chebyshevskii Sbornik. 2014;15(3):31-47. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2014-15-3-31-47

Просмотров: 96


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)