ОБ ОДНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ ДЛЯ АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИЙ

Посредством аддитивных арифметических функций на последовательности сдвинутых простых чисел строятся процессы с реализациями из пространства функций без разрывов второго рода. В этом пространстве с топологией Скорохода и σ-алгеброй борелевских множеств вводится последовательность мер, соответствующих построенным арифметическим процессам. Именно, за меру борелевского множества принимается относительная частота простых чисел, не превосходящих натурального числа n, которым соответствуют реализации построенных процессов, попадающие в это множество. Найдены необходимые и достаточные условия слабой сходимости последовательности введённых мер к мере, соответствующей некоторому процессу. При этом предельным является процесс с независимыми приращениями, распределения которых не вырождены. Необходимые и достаточные условия представляют собой два предельных соотношения, первое из которых – это бесконечная малость последовательности заданных сумм. Доказательство необходимости выполнения этого соотношения для слабой сходимости последовательности мер является основной частью всего доказательства теоремы. Проводится это доказательство путём рассмотрения распределений приращений арифметических процессов на промежутках, близких к единице и переходом к характеристическим функциям, соответствующим этим распределениям. Далее, воспользовавшись независимостью приращений предельного процесса, слабой компактностью последовательности мер (следующей из известной теоремы Ю. Прохорова о слабой сходимости вероятностных мер), асимптотической формулой для средних значений мультипликативных функций на последовательности сдвинутых простых чисел Н. Тимофеева, получаем первое условие теоремы. При доказательстве достаточности обеих условий для слабой сходимости последовательности мер вновь применяются характеристические функции. Это позволяет, в частности, воспользоваться ранее полученными автором предельными теоремами в функциональных пространствах для аддитивных функций на "редких" множествах. Последовательность {p+1} входит в класс последовательностей, рассмотренных в этих теоремах. Однако, в них условие аналогичное первому условию, рассматриваемому здесь, не является необходимым, но является достаточным. Это позволяет, применяя указанные теоремы к рассматриваемому случаю получить слабую сходимость последовательности мер. Получено также представление для характеристической функции предельного процесса.

1. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.

2. Тимофеев Н. М., Усманов Х. Х. Об арифметическом моделировании случайных процессов с независимыми приращениями // Докл. АН Тадж. ССР. 1984. Т. 27, №10. С. 556–559.

3. Кубилюс Й. П. Вероятностные методы в теории чисел. Вильнюс. Госиздат политической и научной литературы Литовской ССР, 1962.

4. Усманов Х. Х. Предельные теоремы в функциональных пространствах для аддитивных функций на редких множествах // Известия АН Тадж. ССР. Отд. физ. - мат. и геол.-хим. наук. 1979. №2 (72). С. 14–21.

5. Манставичюс Э. А. Аддитивные функции и случайные процессы // Литовский математический сборник. 1985. Т. 25, №1. С. 97–109.

6. Тимофеев Н. М., Усманов Х. Х. Об арифметическом моделировании броуновского движения // Докл. АН Тадж. ССР. 1982. Т. 25, №4. С. 207–211.

7. Тимофеев Н. М., Усманов Х. Х. Об одном классе арифметических моделей случайных процессов // Докл. АН Тадж. ССР. 1986. Т. 29, №6. С. 330–334.

8. Тимофеев Н. М. Распределение значений аддитивных функций на последовательности {р+1} // Мат. зам. 1983. Т. 33, №6. С. 933–942.

9. Левин Б. В., Тимофеев Н. М. Несколько интегральных предельных теорем для аддитивных функций // Литов. мат. сб. 1976. Т. 16, №4. С. 133–147.

10. Hildebrand A. Additive and multiplicative functions on shifted primes // Proc. London Math. Soc. 1989. Vol. 59. №3. Р 209–232.

11. Тимофеев Н. М. Гипотеза Эрдёше-Кубилюса о распределении значений аддитивных функций на последовательности сдвинутых простых чисел // Acta Arith. 1991. Т. 58, №2. С. 113–131. 12. Лукач Е. Характеристические функции. М.: Наука, 1979.

12. Барбан М. Б., Виноградов А. И., Левин Б. В. Предельные законы для класса Н И. П. Кубилюса, заданных на множестве сдвинутых простых чисел // Литов. мат. сб. 1965. Т. 5, №1. С. 5–7.

13. Тимофеев Н. М., Усманов Х. Х. Предельные теоремы в функциональных пространствах для аддитивных функций на редких множествах // Известия АН Тадж. ССР. Отд. физ.-мат. и геол.-хим. наук. 1978. №4 (70). С. 25– 33.

14. Григелионес Б. , Микулявичюс Р. О функциональных предельных теоремах вероятностной теории чисел // Литовский математический сборник. 1984. Т. 24, №2. С. 72–81.

15. Elliott P. D. T. A. Probabilistic number theory I. New York – Heidelberg. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Bd. 239. 1979.