В теории полиадических групп велика роль групп A∗ и A0, фигури- рующих в теореме Поста о смежных классах [2], утверждающей, что для всякой n-арной группы ⟨A, [ ]⟩ существует группа A∗ , в которой имеется нормальная подгруппа A0 такая, что фактор-группа A∗/A0 — циклическая группа порядка n − 1. Образующий смежный класс xA0 этой цикличе- ской группы является n-арной группой с n-арной операцией, производной от операции в группе A∗ , при этом n-арные группы ⟨A, [ ]⟩ и ⟨xA0, [ ]⟩ изоморфны. Группу A∗ называют универсальной обертывающей группой Поста, а группу A0 — соответствующей группой. В начале статьи рассматривается обобщение теоремы Поста о смежных классах: для всякой n-арной группы ⟨A, [ ]⟩, n = k(m − 1) + 1, в универ- сальной обертывающей группе Поста A∗ имеется нормальная подгруппа mA такая, что фактор-группа A∗/ mA — циклическая группа порядка m−1. Причем, A0 ⊆ mA ⊆ A∗ и mA/A0 – циклическая группа порядка k. В статье изучается перестановочность элементов в n-арной группе. В частности, изучается m-полуабелевость в n-арных группах, которая яв- ляется обобщением широко изучаемых понятий абелевости и полуабеле- вости. Напомним, что n-арная группа ⟨A, [ ]⟩ называется абелевой, если в ней для любой подстановки σ множества {1, 2, . . . , n} верно тождество [a1a2 . . . an] = [aσ(1)aσ(2) . . . aσ(n) ], и n-арная группа ⟨A, [ ]⟩ называется полуабелевой, если в ней верно тож- дество [aa1 . . . an−2b] = [ba1 . . . an−2a]. Обобщая эти два определения, Э. Пост назвал n-арную группу ⟨A, [ ]⟩ m-полуабелевой, если m − 1 делит n − 1 и (aa1 . . . am−2b, ba1 . . . am−2a) ∈ θA для любых a, a1, . . . , am−2, b ∈ A. Установлен новый критерий m-полуабелевости n-арной группы, сфор- мулированный с помощью подгруппы mA универсальной обертывающей группы Поста: n-арная группа ⟨A, [ ]⟩ является m-полуабелевой тогда и только тогда, когда группа mA абелева. Для n = k(m − 1) + 1 с помощью фиксированных элементов c1, . . . . . . , cm−2 ∈ A на n-арной группе ⟨A, [ ]⟩ строится (k + 1)-арная груп- па ⟨A, [ ]k+1,c1...cm−2 ⟩. На смежном классе A(m−1) из обобщенной теоремы Поста строится (k + 1)-арная группа ⟨A(m−1) , [ ]k+1⟩. Доказывается изо- морфизм построенных (k + 1)-арных групп. Этот изоморфизм позволяет доказать еще один критерий m-полуабелевости n-арной группы: n-арная группа ⟨A, [ ]⟩ m-полуабелева тогда и только тогда, когда для некоторых c1, . . . , cm−2 ∈ A (k + 1)-арная группа ⟨A, [ ]k+1,c1...cm−2 ⟩ является абелевой.

В работе исследуется эволюционное включение гиперболического типа с линейным демпфированием, которое описывает класс управляемых пьезоэлектрических полей с немонотонным потенциалом. Разрывная по фазовой переменной функция взаимодействия может быть представлена в виде разности субдифференциалов выпуклых функционалов. Такая система моделирует широкий класс управляемых процессов механики сплошных сред, в частности, и управляемые пьезоэлектрические процессы с многозначным законом "реакции-перемещения". Представление закона "реакции-перемещения" в виде разности суб- дифференциалов выпуклых функционалов позволяет более гибко управ- лять пьезоэлектрической системой. В таких процессах ключевую роль играют свойства представленных в модели операторов. Поэтому в процессе исследования мы накладываем на параметры задачи такие условия, которые позволяют изучаемой модели с допустимой точностью описывать реальный физический процесс и, в то же время, дают возможность использовать для нее существующий математический аппарат. В работе, используя методы теории глобальных и траекторных аттракторов для многозначных полугрупп операторов, обосновывается конечномерность с точностью до малого параметра слабых решений рассматриваемой модели. Кроме того, полученные результаты применяются к конкретной пьезоэлектрической задаче.

В теории чисел важную роль играют аддитивные задачи. Одной из них является проблема делителей Ингама о представлении натурального числа в виде разности произведений натуральных чисел. Уточнением остаточного члена в асимптотической формуле для числа решений данного уравнения занимались такие математики как T. Эстерман, Д. И. Исмоилов, Д. Р. Хиз-Браун, Г. И. Архипов и В. Н. Чубариков, Ж.-М. Дезуйе и Х. Иванец. В настоящей работе рассматривается бинарная аддитивная задача с квадратичными формами, которая является аналогом классической проблемы делителей Ингама. Пусть d — отрицательное бесквадратное чис- ло, F = Q( √ d) — мнимое квадратичное поле, δF — дискриминант поля F; Q1(m), Q2(k) — бинарные положительно определенные примитивные квадратичные формы с матрицами A1, A2, det A1 = det A2 = −δF , ε > 0 — произвольно малое число; n ∈ N, h ∈ N. Получена асимптотическая формула для числа решений уравнения Q1(m)−Q2(k) = h с весами exp ( −(Q1(m) + Q2(k))/n) . В данной асимптотической формуле дискриминант поля δF — фиксированное число, а остаточный член имеет оценку O(h εn 3/4+ε ), которая не зависит от δF . Кроме того, с ростом основного параметра n параметр h может расти как O(n). Доказательство асимптотической формулы основано на круговом методе, когда сумма, являющаяся числом решений рассматриваемого уравнения, представляется в виде интеграла; разбиении отрезка интегрирования числами ряда Фарея, при этом выбранные веса позволяют использовать функциональное уравнение для двумерного тетаряда. Кроме того, представляет важность оценка одной суммы, содержащей суммы Гаусса. За счет явных формул для некоторого произведения сумм Гаусса от числа, взаимно простого с дискриминантом поля, удается представить данную сумму как сумму Клоостермана и применить к ней оценку А. Вейля.

 

 

Решение проблемы сопряженности слов представляет интерес в свободных конструкциях групп. Для свободных групп с объединением по циклической подгруппе проблема была решена С.Липшуцем. Также указанная проблема была решена А. Фридманом в HNN-расширении свободной группы по ассоциированным циклическим подгруппам. Для HNN-расширения древесного произведения цикличесикх групп с ассоциированными цикли- ческими подгруппами проблема сопряженности слов решена автором в соавторстве с В.Н. Безверхним. В данной работе положительно решена проблема сопряженности слов в HNN-расширении c помощью системы правильных проходных букв. В качестве базовой группы HNN-расширения рассматривается древесное произведение бесконечных циклических групп с объединением по бесконечной циклической подгруппе. Результат является обобщением про- блемы сопряженности в HNN-расширении древесного произведения циклических групп по ассоциированным циклическим подгруппам с помощью одной проходной буквы. Используя метод математической индукции утверждение доказывается для любого числа проходных букв. В процессе доказательства основной теоремы доказаны утверждения, которые представляют самостоятельный результат: - алгоритмическая разрешимость пересечения конечно порожденной подгруппы основной группы с ассоциированной подгруппой; - алгоритмическая разрешимость пересечения смежного класса конечно порожденной подгруппы основной группы с ассоциированной подгруппой.

 

 

Формацией называют класс алгебраических систем, замкнутый относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. В заметке описаны конечные насыщенные в классе всех конечных унаров формации унаров. Формации получили широкое применение при изучении конечных групп. При этом большое внимание уделялось насыщенным формациям. Формация F конечных групп называется насыщенной, если для любой конечной группы G из того, что G/Φ(G) ∈ F всегда следует G ∈ F, где Φ(G) — подгруппа Фраттини группы G. Конгруэнция θ алгебраической системы A называется фраттиниевой, если для любой собственной подсистемы B системы A объединение всех θ-классов, порожденных элементами из B, отлично от A. Класс X называется насыщенным в классе Y, если из того, что A ∈ Y и A/θ ∈ X, где θ — некоторая фраттиниева конгруэнция системы A, всегда следует A ∈ X. Данная заметка посвящена изучению свойств формаций конечных унаров, т. е. алгебр с одной унарной операцией. Элемент a унара ⟨A, f⟩ называется циклическим, если f n (a) = a для некоторого целого числа n > 0. Будем называть унар циклическим, если все его элементы циклические. В работе дан признак фраттиниевой конгруэнции конечного унара. Доказано, что в классе конечных унаров насыщенными формациями являются лишь пустая формация, формация всех конечных циклических унаров и формация всех конечных унаров.

 

Получена новая оценка суммы значений примитивного характера Дирихле по модулю q на последовательности сдвинутых простых чисел p−l, (l, q) = 1, p 6 x, нетривиальная при x > q 5 6 +ε . Это уточняет оценку Дж. Б. Фридландера, K. Гонга, И. Е. Шпарлинского, нетривиальную лишь при x > q 8 9 +ε .

 

Понятие n-арной группы является обобщением бинарной группы, по- этому многие результаты из теории групп имеют n-арный аналог в теории n-арных групп. Но имеются существенные отличия в этих теориях. На- пример, множитель прямого произведения n-арных групп не всегда имеет изоморфную копию в этом произведении (в работе указан пример). Доказано, что в прямом произведении ∏ i∈I ⟨Ai , fi⟩ n-арных групп имеется n- арная подгруппа, изоморфная ⟨Aj , fj ⟩ (j ∈ I), тогда и только тогда, когда найдется некоторый гомоморфизм из ⟨Aj , fj ⟩ в ∏ i∈I,i̸=j ⟨Ai , fi⟩. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы в прямом произведении n-арных групп каждый из прямых множителей имел изоморфную копию в этом произведении и пересечение этих копий одноэлементно (как в группах) – в каждом прямом множителе имеется идемпотент. На любой n-арной группе можно определить бинарную группу, которая помогает изучать данную n-арную группу, т.е. верна теорема Глускина- Хоссу: на всякой n-арной группе ⟨G, f⟩ для элемента e ∈ G можно определить бинарную группу ⟨G, ·⟩, в которой найдутся автоморфизм φ(x) = f(e, x, cn−2 1 ) и элемент d = f( (n) e ) такие, что выполнены условия: f(x n 1 ) = x1 · φ(x2) · . . . · φ n−1 (xn) · d, x1, x2, . . . , xn ∈ G; (1) φ(d) = d; (2) φ n−1 (x) = d · x · d −1 , x ∈ G. (3) Группу ⟨G, ·⟩, которая возникает в теореме Глускина-Хоссу, называют ре- трактом n-арной группы ⟨G, f⟩. Верна и обратная теорема Глускина-Хоссу: в любой группе ⟨G, ·⟩ для выбранных автоморфизма φ и элемента d с условиями (5) и (6), задается n- арная группа ⟨G, f⟩, где f действует по правилу (4). Такую n-арную группу называют (φ, d)-определенной на группе ⟨G, ·⟩ и обозначают derφ,d⟨G, ·⟩. Найдена связь между n-арной группой, (φ, d)-определенной на декартовом произведении групп и n-арными группами, которые (φi , di)-опреде- лены на множителях этого произведения: пусть ∏ i∈I ⟨Ai , ·i⟩ – декартово произведение групп и φi , di – автоморфизм и элемент в группе ⟨Ai , ·i⟩ с условиями (5) и (6) для любого i ∈ I. Тогда derφ,d ∏ i∈I ⟨Ai , ·i⟩ = ∏ i∈I derφi,di ⟨Ai , ·i⟩, где φ – автоморфизм декартова произведения групп ∏ i∈I ⟨Ai , ·i⟩, заданный покомпонентно по правилу:для любого a ∈ ∏ i∈I Ai , φ(a)(i) = φi(a(i)) (такой автоморфизм назовем диагональным), и d(i) = di для любого i ∈ I. В теории n-арных групп неразложимыми n-арными группами являют- ся конечные примарные и бесконечные полуциклические n-арные группы (построенные по теореме Глускина-Хоссу на циклических группах). Мы наблюдаем n-арный аналог неразложимости циклических групп. Однако, в отличии от групп, конечно порожденная полуабелева n-арная группа не всегда разложима в прямое произведение конечного числа неразло- жимых полуциклических n-арных групп. Доказано, что любая конечно порожденная полуабелева n-арная группа изоморфна прямому произведению конечного числа неразложимых полуциклических n-арных групп (беcконечных либо конечных примарных) тогда и только тогда, когда в ретракте этой n-арной группы автоморфизм φ из теоремы Глускина-Хоссу сопряжен некоторому диагональному автоморфизму.

 

В последнее время графическая система TikZ стала неотъемлемой частью научного текстового редактора TEX/LATEX и превратила его в графический векторный редактор. В статье обсуждаются средства TikZ, позволяющие создавать компактные, эстетически привлекательные и информативные концептуальные схемы. Речь идет о средствах, расположенных в библиотеке расширений mindmap (\usetikzlibrary{mindmap}) [2, c. 635]. Концептуальные схемы полезны в обучении и называются также картами лекций, схемами действий и т. п. Фактически, они являются представл ниями многоуровневых списков в виде специальных графов. Поэтому для управления внешним видом концептуальных схем используются стандартные tikz-средства работы с деревьями, дополненные несколькими специальными опциями. В статье дается краткое описание действий именно этих специальных опций и показывается их использование при формировании конкретной схемы "Устройства компьютера".