ОБ ОДНОМ АНАЛОГЕ АДДИТИВНОЙ ПРОБЛЕМЫ ДЕЛИТЕЛЕЙ С КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ

В теории чисел важную роль играют аддитивные задачи. Одной из них является проблема делителей Ингама о представлении натурального числа в виде разности произведений натуральных чисел. Уточнением остаточного члена в асимптотической формуле для числа решений данного уравнения занимались такие математики как T. Эстерман, Д. И. Исмоилов, Д. Р. Хиз-Браун, Г. И. Архипов и В. Н. Чубариков, Ж.-М. Дезуйе и Х. Иванец. В настоящей работе рассматривается бинарная аддитивная задача с квадратичными формами, которая является аналогом классической проблемы делителей Ингама. Пусть d — отрицательное бесквадратное чис- ло, F = Q( √ d) — мнимое квадратичное поле, δF — дискриминант поля F; Q1(m), Q2(k) — бинарные положительно определенные примитивные квадратичные формы с матрицами A1, A2, det A1 = det A2 = −δF , ε > 0 — произвольно малое число; n ∈ N, h ∈ N. Получена асимптотическая формула для числа решений уравнения Q1(m)−Q2(k) = h с весами exp ( −(Q1(m) + Q2(k))/n) . В данной асимптотической формуле дискриминант поля δF — фиксированное число, а остаточный член имеет оценку O(h εn 3/4+ε ), которая не зависит от δF . Кроме того, с ростом основного параметра n параметр h может расти как O(n). Доказательство асимптотической формулы основано на круговом методе, когда сумма, являющаяся числом решений рассматриваемого уравнения, представляется в виде интеграла; разбиении отрезка интегрирования числами ряда Фарея, при этом выбранные веса позволяют использовать функциональное уравнение для двумерного тетаряда. Кроме того, представляет важность оценка одной суммы, содержащей суммы Гаусса. За счет явных формул для некоторого произведения сумм Гаусса от числа, взаимно простого с дискриминантом поля, удается представить данную сумму как сумму Клоостермана и применить к ней оценку А. Вейля.

1. Ingham, A.E. Some asymptotic formulae in the theory of numbers / A. Ingham // J. London Math. Soc. — 1927. — Vol. 2(7). — P. 202–208.

2. Estermann, T. Uber die Darstellung einer Zahl als Differenz von zwei Produkten ¨ / T. Estermann // J. Reine Angew. Math. — 1931. — Vol. 164. — P. 173–182.

3. Исмоилов, Д.И. Об асимптотике представления чисел как разности двух произведений // Докл. АН Тадж. ССР. 1979. Т. 22, №2. C. 75–79.

4. Weil, A. On some exponential sums / A. Weil // Proc. Nat. Acad. of Sci. — 1948. — 34. — P. 204–207.

5. Estermann, T. On Klostermann’s sum / T. Estermann // Mathematika. — 1961. — 8. — P. 83–86.

6. Heath-Brown, D.R. The fourths power moment of the Riemann zeta-function / D.R. Heath-Brown // Proc. London Math. Soc. — 1979. — Vol. 38. — №3. — P. 385–422.

7. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Об аддитивной проблеме делителей Ингама // Вестник Московского университета. Cер. 1. Математика. Механика. 2006. №5. С. 32–35.

8. Кузнецов Н. В. Гипотеза Петерсона для параболических форм веса нуль и гипотеза Линника. Суммы сумм Клоостермана // Мат. сборник. 1980. T. 111(153), №3. C. 334–383.

9. Deshouillers, J.-M. An additive divisor problem / J.-M. Deshouillers, H. Iwaniec // J. London Math. Soc. — 1982. — Vol. 26(2). — P. 1–14.

10. Линник Ю. В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах. Л.: Изд-во ЛГУ, 1961. 208 c.

11. Куртова, Л.Н. Об одной бинарной аддитивной задаче с квадратичными формами // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. Математика. 2007. №7 (57). С. 107–121.

12. Ogg, A.P. Modular Forms and Dirichlet Series. / A.P. Ogg. — N.-Y.: W.A. Benjamin Inc., 1969. — 211 p.

13. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного: Учебное пособие для студентов механических специальностей механико-математических факультетов государственных университетов. М.: Физматлит, 1958. 678 c.

14. Гриценко С. А. О функциональном уравнении одного арифметического ряда Дирихле // Чебышевский сборник. 2003. Т. 4, вып. 2. C. 53–67.

15. Виноградов И. М. Основы теории чисел. СПб-М: Лань, 2004. 167 с. 16. Малышев А. В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Тр. МИАН СССР. 1962. Т. 65. C. 3–212.