К ТЕОРЕМЕ ПОСТА О СМЕЖНЫХ КЛАССАХ

В теории полиадических групп велика роль групп A∗ и A0, фигури- рующих в теореме Поста о смежных классах [2], утверждающей, что для всякой n-арной группы ⟨A, [ ]⟩ существует группа A∗ , в которой имеется нормальная подгруппа A0 такая, что фактор-группа A∗/A0 — циклическая группа порядка n − 1. Образующий смежный класс xA0 этой цикличе- ской группы является n-арной группой с n-арной операцией, производной от операции в группе A∗ , при этом n-арные группы ⟨A, [ ]⟩ и ⟨xA0, [ ]⟩ изоморфны. Группу A∗ называют универсальной обертывающей группой Поста, а группу A0 — соответствующей группой. В начале статьи рассматривается обобщение теоремы Поста о смежных классах: для всякой n-арной группы ⟨A, [ ]⟩, n = k(m − 1) + 1, в универ- сальной обертывающей группе Поста A∗ имеется нормальная подгруппа mA такая, что фактор-группа A∗/ mA — циклическая группа порядка m−1. Причем, A0 ⊆ mA ⊆ A∗ и mA/A0 – циклическая группа порядка k. В статье изучается перестановочность элементов в n-арной группе. В частности, изучается m-полуабелевость в n-арных группах, которая яв- ляется обобщением широко изучаемых понятий абелевости и полуабеле- вости. Напомним, что n-арная группа ⟨A, [ ]⟩ называется абелевой, если в ней для любой подстановки σ множества {1, 2, . . . , n} верно тождество [a1a2 . . . an] = [aσ(1)aσ(2) . . . aσ(n) ], и n-арная группа ⟨A, [ ]⟩ называется полуабелевой, если в ней верно тож- дество [aa1 . . . an−2b] = [ba1 . . . an−2a]. Обобщая эти два определения, Э. Пост назвал n-арную группу ⟨A, [ ]⟩ m-полуабелевой, если m − 1 делит n − 1 и (aa1 . . . am−2b, ba1 . . . am−2a) ∈ θA для любых a, a1, . . . , am−2, b ∈ A. Установлен новый критерий m-полуабелевости n-арной группы, сфор- мулированный с помощью подгруппы mA универсальной обертывающей группы Поста: n-арная группа ⟨A, [ ]⟩ является m-полуабелевой тогда и только тогда, когда группа mA абелева. Для n = k(m − 1) + 1 с помощью фиксированных элементов c1, . . . . . . , cm−2 ∈ A на n-арной группе ⟨A, [ ]⟩ строится (k + 1)-арная груп- па ⟨A, [ ]k+1,c1...cm−2 ⟩. На смежном классе A(m−1) из обобщенной теоремы Поста строится (k + 1)-арная группа ⟨A(m−1) , [ ]k+1⟩. Доказывается изо- морфизм построенных (k + 1)-арных групп. Этот изоморфизм позволяет доказать еще один критерий m-полуабелевости n-арной группы: n-арная группа ⟨A, [ ]⟩ m-полуабелева тогда и только тогда, когда для некоторых c1, . . . , cm−2 ∈ A (k + 1)-арная группа ⟨A, [ ]k+1,c1...cm−2 ⟩ является абелевой.

n-арная группа, полуабелевость, смежный класс

1. Post E. L. Poluadic groups // Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940) — P. 208–350.

2. Сушкевич А. К. Теория обобщенных групп. Харьков-Киев: Хозтехиздат, 1937.

3. Gleichgewicht B. and Glasek K. Remarks on n-groups as abstract algebras // Coll. Math. 17 (1967). P. 209–219.

4. Гальмак А. М. Об определении n-арной группы // Междунар. алгебр. конф., посвящ. памяти А.И. Ширшова: тез. докл., Новосибирск, 20–25 авг. 1991. / Ин-т мат. Сиб. отделения АН СССР, Алтайский гос. ун-т. Новосибирск, 1991. С. 30.

5. Usan J. n-Groups as variety of type / J.Usan // Algebra and Model Theory, Novosibirsk. (1997) P. 182–208.

6. Курош А. Г. Общая алгебра. Лекции 1969–1970 уч. года. М.: Наука, 1974.

7. Bruck R. A. Survey of binary systems. / Berlin - Heidelberg - Newyork.: Springer. 1971.

8. Гальмак А. М. n-Арные группы. Часть I. / Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2003. 196 с.

9. Гальмак А. М. Конгруэнции полиадических групп. Минск: Беларуская наву- ка, 1999.

10. Артамонов В. А. Свободные n-группы // Мат. заметки 1970. Т. 8, №4. С. 499–507.

11. Артамонов В. А. О шрайеровых многообразиях n-групп и n-полугрупп // Труды семинара им. Г. И. Петровского. 1979. Вып. 5. С. 193–202.

12. Русаков С. А. Алгебраические n-арные системы. – Мн: Навука i тэхнiка, 1992. 245 с.

13. Щучкин Н. А. Свободные абелевы n-арные группы // Чебышевский сбор- ник. 2011. Т. ХII, вып. 2 (38) С. 163–170.

14. Щучкин Н. А. Разрешимые и нильпотентные n-группы // Алгебраические системы: сб. науч. тр. Волгоград: Перемена 1989. С. 133–139.

15. Dornte W. Untersuchungen uber ainen verallgemeinerten Gruppenbegrief. // Math. Z. Bd. 29 (1928) — P. 1–19.

16. Гальмак А. М., Воробьев Г. Н. О теореме Поста-Глускина-Хоссу // Проблемы физики, математики и техники. 2013. № 1(14) С. 55–60.