ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ n-АРНЫХ ГРУПП

Понятие n-арной группы является обобщением бинарной группы, по- этому многие результаты из теории групп имеют n-арный аналог в теории n-арных групп. Но имеются существенные отличия в этих теориях. На- пример, множитель прямого произведения n-арных групп не всегда имеет изоморфную копию в этом произведении (в работе указан пример). Доказано, что в прямом произведении ∏ i∈I ⟨Ai , fi⟩ n-арных групп имеется n- арная подгруппа, изоморфная ⟨Aj , fj ⟩ (j ∈ I), тогда и только тогда, когда найдется некоторый гомоморфизм из ⟨Aj , fj ⟩ в ∏ i∈I,i̸=j ⟨Ai , fi⟩. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы в прямом произведении n-арных групп каждый из прямых множителей имел изоморфную копию в этом произведении и пересечение этих копий одноэлементно (как в группах) – в каждом прямом множителе имеется идемпотент. На любой n-арной группе можно определить бинарную группу, которая помогает изучать данную n-арную группу, т.е. верна теорема Глускина- Хоссу: на всякой n-арной группе ⟨G, f⟩ для элемента e ∈ G можно определить бинарную группу ⟨G, ·⟩, в которой найдутся автоморфизм φ(x) = f(e, x, cn−2 1 ) и элемент d = f( (n) e ) такие, что выполнены условия: f(x n 1 ) = x1 · φ(x2) · . . . · φ n−1 (xn) · d, x1, x2, . . . , xn ∈ G; (1) φ(d) = d; (2) φ n−1 (x) = d · x · d −1 , x ∈ G. (3) Группу ⟨G, ·⟩, которая возникает в теореме Глускина-Хоссу, называют ре- трактом n-арной группы ⟨G, f⟩. Верна и обратная теорема Глускина-Хоссу: в любой группе ⟨G, ·⟩ для выбранных автоморфизма φ и элемента d с условиями (5) и (6), задается n- арная группа ⟨G, f⟩, где f действует по правилу (4). Такую n-арную группу называют (φ, d)-определенной на группе ⟨G, ·⟩ и обозначают derφ,d⟨G, ·⟩. Найдена связь между n-арной группой, (φ, d)-определенной на декартовом произведении групп и n-арными группами, которые (φi , di)-опреде- лены на множителях этого произведения: пусть ∏ i∈I ⟨Ai , ·i⟩ – декартово произведение групп и φi , di – автоморфизм и элемент в группе ⟨Ai , ·i⟩ с условиями (5) и (6) для любого i ∈ I. Тогда derφ,d ∏ i∈I ⟨Ai , ·i⟩ = ∏ i∈I derφi,di ⟨Ai , ·i⟩, где φ – автоморфизм декартова произведения групп ∏ i∈I ⟨Ai , ·i⟩, заданный покомпонентно по правилу:для любого a ∈ ∏ i∈I Ai , φ(a)(i) = φi(a(i)) (такой автоморфизм назовем диагональным), и d(i) = di для любого i ∈ I. В теории n-арных групп неразложимыми n-арными группами являют- ся конечные примарные и бесконечные полуциклические n-арные группы (построенные по теореме Глускина-Хоссу на циклических группах). Мы наблюдаем n-арный аналог неразложимости циклических групп. Однако, в отличии от групп, конечно порожденная полуабелева n-арная группа не всегда разложима в прямое произведение конечного числа неразло- жимых полуциклических n-арных групп. Доказано, что любая конечно порожденная полуабелева n-арная группа изоморфна прямому произведению конечного числа неразложимых полуциклических n-арных групп (беcконечных либо конечных примарных) тогда и только тогда, когда в ретракте этой n-арной группы автоморфизм φ из теоремы Глускина-Хоссу сопряжен некоторому диагональному автоморфизму.

1. Dornte W. Untersuchungen uber ainen verallgemeinerten Gruppenbegrief // Math. Z. Bd. 29 (1928) — P. 1–19.

2. Post E. L. Poluadic groups // Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940). P. 208–350.

3. Русаков С. А. Алгебраические n-арные системы. Минск: Навука i технiка, 1992.

4. Гальмак А. М. n-Арные группы. Часть I. Гомель: Гомельский гос. университет им. Ф. Скорины, 2003.

5. Курош А. Г. Общая алгебра. Лекции 1969-1970 уч. года. М.: Наука, 1974.

6. W. Dudek. A note on the axioms of n-groups / Dudek W., Glasek K., Gleichgewicht B. // Coll. Math. Soc.J.Bolyai. Vol. 29 (1977). P. 195–202.

7. Глускин Л. М. Позиционные оперативы // Мат. сборник. Т. 68(110), №3. 1965. С. 444–472.

8. Hosszu M. On the explicit form of n-group operacions // Publ. Math. 1963. Vol. 10. №1-4. P. 88-92.

9. Общая алгебра. / Под общей ред. Л. А. Скорнякова. Т. 2. М.: Наука, 1991.

10. J. Timm. Kommutative n-Gruppen. Diss„ Hamburg. 1967.

11. А. М. Гальмак. Полуабелевы n-арные группы с идемпотентами // Весник ВДУ iм П. М. Машэрава. 1999. № 2(12). С. 56–60.

12. Glasek K. and Gleichgewicht B. Abelian n-groups // Proc. Congr. Vath/ Soc. J. Bolyai. Esztergom. (1977). P. 321–329.

13. А. М. Гальмак, Г. Н. Воробьев. Тернарные группы отражений. Минск: Беларуская навука. 1998, 128 с.

14. W. A. Dudek and J. Michalski. On retrakts of polyadic groups / Dudek W.A. and Michalski J. // Demonstratio Math. 17 (1984), 281–301.

15. Щучкин Н. А. Полуциклические n-арные группы // Известия ГГУ им. Ф. Скорины. 2009. №3(54). С. 186–194.

16. Glazek K., Michalski J. and Sierocki I. On evaluation of some polyadic groups // Contributions to general algebra 3: Verlag H¨older-Pichler-Tempsky. Wiena, 1985. P. 157–171.

17. Курош А. Г. Теория групп. 3-е изд. М.: Наука, 1967. 18. В. С. Монахов. Введение в теорию конечных групп и их классов. Минск: Вышейшая школа, 2006.