О НАСЫЩЕННЫХ ФОРМАЦИЯХ КОНЕЧНЫХ УНАРОВ

Аннотация

Формацией называют класс алгебраических систем, замкнутый относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. В заметке описаны конечные насыщенные в классе всех конечных унаров формации унаров. Формации получили широкое применение при изучении конечных групп. При этом большое внимание уделялось насыщенным формациям. Формация F конечных групп называется насыщенной, если для любой конечной группы G из того, что G/Φ(G) ∈ F всегда следует G ∈ F, где Φ(G) — подгруппа Фраттини группы G. Конгруэнция θ алгебраической системы A называется фраттиниевой, если для любой собственной подсистемы B системы A объединение всех θ-классов, порожденных элементами из B, отлично от A. Класс X называется насыщенным в классе Y, если из того, что A ∈ Y и A/θ ∈ X, где θ — некоторая фраттиниева конгруэнция системы A, всегда следует A ∈ X. Данная заметка посвящена изучению свойств формаций конечных унаров, т. е. алгебр с одной унарной операцией. Элемент a унара ⟨A, f⟩ называется циклическим, если f n (a) = a для некоторого целого числа n > 0. Будем называть унар циклическим, если все его элементы циклические. В работе дан признак фраттиниевой конгруэнции конечного унара. Доказано, что в классе конечных унаров насыщенными формациями являются лишь пустая формация, формация всех конечных циклических унаров и формация всех конечных унаров.