Оценивание качества приближения иррационального или трансцендентного числа рациональными дробями является одним из направлений теории диофантовых приближений.
Количественная характеристика такого приближения называется мерой иррациональности числа. С конца 19 века учёными разрабатывались методы оценки меры иррациональности и были получены её значения для огромного количества иррациональных и трансцендентных чисел. Наиболее часто используемый метод получения таких оценок – построение линейных форм с целыми коэффициентами, приближающих данную величину и исследование их асимптотического поведения. Приближающие линейные формы конструируется на основе цепных дробей, аппроксимаций Паде, бесконечных рядов, вещественных и комплексных интегралов. Способы исследования асимптотики таких форм в настоящее время достаточно стандартны, но построение линейной формы, обладающей хорошими приближающими свойствами, и есть главная задача.
Первые оценки значений функции arctan 𝑥 были получены М.Хуттнером (1987) на основе интегрального представления гипергеометрической функции Гаусса. В 1993 г.
А.Хеймонен, Т.Матала-Ахо, К. Ваананен, доказали общую теорему об оценках мер иррациональности логарифмов рациональных чисел, а позже с помощью приближающей
конструкции, использующей полиномы Якоби, получили новые оценки, в частности для
значений функции arctan 𝑥. В дальнейшем на основе различных интегралов строились как
общие методы оценивания значений arctan 𝑥, так и специализированные методы для конкретных значений. В работах Е.Б.Томашевской, получившей в 2008 общую оценку для значений arctan 1
𝑛, 𝑛 ∈ N, был использован комплексный интеграл, имеющий симметричную подынтегральную функцию. Свойство симметричности сыграло важную роль при получении оценки, поскольку оно улучшало асимптотические свойства коэффициентов линейной формы. Некоторые интегральные конструкции, использование другими исследователями, также обладали симметричностью разных типов. В данной статье рассмотрены некоторые методы оценивания значений функции arctan 𝑥, их особенности, способ исследования, и указаны наилучшие на настоящее время оценки.

Задача классификации целочисленных квадратичных форм имеет долгую историю, на протяжении которой многие математики внесли свой вклад в ее решение. Бинарные формы были всесторонне изучены Гауссом. Он и позднейшие исследователи наметили также основные пути решения проблемы классификации тернарных форм и форм более высоких размерностей. Величайшими достижениями последующего периода явились глубокое развитие теории рациональных квадратичных форми проведенная Эйхлером полная классификация неопределенных форм в размерностях 3 и выше в терминах спинорных родов.
В работе предлагается алгоритм для вычисления неэквивалентные соответствующий квадратичные формы граням области Вороного второй совершенный формы от много переменных и с помощью этого алгоритма вычислено все соответствующий неэквивалентные квадратичные формы.

В прямоугольнике Ω = {(𝑥, 𝑡) | 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑡 < 𝑇} рассматривается начально-краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения 

$$
\varepsilon^2\left(a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial u}{\partial t}\right)=F(u,x,t,\varepsilon),   \quad  (x,t)\in \Omega,
$$
$$
u(x,0,\varepsilon)=\varphi(x),          \quad 0\le x\le 1,
$$
$$
u(0,t,\varepsilon)=\psi_1(t), \quad u(1,t,\varepsilon)=\psi_2(t), \quad 0\le t\le T.
$$

Исследования проводятся в предположении, что в угловых точках (𝑘, 0) прямоугольника Ω, где 𝑘 = 0 или 1, функция 𝐹(𝑢) = 𝐹(𝑢, 𝑘, 0, 0) является кубической и имеет вид

$$
F(u)=(u-\alpha(k))(u-\beta(k))(u-\bar u_0(k)), \quad\mbox{где}\quad  \alpha(k)\leq\beta(k)<\bar u_0(k).
$$

Используется нелинейный метод угловых пограничных функций, который сочетает в себе (линейный) метод угловых пограничных функций, метод верхних и нижних решений (барьеров) и метод дифференциальных неравенств. При условии 𝜙(𝑘) > ¯𝑢_0(𝑘) строится полное асимптотическое разложение решения при 𝜀 → 0 и обосновывается его равномерность в замкнутом прямоугольнике.
Ранее были рассмотрены следующие случаи кубических нелинейностей:

$$
F(u)=u^3-\bar u^3_0, \quad\mbox{где}\quad \bar u_0=\bar u_0(k)>0,
$$
в предположении, что граничное значение $\varphi( k)>\bar u_0(k)$, а также случай
$$
F(u)=u^3-\bar u^3_0, \quad\mbox{где}\quad \bar u_0=\bar u_0(k)< 0,
$$
в предположении, что граничное значение $\varphi(k)$ заключено в промежутке
$$
\bar u_0<\varphi(k)<\frac{\bar u_0}{2}< 0.
$$

Мы рассмотрим задачу о равномерных оценках осцилляторных интегралов с гладкой фазовой функцией, имеющей особенность типа 𝐷_∞. Оценка является точной и является аналогом оценок результата В. Н. Карпушкина.

В статье рассматривается проблема суммируемости для тригонометрических интегралов с квадратичной фазой. Аналогичная задача рассмотрена в работах [2], [3], [4] в частных случаях. Наши результаты обобщают результаты этих работ на кратные тригонометрические интегралы.

В работе рассматривается плоский биллиард, ограниченный эллипсом, в поле потенциальной силы. Была найдена явная формула полиномиального потенциала, сохраняющего
интегрируемость такого биллиарда. Для него была изучена структура слоения Лиувилля на всех неособых уровнях энергии с помощью метода разделения переменных. А именно, был предложен алгоритм, который строит бифуркационную диаграмму, а также инвариант Фоменко-Цишанга, исходя из значений параметров потенциала. Кроме того, была изучена топология изоэнергетического многообразия и обнаружены случаи динамики твердого тела, лиувиллево эквивалентные нашему биллиарду.

В статье изучаются свойства решеток конгруэнций алгебр с одним оператором и основной операцией меньшинства, определенной специальным образом и называемой симметрической. Операцией меньшинства называется тернарная операция 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑧), удовлетворяющая тождествам 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑦, 𝑥) = 𝑑(𝑦, 𝑥, 𝑦) = 𝑥. Алгебра называется цепной, если она имеет линейно упорядоченную решетку конгруэнций. Алгебра подпрямо неразложима, если она имеет наименьшую ненулевую конгруэнцию. Алгеброй с операторами называется универсальная алгебра, сигнатура которой состоит из двух непустых непересекающихся частей: основной, которая может содержать произвольные операции, и дополнительной, состоящей из операторов. Операторами называются унарные операции, действующие как эндоморфизмы относительно основных операций, то есть перестановочные с основными операциями. Унаром называется алгебра с одной унарной операцией. Если 𝑓 — унарная операция из сигнатуры Ω, то унар ⟨𝐴, 𝑓⟩ называется унарным редуктом алгебры ⟨𝐴,Ω⟩.
Получено описание алгебр с одним оператором и основной симметрической операцией, решетка конгруэнций которых является цепью. Показано, что алгебра данного класса является цепной тогда и только тогда, когда она подпрямо неразложима. Получено описание алгебр данного класса, решетки конгруэнций которых совпадают с решетками конгруэнций унарных редуктов этих алгебр.

Данная работа посвящена алгебраической теории автоматов, являющейся одним из разделов математической кибернетики, в котором изучаются устройства преобразования информации, возникающие во многих прикладных задачах. В зависимости от исследуемых задач рассматриваются автоматы, у которых основные множества наделены дополнительными математическими структурами, согласованными с функциями автомата. В настоящей работе исследуются автоматы над графами — графовые автоматы, множество состояний и множество выходных сигналов которых наделены математическими структурами графов. Для графов 𝐺 и 𝐻 универсальный графовый автомат Atm(𝐺,𝐻) является универсально притягивающим объектом в категории графовых автоматов. Полугруппа вход-
ных сигналов такого автомата имеет вид 𝑆 = End 𝐺 × Hom(𝐺,𝐻). Естественно возникает интерес к исследованию вопроса абстрактной характеризации универсальных графовых автоматов: при каких условиях абстрактный автомат 𝐴 будет изоморфен универсальному графовому автомату Atm(𝐺,𝐻) над графами 𝐺 из класса K_1, 𝐻 из класса K_2? Целью работы является исследование вопроса элементарной аксиоматизации некоторых классов
графовых автоматов. Доказана невозможность элементарной аксиоматизации средствами языка узкого исчисления предикатов некоторых широких классов таких автоматов над рефлексивными графами.

В данной работе представлено обобщение теоремы Лежандра о трех квадратах на представления двух натуральных чисел в виде сумм трех квадратов, для которых имеется общий квадрат.

Полимино представляет собой связную фигуру на плоскости, составленную из конечного числа единичных квадратов, примыкающих друг к другу по сторонам. Разбиение плоскости на полимино называется изоэдральным, если группа симметрий действует на нем транзитивно, то есть если для любых двух полимино разбиения существует глобальная симметрия разбиения, переводящая одно полимино во второе.
В работе рассматривается задача о подсчете числа полимино площади 𝑛, порождающих изоэдральные разбиения плоскости. Показано, что число таких полимино не превосходит 𝐶(𝜀)𝑛^4(𝜔+𝜀)^𝑛, где 𝜔 - константа связности квадратной решетки Z^2. Известно, что 𝜔 < 2.7.
Подобные оценки получены также в случае, когда фиксирован периметр, а не площадь полимино. Кроме того, аналогичная оценка справедлива и для числа самих изоэдральных разбиений плоскости при дополнительном условии регулярности разбиений.
Ранее аналогичные результаты были получены в случае решетчатых разбиений плоскости на полимино, для так называемых 𝑝2-разбиений, а также для решетчатых разбиений
на центрально-симметричные полимино.
Доказательство основано на критерии существования изоэдрального разбиения плоскости на полимино, полученного Лангерманом и Винслоу, а также на подсчете числа самонепересекающихся случайных блужданий на решетке Z2, как стандартных, так и обладающих заданной группой симметрии.
В заключении кратко обсуждаются возможные направления дальнейших исследований и некоторые открытые проблемы.

В статье обосновывается значимость математического моделирования при решении практико-ориентированных задач студентами направления подготовки 44.03.05 Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки) профили Математика и Информатика. Приводится обзор актуальных исследований в области стандартизации содержания предметной области «Математика и информатика»; дидактических возможностей прикладных задач, изучаемых в школьном курсе математики и информатики; потенциала подобных задач в раскрытии межпредметных связей школьных учебных дисциплин; значения математического моделирования в процессе их решения. На основе анализа приведенных источников отмечаются сложность и многогранность создаваемых в настоящее время математических моделей, соединяющих элементы теории из различных областей знания и требующих подключения инструментов нескольких информационных технологий и технических решений.
Авторами подробно описаны и проиллюстрированы на примерах основные этапы построения математической модели. Теоретические положения конкретизированы на примере решения практико-ориентированной задачи о моделировании биоритмов человека.
Представленная задача предлагается студентам в рамках изучения темы «Школьные учебные задачи» курса «Теория и методика обучения информатике». Решение подобного рода задач будущими учителями математики и информатики направлено на достижение нескольких целей: развить навыки математического моделирования; применить на практике сформированные ранее навыки владения информационными технологиями, необходимые для эффективного выполнения задания; расширить кругозор в плане смежных областей науки (биология, физиология). Данный подход к процессу обучения будущих учителей, по мнению авторов, позволяет студентам не только оценить значимость математического моделирования, но и развить необходимые навыки для решения задач с практическим содержанием.

В статье рассматривается задача об акустическом излучении сфероида, обтекаемого стационарным потоком идеальной жидкости.
Полагается, что скорость набегающего потока значительно меньше скорости звука. Часть поверхности сфероида совершает гармонические колебания, а остальная часть является абсолютно жесткой.
Задача решается в вытянутой сфероидальной системе координат. Получено приближенное аналитическое решение задачи, построенное с использованием потенциала скорости набегающего на тело потока и потенциала скорости акустического поля неподвижного излучателя.
Представлены результаты численных расчетов полярных диаграмм распределения акустического давления на поверхности сфероида при разных значениях отношения скорости потока к скорости звука и различной конфигурации сфероида.

В этой работе мы исследуем характеристики 𝑤𝑡−расстояния характеристики над 𝑏−метрическим пространством и условия, необходимые для обеспечения наличие неподвижной точки, если позволить 𝛽−функции соответствующим образом. Кроме того, мы
доказываем некоторые теоремы о неподвижной точке.

В заметке рассматриваются два приложения доказанной авторами асимптотической формулы для числа значений последовательности Битти в арифметической прогрессии
с растущей разностью: получены асимптотические формулы для количества элементов последовательности Битти, взаимно простых с (возможно, растущим) натуральным числом 𝑎, а также для количества пар взаимно простых элементов двух последовательностей Битти. Сформулируем основные результаты.
Пусть 𝛼 > 1 — иррациональное число и 𝑁 — достаточно большое натуральное число.
Тогда если неполные частные непрерывной дроби числа 𝛼 ограничены, то для количества 𝑆_𝛼,𝑎(𝑁) элементов последовательности Битти [𝛼𝑛], 1 ⩽ 𝑛 ⩽ 𝑁, взаимно простых с числом 𝑎, справедлива асимптотическая формула

$$
S_{\alpha,a}(N)=N\frac{\varphi(a)}{a} + O\left(\min(\sigma(a)\ln^3 N, \sqrt{N}\tau(a)(\ln\ln N)^3)\right),
$$

где 𝜏 (𝑎) — число натуральных делителей числа 𝑎, 𝜎(𝑎) — сумма делителей числа 𝑎.
Пусть 𝛼 > 1 и 𝛽 > 1 — иррациональные числа и 𝑁 — достаточно большое натуральное число. Тогда если неполные частные непрерывных дробей чисел 𝛼 и 𝛽 ограничены, то для количества 𝑆_𝛼,𝛽(𝑁) пар взаимно простых элементов последовательностей Битти [𝛼𝑚], 1 ⩽ 𝑚 ⩽ 𝑁, и [𝛽𝑛], 1 ⩽ 𝑛 ⩽ 𝑁, справедлива асимптотическая формула

$$
S_{\alpha,\beta}(N)=\frac{6}{\pi^2}N^2 + O\left(N^{3/2} (\ln\ln N)^6\right).
$$

Подгруппа 𝐴 группы 𝐺 называется tcc-подгруппой в 𝐺, если существует подгруппа 𝑌 группы 𝐺 такая, что 𝐺 = 𝐴𝑌 и для любого 𝑋 ⩽ 𝐴 и 𝑍 ⩽ 𝑌 существует элемент 𝑢 ∈ ⟨𝑋,𝑍⟩ такой, что 𝑋𝑍^𝑢 ≤ 𝐺. Запись 𝐻 ⩽ 𝐺 означает, что 𝐻 является подгруппой группы 𝐺. В
этой статье доказано, что класс всех SM-групп замкнут относительно произведения tcc- подгрупп. Здесь SM-группой называется группа, у которой каждая субнормальная подгруппа перестановочна с каждой максимальной подгруппой.

Данная статья продолжает цикл работ, посвящённых явным конструкциям расширений Галуа полных дискретно нормированных полей характеристики 0 с полем вычетов простой
характеристики 𝑝, см. [5], [6], [7], [8], [4], [10] а также обзор [9].
В статье доказано, что любое 𝑝-расширение Галуа полного дискретно нормированного поля, содержащего первообразный корень 𝑝-й степени из единицы, можно вложить в башню расширений Артина–Шрайера, и получена оценка на высоту башни. Этот результат показывает, что любое такое расширение можно вложить в расширение Инабы, т. е. в расширение, задаваемое конструкцией из работы [2]; при этом также получается оценка для порядка матрицы в соответствующем уравнении Инабы.
Также доказано, что 𝑝-расширение Галуа такого поля можно разложить в башню расширений Галуа степени 𝑝, в которой несколько верхних этажей имеют максимальный скачок ветвления, а нижние этажи являются расширениями Артина–Шрайера.

В статье предлагается эффективное построение совместных приближений для некоторых гипергеометрических функций специального вида и их производных по параметру.
Предложенное построение используется для получения оценки снизу числовой линейной формы от значений таких функций; при этом некоторые из параметров функций могут быть иррациональными.