Нелинейный метод угловых пограничных функций для сингулярно возмущенных параболических задач с кубическими нелинейностями

Аннотация

В прямоугольнике Ω = {(𝑥, 𝑡) | 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑡 < 𝑇} рассматривается начально-краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения 

$$
\varepsilon^2\left(a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial u}{\partial t}\right)=F(u,x,t,\varepsilon),   \quad  (x,t)\in \Omega,
$$
$$
u(x,0,\varepsilon)=\varphi(x),          \quad 0\le x\le 1,
$$
$$
u(0,t,\varepsilon)=\psi_1(t), \quad u(1,t,\varepsilon)=\psi_2(t), \quad 0\le t\le T.
$$

Исследования проводятся в предположении, что в угловых точках (𝑘, 0) прямоугольника Ω, где 𝑘 = 0 или 1, функция 𝐹(𝑢) = 𝐹(𝑢, 𝑘, 0, 0) является кубической и имеет вид

$$
F(u)=(u-\alpha(k))(u-\beta(k))(u-\bar u_0(k)), \quad\mbox{где}\quad  \alpha(k)\leq\beta(k)<\bar u_0(k).
$$

Используется нелинейный метод угловых пограничных функций, который сочетает в себе (линейный) метод угловых пограничных функций, метод верхних и нижних решений (барьеров) и метод дифференциальных неравенств. При условии 𝜙(𝑘) > ¯𝑢_0(𝑘) строится полное асимптотическое разложение решения при 𝜀 → 0 и обосновывается его равномерность в замкнутом прямоугольнике.
Ранее были рассмотрены следующие случаи кубических нелинейностей:

$$
F(u)=u^3-\bar u^3_0, \quad\mbox{где}\quad \bar u_0=\bar u_0(k)>0,
$$
в предположении, что граничное значение $\varphi( k)>\bar u_0(k)$, а также случай
$$
F(u)=u^3-\bar u^3_0, \quad\mbox{где}\quad \bar u_0=\bar u_0(k)< 0,
$$
в предположении, что граничное значение $\varphi(k)$ заключено в промежутке
$$
\bar u_0<\varphi(k)<\frac{\bar u_0}{2}< 0.
$$