О взаимной простоте элементов последовательности Битти

Аннотация

В заметке рассматриваются два приложения доказанной авторами асимптотической формулы для числа значений последовательности Битти в арифметической прогрессии
с растущей разностью: получены асимптотические формулы для количества элементов последовательности Битти, взаимно простых с (возможно, растущим) натуральным числом 𝑎, а также для количества пар взаимно простых элементов двух последовательностей Битти. Сформулируем основные результаты.
Пусть 𝛼 > 1 — иррациональное число и 𝑁 — достаточно большое натуральное число.
Тогда если неполные частные непрерывной дроби числа 𝛼 ограничены, то для количества 𝑆_𝛼,𝑎(𝑁) элементов последовательности Битти [𝛼𝑛], 1 ⩽ 𝑛 ⩽ 𝑁, взаимно простых с числом 𝑎, справедлива асимптотическая формула

$$
S_{\alpha,a}(N)=N\frac{\varphi(a)}{a} + O\left(\min(\sigma(a)\ln^3 N, \sqrt{N}\tau(a)(\ln\ln N)^3)\right),
$$

где 𝜏 (𝑎) — число натуральных делителей числа 𝑎, 𝜎(𝑎) — сумма делителей числа 𝑎.
Пусть 𝛼 > 1 и 𝛽 > 1 — иррациональные числа и 𝑁 — достаточно большое натуральное число. Тогда если неполные частные непрерывных дробей чисел 𝛼 и 𝛽 ограничены, то для количества 𝑆_𝛼,𝛽(𝑁) пар взаимно простых элементов последовательностей Битти [𝛼𝑚], 1 ⩽ 𝑚 ⩽ 𝑁, и [𝛽𝑛], 1 ⩽ 𝑛 ⩽ 𝑁, справедлива асимптотическая формула

$$
S_{\alpha,\beta}(N)=\frac{6}{\pi^2}N^2 + O\left(N^{3/2} (\ln\ln N)^6\right).
$$