Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
candidate of physical and mathematical sciences, associate professor
кандидат физико-математических наук, доцент
candidate of physical and mathematical sciences, associate professor
В заметке рассматриваются два приложения доказанной авторами асимптотической формулы для числа значений последовательности Битти в арифметической прогрессиис растущей разностью: получены асимптотические формулы для количества элементов последовательности Битти, взаимно простых с (возможно, растущим) натуральным числом 𝑎, а также для количества пар взаимно простых элементов двух последовательностей Битти. Сформулируем основные результаты.Пусть 𝛼 > 1 — иррациональное число и 𝑁 — достаточно большое натуральное число.Тогда если неполные частные непрерывной дроби числа 𝛼 ограничены, то для количества 𝑆_𝛼,𝑎(𝑁) элементов последовательности Битти [𝛼𝑛], 1 ⩽ 𝑛 ⩽ 𝑁, взаимно простых с числом 𝑎, справедлива асимптотическая формула
$$S_{\alpha,a}(N)=N\frac{\varphi(a)}{a} + O\left(\min(\sigma(a)\ln^3 N, \sqrt{N}\tau(a)(\ln\ln N)^3)\right),$$
где 𝜏 (𝑎) — число натуральных делителей числа 𝑎, 𝜎(𝑎) — сумма делителей числа 𝑎.Пусть 𝛼 > 1 и 𝛽 > 1 — иррациональные числа и 𝑁 — достаточно большое натуральное число. Тогда если неполные частные непрерывных дробей чисел 𝛼 и 𝛽 ограничены, то для количества 𝑆_𝛼,𝛽(𝑁) пар взаимно простых элементов последовательностей Битти [𝛼𝑚], 1 ⩽ 𝑚 ⩽ 𝑁, и [𝛽𝑛], 1 ⩽ 𝑛 ⩽ 𝑁, справедлива асимптотическая формула
$$S_{\alpha,\beta}(N)=\frac{6}{\pi^2}N^2 + O\left(N^{3/2} (\ln\ln N)^6\right).$$
This note discusses two applications of the asymptotic formula obtained by the authors for the number of values of the Beatty sequence in an arithmetic progression with increasing difference: asymptotic formulas are obtained for the number of elements of the Beatty sequence that are coprime to the (possibly growing) natural number 𝑎, as well as for the number of pairs of coprime elements of two Beatty sequences. Here are the main results.Let 𝛼 > 1 be an irrational number and 𝑁 be a sufficiently large natural number. Then if the partial quotients of the continued fraction of the number 𝛼 are limited, then for the number 𝑆_𝛼,𝑎(𝑁) of elements of the Beatty sequence [𝛼𝑛], 1 ⩽ 𝑛 ⩽ 𝑁, coprime to the number 𝑎,the following asymptotic formula holds
$$S_{\alpha,a}(N)=N\frac{\varphi(a)}{a} + O\left(\min(\sigma(a)\ln^3 N, \sqrt{N}\tau( a)(\ln\ln N)^3)\right),$$
where 𝜏 (𝑎) is the number of divisors of 𝑎 and 𝜎(𝑎) is the sum of the divisors of 𝑎.Let 𝛼 > 1 and 𝛽 > 1 be irrational numbers and 𝑁 be a sufficiently large natural number. Then if the incomplete quotients of continued fractions of the numbers 𝛼 and 𝛽 are bounded, then for the number 𝑆_𝛼,𝛽(𝑁) of pairs of coprime elements of Beatty sequences [𝛼𝑚], 1 ⩽ 𝑚 ⩽ 𝑁, and [𝛽𝑛], 1 ⩽ 𝑛 ⩽ 𝑁, the following asymptotic formula holds
$$S_{\alpha,\beta}(N)=\frac{6}{\pi^2}N^2 + O\left(N^{3/2}(\ln\ln N)^6 \right).$$
The authors declare that there are no conflicts of interest present.